北京工业大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第一学期期中考试 高二年级数学学科试卷 命题人：尘福真 审核人：叶欣 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1. 直线的斜率为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 不存在 2. 空间直角坐标系中，若点关于点的对称点为C，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点到直线的距离为，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知是椭圆C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A、B两点，且，则的方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆：，则过点的最短弦所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. -1 7. 已知直线过点和点Q（2，2，0），则点到的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（       ） A. 0个 B. 至多有一个 C. 1个 D. 2个 9. 若给定一向量组和向量，若存在一组实数、、、，使得，则称向量能由向量组线性表示，或称向量是向量组的线性组合.若，，、、为三个不共面的空间向量，且向量是向量组的线性组合，则（ ） A. B. C. D. 10. 古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆．人们将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论： ①曲线的方程为 ②曲线上存在点，使得到点距离为6； ③曲线上存在点，使得到直线的距离为； ④曲线上存在点，使得到点与点距离之和为8． 其中所有正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 双曲线的两条渐近线的方程为_____. 12. 抛物线的焦点坐标为_________. 13. 设，向量，，，且，，则__________. 14. 众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在轴右侧部分的边界为一个半圆．已知直线．若直线与黑色阴影区域的边界曲线有2个公共点．则的取值范围是_____． 15. 在中,,若以为焦点的椭圆经过点,则该椭圆的离心率__________. 16. 已知椭圆，过原点的直线交椭圆于，两点，过点向轴引垂线，垂足为，连接并延长，交椭圆于点，直线和的斜率分别为，，则下列选项正确的有_____． ①．②．③．④．若，则 三、解答题（本大题共5个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在棱长为2的正方体中，E，F分别为的中点．应用空间向量方法求解下列问题． （1）求的长； （2）证明：平面． 18. 已知直线和圆， （1）m为何值时，直线与圆没有公共点； （2）m为何值时，截得的弦长为2； （3）若直线和圆交于A，B两点，此时，求m的值． 19. 如图，在三棱柱中，平面，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在请说明理由． 20. 已知椭圆的长轴长为4，且点在椭圆C上． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l椭圆C交于两点，且．问：x轴上是否存在点N使得直线，直线与y轴围成的三角形始终是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由． 21. 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值. （1）已知，. ①写出，写出（用含的式子表示）； ②当，写出的最小值及此时x的值； （2）设，，求证： （3）在空间直角坐标系O−xyz中，，，，点P是以O为球心，1为半径的球面上的动点，点Q是△ABC内部的动点，直接写出的最小值及相应的点P的坐标. 2024-2025学年第一学期期中考试 高二年级数学学科试卷 命题人：尘福真 审核人：叶欣 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】3 【14题答案】 【答案】 【15题答案】 【答案】 【16题答案】 【答案】②③④ 三、解答题（本大题共5个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 【17题答案】 【答案】（1）； （2） 由（1）可得，， ∵0，0，∴ 又，平面, ∴平面 【18题答案】 【答案】（1），或 （2） （3）【解析】 【19题答案】 【答案】（1）证明：因为为三棱柱， 所以侧面为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面； （2）； （3）存在；． 【20题答案】 【答案】（1） （2）存在， 【21题答案】 【答案】（1）①；；②的最小值为4，. （2）证明：, 因为， 所以,, 所以. （3）最小值为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $