精品解析：北京市顺义区第一中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷

顺义一中2024-2025学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一.选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】集合的基本运算问题. 【详解】因为，所以， 且，所以 =. 故选：C 2. 若复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由知，运用复数的除法即可求出，根据共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：A 3. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用斜率与倾斜角的关系即可判断． 【详解】由，结合的函数图象， 直线对应的倾斜角为钝角，则， 直线与都为锐角，且的倾斜角大于的倾斜角， 则，故． 故选：B 4. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义、结合诱导公式计算即得. 【详解】由角的终边经过点，得该点到原点距离，， 所以. 故选：C 5. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数，指数函数，余弦函数，对数函数的单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，由幂函数的单调性可知在上单调递增，故A不正确； 对于B，由余弦函数的单调性可知在区间上单调递减不成立，故B不正确； 对于C，，由指数函数的单调性可知，当时，单调递增，故C不正确； 对于D，的定义域为，定义域关于原点对称，，所以是偶函数， 又因为当，，由对数函数的单调性可知在上单调递减，故D正确； 故选：D. 6. 在中，若，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理结合三角形的特点计算即可. 【详解】因为在中，，所以， 由正弦定理可知或， 又，所以不成立. 故选：B 7. 设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】将向量的模用向量的数量积来表示，化简后结合向量夹角的范围，即可判断. 【详解】 由题意知，，不共线，所以， 所以与的夹角为锐角， 故“与的夹角为锐角”是“”的充分必要条件； 故选：C. 8. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A. 100 m B. 112 m C. 117 m D. 132 m 【答案】D 【解析】 【分析】先根据面面角的定义求得，再依次求得，，，，最后把所有棱长相加，即可求解． 【详解】如图，过E作平面ABCD，垂足为O， 过E分别作，，垂足分别为G，M， 连接OG，OM， 因为平面ABCD，平面ABCD，所以， 又，且EO，平面EOG，，所以平面EOG， 因为平面EOG，所以， 所以等腰三角形所在的平面与平面ABCD所成角为， 同理可得，又， 所以等腰梯形所在的平面与平面ABCD所成角为， 所以， 又，所以四边形OMBG是矩形， 又，则，所以，所以， 所以在中，， 在中，，， 又因为， 故该五面体的所有棱长之和为． 故选：D． 9. 函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据,在上,可得出,再根联立,得到的值,根据缩小的取值范围,进而代入求值即可. 【详解】解:由题知,, 均在上, , , , 故有:, 两等式联立有, 解得, , , , , 综上选项B正确. 故选:B 10. 已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为（ ） A. B. C. D. 无数 【答案】B 【解析】 【分析】分、、三种情况讨论，作出函数的图象，根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，进而可求得实数的取值. 【详解】当时，，作出函数的图象如下图所示： 由图可知，当时，关于的方程有且只有一个实根，不合乎题意； 当时，，如下图所示： 函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 由题意可得，解得； 若，则，如下图所示： 函数在单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 由题意可得，此时无解. 综上所述，. 故选：B. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二.填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】由真数大于零及分母不等于零计算即可得. 【详解】由题意可得、，故且， 故该函数定义域为. 故答案为：. 12. 首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据等差中项可得，利用等比数列通项公式代入即可求. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，成等差数列， 所以， 所以， 因为首项为1，所以， 所以，故. 故答案为：2 13. 能说明“若，则，其中”为假命题的一组，的值是___． 【答案】答案不唯一，如， 【解析】 【分析】即举满足条件但不满足的例子. 【详解】，时，满足，但不成立 故答案为答案不唯一，如， 【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】借助于正方形建系，利用平面向量数量积的几何意义，找到使在方向上的投影向量的数量最大和最小的点即得的取值范围. 【详解】 如图，以点为原点，分别以所在直线为轴建立坐标系. 因， 而表示在方向上的投影向量的数量， 由图不难发现，设过正方形的中心作与轴平行的直线与左右两个半圆分别交于点， 则当点与点重合时，投影向量的数量最大，当点与点重合时，投影向量的数量最小. 易得，则的最大值为6，最小值为， 故. 故答案为：. 15. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上． 给出下列四个结论： ①的最小值为； ②四面体的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，利用直线之间的距离即可求解；对于②，以为顶点，为底面即可求解；对于③，利用直线的垂直关系即可判断；对于④，利用空间坐标即可求解. 【详解】对于①，由于在上运动，在上运动，所以的最小值就是两条直线之间距离，而，所以的最小值为； 对于②，，而，所以四面体的体积为； 对于③，由题意可知，当与重合，与重合时， ，又根据正方体性质可知，，所以当为中点，与重合时，此时，故与垂直的不唯一，③错误； 对于④，当为等边三角形时，，则此时.所以只需要与的夹角能等于即可. 以为原点，、、分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如下图， 设，则由题意可得，，，则可得，，则，整理可得，该方程看成关于的二次函数，，所以存在使得为等边三角形. 故答案为：①②④ 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数． （1）若，且，求的值； （2）求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间． 【答案】（1） （2）最小正周期，， 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系得到，由余弦二倍角公式得到，从而得到； （2）利用三角恒等变换得到，利用得到最小正周期，并利用整体法求出函数的单调递减区间. 【小问1详解】 因为，且， 所以，， 所以． 【小问2详解】 ， 所以函数的最小正周期． 由，， 解得，． 所以函数的单调递减区间，． 17. 在中，已知，请从下列三个条件中选择两个，使得存在，并解答下列问题： （1）求的大小； （2）求和的值． 条件①：；条件②：；条件③：． 【答案】（1） 若选择①②：； 若选择①③：； 若选②③：不存在. （2） 若选择①②：，； 选择①③：，． 【解析】 【分析】（1）若选择①②：利用正弦定理可得，结合可知，则，即可得结果；若选择①③：由正弦定理可得，由可知，即可得结果；若选②③：根据三角形的性质分析得出矛盾； （2）由（1）可知：不能选②③. 只能选择①②或选择①③，利用同角三角关系以及两角和差公式求，再利用正弦定理求的值. 【小问1详解】 若选择①②：，， 在中，由正弦定理得． 因为，即， 可知，所以； 若选择①③：，， 在中，因为由正弦定理得． 在中，，即， 可知，所以； 若选②③：，， 因为，即，可知； 又因为，即，可知； 两者相矛盾，故不成立. 【小问2详解】 由（1）可知：不能选②③. 若选择①②：在中，，即，可知， 且，可得， 则， 可知，则， 由正弦定理可得， 又因为，所以； 选择①③：在中，，即，可知， 且，可得， 则， 且，可得， 又因为，则， 由正弦定理可得． 18. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况： （1）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率； （2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望； （3）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2） 0 1 2 ； （3）3月3日. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型求解即可； （2）的可能取值为0,1,2，分别求出每种情况的概率，再写出分布列并求期望即可； （3）根据频率分布直方图算出每个步数区间内的人数，再结合甲乙二人的排名，确定甲乙各自步数的范围，进而确定日期. 【小问1详解】 设“职工甲和职工乙微信计步数都不低于10000”为事件 从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以． 【小问2详解】 由图可知，7天中乙的步数不低于10000步的天数共4天. 的所有可能取值为， ， 的分布列为 0 1 2 【小问3详解】 3月3日 由直方图知，微信记步数落在（单位：千步）区间内的人数依次为 ，. 由甲的排名为第68，可知当天甲的微信步数在15000-20000之间， 据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日； 而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000-10000之间， 根据折线图知，这只有3月3日和3月6日. 所以只有3月3日符合要求． 19. 如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明如下： 因为平面平面，平面平面，，平面, 所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是正方形， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面. （2） （3）存在，点为中点，证明如下： 设， 因为， 所以， 由（2）知平面的一个法向量为， 因为平面， 所以，解得， 所以线段上存在点，点为中点，满足平面. 【解析】 【分析】（1）先利用面面垂直的性质可得平面，再根据线面垂直的性质定理和判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用空间向量法求解即可； （3）设，由求出，再利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得平面，因为平面，所以，，两两垂直， 以为原点，为轴、 轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，， 所以，. 则，，,，， 所以，， 设平面的一个法向量为， 则，取得， 因为平面，所以为平面的一个法向量，， 所以， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值． 【小问3详解】 略 20. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数a的值； （2）当时，求证：； （3）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）证明：当时，， 所以. 当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增； 所以是在区间上的最小值. 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）利用导数得出函数的单调性，进而得出其最小值，即可证明； （3）分类讨论的值，利用导数得出的单调性，结合题意，即可得出实数a的取值范围. 【详解】（1）因为， 所以. 由题知， 解得. （2）略； （3）由（1）知，. 若，则当时，，在区间上单调递增， 此时无极值. 若，令， 则. 因为当时，，所以在上单调递增. 因为， 而， 所以存在，使得. 和的情况如下： x 0 极小值 因此，当时，有极小值. 综上，a的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式，导数几何意义的应用等，属于中档题. 21. 已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”. （1）已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由； （2）已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； （3）证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”. 【答案】（1）数列是为“凹数列”， 数列不是为“凹数列”，理由如下： 由于为等差数列，所以，为等比数列，，任意的，都有，故，所以数列是为“凹数列”， 任意的，都有， 故，所以数列不是为“凹数列”， （2） （3）证明：先证明必要性：因为为“凹数列”所以对任意的，都有，即，所以对任意的，，，当时，有，所以， 又， 所以，所以，必要性成立； 再证明充分性：对于任意的，，，当时，有， 取，，则有， 即，所以为“凹数列”. 【解析】 【分析】（1）根据通项公式判断数列为等差数列，为等比数列，进而求得前项和，，再根据“凹数列”的定义判断即可； （2）根据数列为等差数列可得通项公式，再根据“凹数列”的定义得对任意，恒成立，进而解出的范围即可； （3）先证明必要性，放缩得到，故，再证明充分性，取，，则有，进而得证. 【小问1详解】 数列是为“凹数列”，数列不是为“凹数列”，理由略； 【小问2详解】 因为等差数列的公差为，，所以， 因为数列是凹数列，所以对任意，恒成立， 即， 所以，即， 因为，解得.所以的取值范围为. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：本题是数列新定义问题，主要考查了等差数列，等比数列，递推公式和求和公式等的综合运用，对常见的求通项公式和求和公式要掌握牢固，同时要将“新”性质有机地应用到“旧”性质上，创造性的解决问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺义一中2024-2025学年度第一学期高三年级期中考试数学试卷 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一.选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则的共轭复数（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，直线的斜率分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，若，，，则的大小为（ ） A. B. C. D. 或 7. 设点，，不共线，则“与的夹角为锐角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 坡屋顶是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素.安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美.如图，某坡屋顶可视为一个五面体，其中两个面是全等的等腰梯形，两个面是全等的等腰三角形.若，，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面与平面的夹角的正切值均为，则该五面体的所有棱长之和为（ ） A. 100 m B. 112 m C. 117 m D. 132 m 9. 函数图象上存在两点，满足，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满足条件的实数的个数为（ ） A. B. C. D. 无数 二.填空题（本大题共5小题，共25分） 11. 函数的定义域是______. 12. 首项为1的等比数列中，，，成等差数列，则公比______. 13. 能说明“若，则，其中”为假命题的一组，的值是___． 14. 如图，这个优美图形由一个正方形和以各边为直径的四个半圆组成，若正方形的边长为4，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为______. 15. 如图，在棱长为的正方体中，点，分别在线段和上． 给出下列四个结论： ①的最小值为； ②四面体的体积为； ③有且仅有一条直线与垂直； ④存在点，，使为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是____． 三、解答题（本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 已知函数． （1）若，且，求的值； （2）求函数的最小正周期，及函数的单调递减区间． 17. 在中，已知，请从下列三个条件中选择两个，使得存在，并解答下列问题： （1）求的大小； （2）求和的值． 条件①：；条件②：；条件③：． 18. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况： （1）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率； （2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为，求的分布列及数学期望； （3）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（结论不要求证明） 19. 如图，在多面体中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由. 20. 已知函数. （1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数a的值； （2）当时，求证：； （3）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围. 21. 已知数列，对于任意的，都有，则称数列为“凹数列”. （1）已知数列，的前项和分别为，，且，，试判断数列，数列是否为“凹数列”，并说明理由； （2）已知等差数列，首项为4，公差为，且为“凹数列”，求的取值范围； （3）证明：数列为“凹数列”的充要条件是“对于任意的，，，当时，有”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $