13.2 命题与证明课时作业2024-2025学年 沪科版数学八年级上册

13.2　第2课时　证明的基本概念 【基础达标】 1下列命题中是定理的是 ( ) A.两点确定一条直线 B.两直线平行,同位角相等 C.对顶角相等 D.两点之间,线段最短 2“同角或等角的补角相等”是 ( ) A.定义 B.基本事实 C.定理 D.假命题 3下列命题不是基本事实的是 ( ) A.两点确定一条直线 B.两条直线相交,只有一个交点 C.两点之间,线段最短 D.内错角相等,两直线平行 【能力巩固】 4如图,根据已知条件,直线AB与直线CD平行吗?说说你的理由. 5如图,点B、C、D在同一条直线上,AC⊥BD,如果∠ECD=36°,∠A=54°,求证:CE∥AB. 【素养拓展】 6如图,直线AB,CD被直线AE所截,直线AM,EN被MN所截.请你从以下三个条件:①AB∥CD;②AM∥EN;③∠BAM=∠CEN中选出两个作为已知条件,另一个作为结论,得出一个正确的命题. (1)请按照:“∵ , ;∴ ”的形式,写出所有正确的命题;  (2)在(1)所写的命题中选择一个加以证明,写出推理过程. 参考答案 1.C　2.C　3.D 4.解:直线AB与直线CD平行. 理由:∵∠AGH=110°, ∴∠BGH=180°-110°=70°(邻补角定义), 而∠DHF=70°,即∠BGH=∠DHF, ∴AB∥CD(同位角相等,两直线平行). (证明方法不唯一,正确即可). 5.证明:∵AC⊥BD(已知), ∴∠ACD=90°(垂直的定义). 又∵∠ECD=36°(已知), ∴∠ACE=90°-36°=54°. 又∵∠A=54°(已知), ∴∠ACE=∠A(等量代换), ∴CE∥AB(内错角相等,两直线平行). 6.解:(1)命题1:∵AB∥CD,AM∥EN,∴∠BAM=∠CEN; 命题2:∵AB∥CD,∠BAM=∠CEN,∴AM∥EN; 命题3:∵AM∥EN,∠BAM=∠CEN,∴AB∥CD. (2)证明命题1: ∵AB∥CD, ∴∠BAE=∠CEA. ∵AM∥EN, ∴∠3=∠4, ∴∠BAE-∠3=∠CEA-∠4, 即∠BAM=∠CEN. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2　第1课时　命题 【基础达标】 1下列语句中是命题的是 ( ) A.作直线AB的垂线 B.在线段AB上取点C C.同旁内角互补 D.垂线段最短吗 2下列命题中,属于假命题的是 ( ) A.若a-b=0,则a=b=0 B.若a-b>0,则a>b C.若a-b<0,则a<b D.若a-b≠0,则a≠b 3命题“同位角相等”的题设是 .  4分别把下列命题写成“如果……,那么……”的形式,并指出其题设和结论,判断其真假. (1)互为倒数的两个数的积为1. (2)负数之和仍为负数. 【能力巩固】 5下列命题的逆命题是真命题的是 ( ) A.直角都相等 B.钝角都小于180° C.如果x2+y2=0,那么x=y=0 D.正比例函数是一次函数 6已知命题:“三角形三条高线交点一定不在三角形的外部”,下列选项中,可以作为该命题是假命题的反例是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 7把“等角的余角相等”改写成“如果……,那么……”的形式是 .该命题是 命题.(填“真”或“假”)  8请举反例说明命题“对于任意实数x,x2+5x+5的值总是整数”是假命题,你举的反例是x= (写出一个x的值即可).  9写出下列假命题的反例. (1)有两个角是锐角的三角形是锐角三角形; (2)相等的角是对顶角. 10写出下列命题的逆命题,并判断它们的真假. (1)如果a=b,那么|a|=|b|; (2)两直线平行,同旁内角互补. 【素养拓展】 11对于命题“两锐角之和一定是钝角”,能说明它是一个假命题的反例是 ( ) A.∠1=41°,∠2=50° B.∠1=41°,∠2=51° C.∠1=51°,∠2=49° D.∠1=41°,∠2=49° 12已知∠ABC的两边与∠DEF的两边平行,即BA∥ED,BC∥EF. (1)如图①,若∠B=40°,则∠E= °;  (2)如图②,猜想∠B与∠E有怎样的关系,试说明理由; (3)如图③,猜想∠B与∠E有怎样的关系,试说明理由; (4)根据以上情况,请归纳概括出一个真命题. 参考答案 1.C　2.A 3.两个角是同位角 4.解:(1)如果两个数互为倒数,那么这两个数的积为1. 题设:两个数互为倒数,结论:这两个数的积为1. 该命题是真命题.　 (2)如果几个负数相加,那么它们的和仍为负数. 题设:几个负数相加,结论:它们的和为负数. 该命题是真命题. 5.C　6.D 7.如果两个角相等,那么它们的余角也相等　真 8. 9.解:(1)10°,20°,150°这样的三个角的三角形是钝角三角形. (2)两个三角板里的直角都相等,但不是对顶角. 10.解:(1)如果|a|=|b|,那么a=b.是假命题. (2)同旁内角互补,两直线平行.是真命题. 11.D 12.解:(1)40. 提示:因为BA∥ED,BC∥EF, 所以∠B=∠DOC,∠DOC=∠E, 所以∠B=∠E=40°. 故答案为40. (2)∠B=∠E. 理由:因为BA∥ED,BC∥EF, 所以∠B=∠EOC,∠EOC=∠E, 所以∠B=∠E. (3)∠B+∠E=180°. 理由:因为BA∥ED,BC∥EF, 所以∠B=∠DOC,∠BOE+∠E=180°. 因为∠DOC=∠BOE, 所以∠B+∠E=180°. (4)通过上面(1)、(2)、(3),可得到的结论:如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边,则这两个角的关系是相等或互补, 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2　第3课时　分析与证明 【基础达标】 1如图,在四边形ABCD中,已知条件:∠1=∠2,证明AD∥BC的理论依据是 ( ) A.两直线平行,内错角相等 B.两直线平行,同位角相等 C.内错角相等,两直线平行 D.同位角相等,两直线平行 2如图,已知AE∥BC,∠1=∠2,则下列结论不成立的是 ( ) A.∠B=∠C B.∠1+∠2=∠B+∠C C.∠1=∠BAC D.∠1=∠2=∠B=∠C 3如图,∠1+∠2=180°,若∠3=50°,则∠4= .  4如图,E为DF上的点,B为AC上的点,∠1=∠2,∠C=∠D.求证:AC∥DF. 请你补充并完成下面证明. 证明:∵∠1=∠2(已知), ∠1=∠3,∠2=∠4( ),  ∴∠3=∠4(等量代换), ∴ ∥ ( ),  ∴∠C=∠ABD( ).  ∵∠C=∠D( ),  ∴∠D=∠ABD( ),  ∴AC∥DF( ).  【能力巩固】 5如图,∠1=∠4,∠A=∠5,能否判断AB∥CD?写出证明的过程. 6如图,AB∥CD,EF为直线,∠1=63°,∠2=27°,求证:EF⊥CD. 7如图,现有下列4个事项: ①∠1=∠2;②∠3=∠B;③FG⊥AB于G;④CD⊥AB于点D. 以上述4个事项中的①②③三个作为一个命题的己知条件,④作为该命题的结论,可以组成一个真命题.请你证明这个真命题,并附上证明依据. 【素养拓展】 8如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,∠AEF=∠AFE. (1)求证:AD⊥BC;(请用一对互逆命题进行证明) (2)写出你所用到的这对互逆命题. 9如图,AD平分∠BAC交BC于点D,点F在BA的延长线上,点E在线段CD上,EF 与AC相交于点G,∠ADB+∠CEG=180°. (1)证明:AD∥EF; (2)若点H在FE的延长线上,且∠EDH=∠C.证明:∠H=∠F. 参考答案 1.C　2.C 3.50° 4.对顶角相等　DB　EC　内错角相等,两直线平行　两直线平行,同位角相等　已知　等量代换　内错角相等,两直线平行 5.解:能判断AB∥CD. 证明:∵∠1=∠4(已知), ∴AD∥EC(内错角相等,两直线平行). ∴∠A=∠CEB(两直线平行,同位角相等). 又∵∠A=∠5(已知),∴∠CEB=∠5(等量代换), ∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行). 6.证明:因为AB∥CD(已知), 所以∠1=∠3(两直线平行,同位角相等). 又因为∠2=27°,∠1=63°(已知), 所以∠EFC=∠2+∠3=27°+63°=90°. 所以EF⊥CD(垂直的定义). 7.证明:∵∠3=∠B,(已知) ∴DE∥BC,(同位角相等,两直线平行) ∴∠1=∠BCD.(两直线平行,内错角相等) ∵∠1=∠2,(已知) ∴∠2=∠BCD.(等量代换) ∴GF∥CD,(同位角相等,两直线平行) ∴∠CDB=∠BGF.(两直线平行,同位角相等) ∵FG⊥AB,即∠BGF=90°,(垂直的定义) ∴∠CDB=90°,故CD⊥AB.(两直线平行,同位角相等) 8.解:(1)证明:∵BF平分∠ABC, ∴∠ABF=∠CBF. ∵∠ABF+∠AFB=90°,∠BED=∠AEF=∠AFB, ∴∠CBF+∠BED=90°, ∴∠ADB=90°, ∴AD⊥BC. (2)互逆命题:直角三角形的两锐角互余;有两个锐角互余的三角形是直角三角形. 9.证明:(1)∵∠ADB+∠CEG=180°, ∠ADB+∠ADE=180°, ∴∠ADE=∠CEG, ∴AD∥EF. (2)∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD=∠CAD. ∵∠EDH=∠C, ∴HD∥AC, ∴∠H=∠CGH. ∵AD∥EF, ∴∠CAD=∠CGH, ∴∠BAD=∠F, ∴∠H=∠F. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2　第4课时　三角形内角和定理的证明及推论 【基础达标】 1如图,已知AB⊥BD,AC⊥CD,∠A=35°,则∠D的度数为 ( ) A.35° B.45° C.55° D.65° 2在△ABC中,若∠C=90°,∠A=43°,则∠B= .  3补充完成下列证明. 已知:△ABC. 求证:∠A+∠B+∠C=180°. 证明:如图,过点A作AD∥BC. ∵AD∥BC(已作), ∴∠B+ =180°( ),  ∠1= ( ).  ∴∠ +∠ +∠ = .  4推理填空:如图,AB、BC交于点B,∠1=∠3,CD⊥BC. 求证:∠2与∠4互余. 证明:∵AB、BC交于点B(已知), ∴∠1=∠2( ).  ∵∠1=∠3(已知), ∴∠2=∠3( ).  ∵CD⊥BC(已知), ∴∠3+∠4=90°(垂直的定义), ∴∠2+∠4=90°( ),  ∴∠2与∠4互余(互余的定义). 【能力巩固】 5如图,AB∥CD,EF⊥AB于点E,EF交CD于点F,已知∠2=30°,则∠1的度数为 ( ) A.20° B.60° C.30° D.45° 6如图,若AE是△ABC的边BC上的高,AD是∠EAC的角平分线,交BC于点D.若∠ACB=40°,则∠DAE等于 ( ) A.50° B.25° C.40° D.35° 7如图,FA⊥EC,∠F=40°,∠C=20°,则∠FBA= .  8如图,在△ABC中,BD⊥CA于点D,CE⊥AB于点E,BD和CE交于点H.求证:∠ABD=∠ACE. 9如图,AD⊥BC,EF⊥BC,∠3=∠C.求证:∠1=∠2. 【素养拓展】 10如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC、∠ABC的平分线交于D点.求证:∠ADB的度数为一个定值. 参考答案 1.A 2.47° 3.∠BAD　两直线平行,同旁内角互补　∠C　两直线平行,内错角相等　BAC　B　C　180° 4.对顶角相等　等量代换　等量代换 5.B　6.B 7.70° 8.证明:∵BD⊥CA,CE⊥AB(已知), ∴∠AEC=90°,∠ADB=90°(垂直定义), ∴∠A+∠ACE=90°, ∠A+∠ABD=90°(直角三角形的两个锐角互余), ∴∠ACE=∠ABD(同角的余角相等). 9.证明:因为AD⊥BC,EF⊥BC(已知), 所以AD∥EF(垂直于同一条直线的两条直线平行), 所以∠1=∠CAD(两直线平行,同位角相等). 又因为∠3=∠C(已知), 所以AC∥HD(同位角相等,两直线平行), 所以∠2=∠CAD(两直线平行,内错角相等), 所以∠1=∠2. 10.证明:在△ABC中,∵∠C=90°(已知), ∴∠BAC+∠ABC=90°(直角三角形的两锐角互余). 又∵AD是∠BAC的平分线,BD是∠ABC的平分线(已知), ∴∠BAD=∠BAC,∠ABD=∠ABC(角平分线定义), ∴∠BAD+∠ABD=(∠BAC+∠ABC)=×90°=45°(等量代换), ∴∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-(∠BAD+∠ABD) =180°-45°=135°(等量代换), 即∠ADB的度数是一个定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 13.2　第5课时　三角形的外角 【基础达标】 1三角形的三个外角中,钝角最多有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.以上答案都不对 2如图,直线a∥b,直线AC分别交a、b于点B、C,直线AD交a于点D.若∠1=20°,∠2=65°,则∠3的度数等于 ( ) A.30° B.45° C.60° D.85° 3如图,在△ABC中,∠1是它的一个外角,E为边AC上一点,点D在边BC的延长线上,连接DE,则下列结论中不一定正确的是 ( ) A.∠1>∠2 B.∠1>∠3 C.∠3>∠5 D.∠4>∠5 4如图,有两根竹竿AB、DB靠在垂直地面的墙角上,并与墙角FCE形成一定的角度,测得∠CAB,∠CDB的度数分别为α,β.用含有α,β的代数式表示∠ABD的度数. 【能力巩固】 5若一个三角形的三个外角的度数之比为2∶3∶4,则与之对应的三个内角的度数之比为 ( ) A.4∶3∶2 B.3∶2∶4 C.5∶3∶1 D.3∶1∶5 6如图,在△ABC中,EF∥BC,∠A的平分线交EF于点H,交BC于点D,记∠ADC=α,∠ACB的一个邻补角为β,∠AEF=γ.则α,β,γ的关系是 ( ) A.α-β=γ B.2α-β=γ C.3α-β=γ D.4α-β=γ 7如图,D是△ABC的BC边上的一点,且∠1=∠2,∠3=∠4,∠BAC=66°,求∠DAC的度数. 8如图,AE、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB,OD⊥BC. 求证:∠1=∠2. 【素养拓展】 9将一副三角板按如图所示的方式摆放,使得斜边AB∥DE,则∠ACD的度数为 ( ) A.15° B.18° C.20° D.25° 10如图,△ABC中,∠A=30°,∠B=62°,CE平分∠ACB. (1)求∠ACE的度数; (2)若CD⊥AB于点D,∠CDF=74°,证明:△CFD是直角三角形. 参考答案 1.C　2.B　3.D 4.解:根据外角的性质,得 ∠DBF=90°+β①,∠ABF=90°+α②, 由①-②,得∠ABD=∠ABF-∠DBF=α-β. 5.C　6.B 7.解:∵∠4=∠1+∠2,∠1=∠2, ∴∠4=2∠1. 又∵∠3=∠4, ∴∠3=2∠1, ∴∠BAC=180°-∠2-∠3=180°-∠1-2∠1=66°, 解得∠1=38°, ∴∠DAC=∠BAC-∠1=66°-38°=28°. 8.证明:∵AE、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB, ∴∠1=∠ABC+∠BAC=(180°-∠ACB)=90°-∠ACB,∠2=90°-∠ACB, ∴∠1=∠2. 9.A 10.解:(1)∵∠A=30°,∠B=62°, ∴∠ACB=180°-∠A-∠B=88°. ∵CE平分∠ACB, ∴∠ACE=∠BCE=∠ACB=44°. (2)证明:∵CD⊥AB, ∴∠CDB=90°, ∴∠BCD=90°-∠B=28°, ∴∠FCD=∠ECB-∠BCD=16°. ∵∠CDF=74°, ∴∠CFD=180°-∠FCD-∠CDF=90°, ∴△CFD是直角三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$