精品解析：浙江省七彩阳光新高考研究联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

2024学年第一学期七彩阳光新高考研究联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据3，3，4，4，5，5，6，7的第75百分位数是（ ） A. 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 5 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 3. 将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，则朝上面的两个点数之积为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 在三棱锥中，D，E分别为PA，BC的中点，，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线与，若，则之间的距离是（ ） A. B. C. D. 6. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，则停止答题，晋级下一轮．假设甲选手正确回答出每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则甲选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为（ ） A. 0.256 B. 0.128 C. 0.064 D. 0.0256 7. 人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 点P是所在平面外一点，，，，则点到平面距离的最大值是（ ） A. B. 6 C. D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，，…，，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，棱长为1的正方体中，则下列说法正确的是（ ） A. 若点P满足，则点到平面的距离等于 B. 若点满足，则的最小值是 C. 若点满足，则的最小值是 D. 若点满足，则的最小值是 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线经过的定点坐标是__________． 13. 已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为__________． 14. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，，分别为的两个焦点，动点P在上（异于的左、右顶点），的重心为G，若直线与的斜率之积为非零常数，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为45°，且经过点． （1）求与两坐标轴围成的三角形面积； （2）若直线，且到的距离为，求的方程． 16. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，，为线段AD的中点，为PC上的一点，且． （1）求直线EF与平面所成的角的正弦值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 17. 已知椭圆的右顶点和下顶点，过其右焦点的直线交椭圆于B，D两点． （1）求的值； （2）若的角平分线交直线于点，证明：E，A，B三点共线． 18. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆． （1）求圆O与圆C的外公切线的长； （2）过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 19. 在平面内，若点P，Q分别是直线l与圆C上的动点，则称的最小值为直线l与圆C的“线圆距离”，类比到空间中，若点P，Q分别是平面内与球M表面上的动点，则称的最小值为平面与球M的“面球距离”．如图，在直四棱柱中，，，，，点在线段AD上，且，点在线段上． （1）求直线CD与外接圆的“线圆距离”； （2）求平面与三棱锥外接球的“面球距离”； （3）当平面与三棱锥外接球的“面球距离”为零时，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期七彩阳光新高考研究联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 样本数据3，3，4，4，5，5，6，7的第75百分位数是（ ） A. 6.5 B. 6 C. 5.5 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由百分位数的定义求解即可. 【详解】解析：因为， 所以样本数据的第75百分位数是第6个数和第7个数的平均数即. 故选:C． 2. 已知向量，，且，则（ ） A. B. 4 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先求出的坐标，利用模长公式求出参数，再求. 【详解】，，， ∵，∴，， 所以， 故选：A． 3. 将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，则朝上面的两个点数之积为偶数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】列出样本空间，根据古典概型的概率公式计算即可. 【详解】将一枚质地均匀的骰子连续拋掷2次，样本空间 ， 共有36个样本点， 记“朝上面的两个点数之积为偶数”为事件， 则事件 ，有27个样本点， 所求概率为， 故选：D． 4. 在三棱锥中，D，E分别为PA，BC的中点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解即可. 【详解】. 故选：D． 5. 已知直线与，若，则之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件可得两直线的斜率相等且两直线在轴上的截距不相等，列关系式求，再利用平行直线距离公式求结论. 【详解】因为直线的方程为， 所以直线的斜率存在，且其斜率为， 又， 所以直线的斜率存在，且等于直线的斜率，两直线在轴上的截距不相等， 又的方程为， 所以，，， 所以， 故直线的方程为，即， 直线的方程为， 所以之间的距离是. 故选：C. 6. 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出2个问题，则停止答题，晋级下一轮．假设甲选手正确回答出每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则甲选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为（ ） A. 0.256 B. 0.128 C. 0.064 D. 0.0256 【答案】B 【解析】 【分析】由独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】解析：记为“第次正确回答出问题”， 则， 故选：B． 7. 人造地球卫星的运行轨道是以地球中心F为一个焦点的椭圆．如果卫星当作质点，地球当作半径为R的球体，卫星轨道的近地点（距离地面最近的点）A距离地面为，远地点（距离地面最远的点）B距离地面为，且F，A，B在同一直线上，则卫星轨道的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得，解出即可得出离心率. 【详解】设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为， 则由题意得， 解得， 所以该椭圆形轨道的离心率. 故选：A. 8. 点P是所在平面外一点，，，，则点到平面距离的最大值是（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先作出点到平面距离，再利用等面积法求解即可. 【详解】设AB的中点为，则，所以， 因为，所以， 又平面，所以平面，又平面，所以， 作，垂足为，因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 作，垂足为，则平面，所以， 又，平面，所以平面，即为所求的距离， 在中，， 由等面积知， 故当最大时，达到最大，即时，． 故选：B 【点睛】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，，…，，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，其平均数、中位数、方差、极差分别记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，利用平均数的定义计算出答案；B选项，由中位数定义可得新样本数据的顺序与原样本数据相同，B正确；C选项，由方差性质得到；D选项，由极差的性质得到D正确. 【详解】A．，A正确； B．新样本数据的顺序与原样本数据相同，即中位数满足，B正确； C．根据方差性质，有成立，C错误； D．若是，，…，中最大（或最小）值， 则对应也是，，…，中最大（或最小）值， 所以极差满足，D正确. 故选：ABD． 10. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，，将转化为二次函数，即可求解范围，判断A，利用坐标表示，转化为二次函数求解B，利用向量的运算可知，，根据的范围，即可求解，判断C，利用焦半径的最值，即可判断D. 【详解】，，，，，设，，则，， A．，范围是，故A正确； B．设，则，故B错误； C．设为原点，则；故C正确； D．和的最大值为，最小值为 ，所以的最大值为，最小值为，，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，棱长为1的正方体中，则下列说法正确的是（ ） A. 若点P满足，则点到平面的距离等于 B. 若点满足，则的最小值是 C. 若点满足，则的最小值是 D. 若点满足，则的最小值是 【答案】BD 【解析】 【分析】对A，由平面平面，求点到平面的距离即求平面与平面的距离，根据正方体的对称性可求解判断；对B，将对角面绕翻折与平面重合，将空间问题平面化解决；对C，类比平面上阿波罗尼斯圆问题，点的轨迹则是球面，可得解；对D，类比平面上椭圆的定义，可得点的轨迹是椭球，得解. 【详解】对于A，如图，根据题意可得，点在线段上，平面平面， 所以点到平面的距离即是平面与平面的距离， 由正方体的性质可知，垂直平面和平面，并被这两个平面三等分， 所求距离为，故A错误； 对于B，如图，将对角面绕翻折与平面重合，此时中，，，故B正确； 对于C，由得，平面上点的轨迹是阿波罗尼斯圆，空间中点的轨迹则是球面， 球心在直线上，，半径为， 所以的最小值为，故C错误； 对于D，因为，所在平面上点的轨迹是椭圆， 在空间中点的轨迹则是椭球，椭圆中心为的中点，焦距为，长轴长为2， 短轴长也为， 所以的最小值为，故D正确. 故选：BD． 【点睛】关键点点睛：本题B选项解答的关键是将平面绕翻折与平面重合，将空间问题转化为平面问题解决. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线经过的定点坐标是__________． 【答案】 【解析】 【分析】化直线方程为，即可得出答案. 【详解】化直线方程为：，即定点坐标为． 故答案为：. 13. 已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则的值为__________． 【答案】65 【解析】 【分析】由平均数和方差的定义求解即可. 【详解】因为x，y，8，10，11．它的平均数为8，所以， 由，得， 则， 可得：. 故答案为：65. 14. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，，分别为的两个焦点，动点P在上（异于的左、右顶点），的重心为G，若直线与的斜率之积为非零常数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】设点，，则，由P在上和直线与的斜率之积为常数，可得到， ，再利用，求解即可. 【详解】设椭圆的标准方程为，点，， 则代入中，得① 又因为，即，即② 比较得，， 即，， 又，即，解得． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，直线的倾斜角为45°，且经过点． （1）求与两坐标轴围成的三角形面积； （2）若直线，且到的距离为，求的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求出直线的方程，即可得直线与坐标轴交点坐标，从而可求面积； （2）根据垂直关系可得直线的斜率，再由点到直线的距离公式求解直线方程. 【小问1详解】 直线的斜率是， 其方程为：，直线与坐标轴交点坐标为和， 则所求三角形面积为：． 【小问2详解】 直线的斜率是，设其方程为， 所以到的距离，得或， 所以的方程为或． 16. 在四棱锥中，底面是正方形，侧棱平面，，为线段AD的中点，为PC上的一点，且． （1）求直线EF与平面所成的角的正弦值； （2）求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示空间直角坐标系，求出平面的法向量和，再代入空间向量的线面角公式即可； （2）求出平面和平面的法向量，代入空间向量的二面角公式计算即可； 【小问1详解】 连接AC，因为底面是正方形，侧棱平面， 以为原点，DA，DC，DP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， ，，平面， 平面，，，， 取平面的法向量为， ，，又， ， 而，， 记直线EF与平面所成的角为，则， 所以直线EF与平面所成的角的正弦值为． 【小问2详解】 设平面的法向量为，，，， ，即，令，则取， 易知平面，取平面的法向量为， 记平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 17. 已知椭圆的右顶点和下顶点，过其右焦点的直线交椭圆于B，D两点． （1）求的值； （2）若的角平分线交直线于点，证明：E，A，B三点共线． 【答案】（1） （2）证明：设直线倾斜角为，则， 得， 所以直线为，得， 又，所以直线斜率为， 直线斜率为， 所以，故E，A，B三点共线． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出椭圆方程，与直线联立求出D点坐标即可； （2）设直线倾斜角为，则，从而求得直线斜率与方程，再与直线联立求出点，计算即可得证. 【小问1详解】 由得，， 所以，，即，故椭圆方程为， 将代入椭圆方程得，所以. 【小问2详解】 略 18. 在平面直角坐标系中，已知圆和圆． （1）求圆O与圆C的外公切线的长； （2）过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设． ①求的值； ②求圆心C到直线AB的距离的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求解两圆的半径和圆心，即可根据外公切线的性质，结合勾股定理求解， （2）①根据两点距离公式，即可代入化简求解，②根据相切求解经过切点的圆，即可两圆方程相减得相交弦方程，即可根据点到直线的距离公式，结合对勾函数的性质求解. 【小问1详解】 圆心，半径为, 圆心，半径为， 故， 所以外公切线长为． 【小问2详解】 ①设点，则满足，得， 所以 ， 而，得，所以． ②设点，以为直径的圆方程为， 即， 所以两圆的公共弦所在的直线方程为． 圆心到直线AB的距离为， 又因为点在圆上，即，， 所以， 设，且， 由对勾函数在单调递减，在单调递增， 得的最小值为，， , 最大值为， 所以的取值范围为． 19. 在平面内，若点P，Q分别是直线l与圆C上的动点，则称的最小值为直线l与圆C的“线圆距离”，类比到空间中，若点P，Q分别是平面内与球M表面上的动点，则称的最小值为平面与球M的“面球距离”．如图，在直四棱柱中，，，，，点在线段AD上，且，点在线段上． （1）求直线CD与外接圆的“线圆距离”； （2）求平面与三棱锥外接球的“面球距离”； （3）当平面与三棱锥外接球的“面球距离”为零时，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出外接圆的圆心为的中点，即，求出外接圆方程和直线CD的方程，利用点到直线距离公式得到圆心到直线CD的距离，得到答案； （2）三棱锥外接球的球心为，半径为，求出平面的一个法向量，求出球心到平面的距离，得到“面球距离”为； （3）设，则，求出平面的一个法向量，得到点到平面的距离为，根据“面球距离”为零，得到，得到不等式，计算出的最大值是. 【小问1详解】 以A为原点，AB，AD，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， ， 在平面上，外接圆的圆心为的中点，即， 且， 故外接圆方程为：， 直线CD的方程为，即， 圆心到直线CD的距离为， 所以“线圆距离”是． 【小问2详解】 外接圆的圆心为，又， 故三棱锥外接球的球心为，半径为， 设平面的一个法向量为， 则， 解得，令，则，故， 故到平面的距离为， 故“面球距离”为； 【小问3详解】 ，设，则， ，，， 记平面的一个法向量为， 则，即，取， 所以点到平面的距离为， 当球与平面相切或相交时，即“面球距离”为零， 所以，即， 令，代入得， 即，得，故， 或者直接化简得， 从而，所以的最大值是． 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $