精品解析：浙江省杭州第七中学2024-2025学年高二上学期期中练习数学试卷

浙江省杭州第七中学2024-2025学年高二上学期期中练习数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. （ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由，根据复数模的几何含义，即可求模. 【详解】． 故选：A． 2. 若直线与直线平行，则的值是（ ） A. 1或 B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件，列出方程组，即可求解. 【详解】由直线与直线平行， 可得，解得，所以实数的值为. 故选：C. 3. 已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A选项，根据线面平行的判定定理判断；B选项，根据面面平行的判定定理判断；C选项，根据线面垂直的性质定理判断；D选项，根据面面垂直的性质判断. 【详解】A选项，当时，不满足，故A错； B选项，当时，只要且，，就满足，，所以不一定成立，故B错； C选项，，，则，故C正确； D选项，，时，与有可能相交，故D错. 故选：C. 4. 与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由焦点和短半轴长，待定系数法求椭圆方程. 【详解】椭圆化成标准方程为，焦点在轴上， 设所求椭圆方程为， 依题意有，所以，所求椭圆方程为. 故选：B 5. 现有质地相同的6个球，编号为，从中一次性随机取两个球，则两个球的号码之和大于7的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由古典概型概率计算公式即可求解. 【详解】现有质地相同的6个球，编号为，从中一次性随机取两个球，编号组合共有种， 两个球的号码之和大于7的可能有，共6种可能， 故所求为. 故选：A. 6. 已知空间中的点，则到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】计算出，再用勾股定理计算． 【详解】，， ，又， 所以到直线AB的距离等于， 故选：B． 7. 的面积为，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形（非等边） B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理的边角变换，结合诱导公式与倍角公式求得B；利用面积公式与向量数量积的定义求得A，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为，所以，所以，所以； 因为，所以，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以， 所以，因为，所以， 所以，则是直角三角形， 故选：B. 8. 已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设，，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围. 【详解】即，则圆心为，半径， 直线，令，解得，即直线恒过定点， 又，所以点在圆内， 设，，，由， 消去整理得，显然，则， 则， 所以，， 则， 则， 又直线的斜率不为，所以不过点， 所以动点的轨迹方程为（除点外）， 圆的圆心为，半径， 又，所以， 即，即的取值范围为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点的轨迹，再求出圆心到原点的距离，最后根据圆的几何性质计算可得. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知随机事件A、B，若，且，则正确的是（ ） A. B. A、B为互斥事件 C. A、B相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意首先求得，进一步得，由此即可判断各个选项. 【详解】 ， 因为，， 所以，即A、B为互斥事件，故B正确； 而，故AD正确； 对于C，，故C错误. 故选：ABD. 10. 已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 圆心到直线的距离最大为4 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线和圆的位置关系、点和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，半径. ，是圆上的点， 所以的最大值为，A错误. 对于B，如图所示，当直线的斜率大于零且与圆相切时，最大， 此时，且，B正确. 对于C，设， 则， 等号成立当且仅当，所以C正确. 对于D，圆心到直线的距离， 当时，， 当时，，所以D错误. 故选：BC 11. 定义两个向量之间的一种新运算：，其中是向量的夹角，则对于非零向量，则下列结论一定成立的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据数量积的公式和新定义判断即可. 【详解】A选项，，则，即或，所以，故A正确； B选项，，故B正确； C选项，，故C错； D选项， 当时，，故D错. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若边上的高为4，则的面积为______. 【答案】12 【解析】 【分析】设边上的高为，由射影定理可得，结合三角形面积公式即可得解. 【详解】 设边上的高为，则， 由题意， 故则的面积为. 故答案为：12. 13. 若动直线始终与椭圆有公共点，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】首先得动直线所过的定点，进一步由已知列不等式，求解即可. 【详解】动直线即过定点， 若动直线始终与椭圆有公共点， 则，解得，且， 所以的取值范围是. 故答案为：. 14. 在四边长均为的菱形ABCD中，沿对角线BD折成二面角为的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】设两三角形外心分别为,球心为，取中点，得，从而可求得，再根据勾股定理即可求得外接球的半径，从而可求表面积. 【详解】如图所示，设两三角形外心分别为,球心为， 则平面，平面，取中点， 则，所以二面角的平面角为，即， 所以， 在中，，所以， 又，所以球的半径为， 故球的表面积为. 故答案为：. 四、解答题：共5题，共77分. 15. 已知椭圆的一个焦点为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于A，B两点，若AB中点为，求 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的性质列方程，然后解方程得到，，即可得到椭圆方程； （2）根据直线的斜率得到，然后利用点差法求的斜率即可. 【小问1详解】 由题意得，即①， 因为椭圆过点，所以②， 由①②得，， 所以椭圆得方程为. 【小问2详解】 设，，则，， 因为直线的方程为，所以， 由题意得， 两式相减得， 整理得，则，， 所以. 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求边长和角； （2）若的面积为，求中线AD的长度. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据，利用正弦定理得到，求得a，再由求得角A； （2）由余弦定理和三角形面积公式求得和，再由，两边平方求中线的长度. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得． 可得． 由，得， 得， 得或，故或0（舍去）． 【小问2详解】 由，得， 由余弦定理可知，， 由（1）可得，所以， 又， 所以 ， 即， 所以中线的长度为. 17. 某市为了创建文明城市，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值按照分成5组，制成如图所示频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的中位数； （3）若用这组数据估计全市对文明城市创建推行的满意度，从该城市中随机抽取3人，求这三人中恰有一人满意度在80分及以上的概率 【答案】（1）0.02 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据所有矩形的面积和为1列方程，然后解方程即可； （2）根据中位数的性质列方程，解方程即可； （3）用样本估计总体，然后利用二项分布的概率公式计算概率. 【小问1详解】 由题意得， 解得. 【小问2详解】 因为，， 所以中位数在间， 设中位数为，则，解得， 所以这组数据的中位数为. 【小问3详解】 由题意得这组数据满意度在80分及以上的频率为， 设这三人中恰有一人满意度在80分及以上为事件， 则. 18. 如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1） 如图建系，设 则,, 设平面法向量为, , ,可得即得， 因为所以,不在平面内， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的空间向量法证明即可； （2）根据空间向量法求二面角余弦，再结合同角三角函数关系求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面法向量为, , 可得, 即得, 设二面角为， 则, 因为所以 19. 古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程； （3）过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列方程，整理即可得到曲线的方程； （2）根据在曲线上得到，，根据为线段的中点得到，然后解方程得到点，最后求直线方程即可； （3）根据的坐标得到点在直线上运动，然后利用等面积的思路得到当长度最小时，线段的长度最小，最后根据几何知识求最小值即可. 【小问1详解】 设，则， 整理得，即， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设，，则①，②， 因为为线段的中点，所以，即， 将代入②中得③， 联立①③得，则， 所以， 直线的方程为. 【小问3详解】 由题意得点在直线上运动， 设曲线的圆心为，则， 由题意得，， 则， 所以当长度最小时，线段的长度最小， 当垂直直线时，长度最小， 则， 所以. 【点睛】关键点睛：（3）的解题关键在于通过等面积的方法将求的最小值转化为求的最小值，然后根据垂线段最短求最值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省杭州第七中学2024-2025学年高二上学期期中练习数学试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. （ ） A. B. C. D. 2 2. 若直线与直线平行，则的值是（ ） A. 1或 B. C. D. 或 3. 已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 5. 现有质地相同的6个球，编号为，从中一次性随机取两个球，则两个球的号码之和大于7的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间中的点，则到直线AB的距离为（ ） A. B. C. D. 2 7. 的面积为，且，则的形状是（ ） A. 等腰三角形（非等边） B. 直角三角形 C. 正三角形 D. 钝角三角形 8. 已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 已知随机事件A、B，若，且，则正确的是（ ） A. B. A、B为互斥事件 C. A、B相互独立 D. 10. 已知直线，圆，点为圆上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为5 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 圆心到直线的距离最大为4 11. 定义两个向量之间的一种新运算：，其中是向量的夹角，则对于非零向量，则下列结论一定成立的是（ ） A. 若，则 B. C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若边上的高为4，则的面积为______. 13. 若动直线始终与椭圆有公共点，则的取值范围是______. 14. 在四边长均为的菱形ABCD中，沿对角线BD折成二面角为的四面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为______. 四、解答题：共5题，共77分. 15. 已知椭圆的一个焦点为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于A，B两点，若AB中点为，求 16. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求边长和角； （2）若的面积为，求中线AD的长度. 17. 某市为了创建文明城市，随机选取了100名市民，就该城市创建的推行情况进行问卷调查，并将这100人的问卷根据其满意度评分值按照分成5组，制成如图所示频率分布直方图. （1）求图中的值； （2）求这组数据的中位数； （3）若用这组数据估计全市对文明城市创建推行的满意度，从该城市中随机抽取3人，求这三人中恰有一人满意度在80分及以上的概率 18. 如图，直四棱柱的底面是正方形，，E，F分别为，的中点. （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值. 19. 古希腊时期与欧几里得、阿基米德齐名的著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点、动点满足，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过的直线与曲线交于P，Q两点，若为线段NQ的中点，求直线的方程； （3）过点作曲线的两条切线，切点分别为M，N，线段MN长度的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $