专题02 命题与证明重难点题型专训（11大题型+18道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（沪科版）

专题02 命题与证明重难点题型专训（11大题型+18道拓展培优） 题型一 判断是否是命题 题型二 判断命题的真假 题型三 写出命题的题设与假设 题型四 写出命题的逆命题 题型五 定理与命题 题型六 举反例 题型七 反证法证明中的假设 题型八 用反证法证明命题 题型九 逻辑推理与证明 题型十 以几何为背景的推理与论证 题型十一 以代数为背景的推理与论证 【经典例题一 判断是否是命题】 【例1】（23-24八年级上·浙江·单元测试）下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a的值 【答案】C 【分析】根据命题的定义对各选项进行判断． 【详解】解：A．“作两条相交直线”为描叙性语言，它不是命题，所以A选项错误； B．“∠和∠相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B选项错误； C．全等三角形对应边相等，它是命题，所以C选项正确； D．“若a2＝4，求a的值”为描叙性语言，它不是命题，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 1．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）下列语句中：①同角的补角相等；②雪是白的；③画；④他是小张吗？⑤两直线相交只有一个交点．其中是命题的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据命题的定义分别对各语句进行判断． 【详解】解：“同角的补角相等”是命题，“雪是白的”是命题；“画∠AOB=Rt∠”不是命题；“他是小张吗？”不是命题；“两直线相交只有一个交点”是命题． 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列语句哪些是命题，哪些不是命题？ （1）作，（ ）      （2）两个锐角互余．（    ） （3）直线a与b有可能垂直．（ ）      （4）作射线．（    ） （5）作直线．（ ）      （6）整数一定是有理数．（    ） 【答案】（1）不是，（2）是，（3）是，（4）不是，（5）不是，（6）是 【分析】判断一件事情的语句叫命题，根据定义解答． 【详解】解：（1）作 ，不是命题；故答案为：不是．（2）两个锐角互余，是命题；故答案为：是．（3）直线a与b有可能垂直，是命题；故答案为：是． （4）作射线 ，不是命题；故答案为：不是．（5）作直线 ，不是命题； 故答案为：不是． （6）整数一定是有理数，是命题；故答案为：是． 【点睛】此题考查命题的定义，熟记定义是解题的关键． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 【答案】（1）（2）（3）（4）是命题 【分析】本题考查了判断是否是命题．根据判断一件事情的语句，叫做命题，命题是一个判断的语句，必须是一个完整的句子，据此逐一分析即可求解． 【详解】解：（1）（2）（3）是命题，它们都对事情作出了肯定的判断；（4）是命题，它对事情作出了否定的判断；（5）不是命题，只表示疑问，并未作出判断； （6）不是命题，只是描述了一个作图的过程，不含有判断的意思． ∴（1）（2）（3）（4）是命题，（5）（6）不是命题． 【经典例题二 判断命题的真假】 【例2】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）下列命题中，属于假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．锐角互余的三角形是直角三角形 C．三角形的外角等于两个内角的和 D．三角形的两个外角可能会相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题的判断，根据直角三角形的性质、三角形的外角的性质即可逐一判断． 【详解】解：A. 直角三角形的两个锐角互余，真命题，不合题意； B. 锐角互余的三角形是直角三角形，真命题，不合题意； C. 三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和，原命题是假命题，符合题意；     D. 三角形的两个外角可能会相等，真命题，不合题意． 故选：C． 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列语句中：①如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④同位角相等；⑤两条直线相交，若邻补角相等，则这两条直线互相垂直；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中是真命题的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查判断命题的真假，根据垂直的定义和性质、平行公理、平行线的性质、邻补角的定义等逐项判断即可求解． 【详解】解：同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行， 故①是假命题； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离， 故②是假命题； 在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， 故③是假命题； 两直线平行，同位角相等， 故④是假命题； 两条直线相交，若邻补角相等，则邻补角均为90度，即这两条直线互相垂直， 故⑤是真命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直‌， 故⑥是假命题； 综上可知，真命题的个数有1个， 故选A． 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列命题： ①相等的两个角是对顶角； ②在同一平面内，若，则； ③若，则与互为邻补角； ④互为邻补角的两角的平分线互相垂直； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有_______（填序号） ． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了命题与定理，熟练掌握相关概念是解题关键． 根据正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，再结合相关知识对各个命题逐一分析判断即可． 【详解】解：①相等的两个角不一定是对顶角，故本选项不符合题意； ②在同一平面内，若，则，故本选项符合题意； ③若，则与互为补角，不一定互为邻补角，故本选项不符合题意； ④如图，互为邻补角，分别平分， ， ，则互为邻补角的两角的平分线互相垂直，故本选项符合题意； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做这点到这条直线的距离，故本选项不符合题意； ⑥过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故本选项不符合题意； 综上所述，真命题有②④， 故答案为：②④． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）判断下列命题是真命题，还是假命题，对于假命题请举出反例． (1)平行于同一条直线的两条直线互相平行； (2)如果，那么． 【答案】(1)是真命题 (2)是假命题，反例见解析 【分析】本题考查了平行公理推论，绝对值的性质，判断命题的真假，举反例． （1）根据平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行即可求解； （2）根据绝对值的定义即可求解． 【详解】（1）解：是真命题． 理由：根据如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行可得“平行于同一条直线的两条直线互相平行”是真命题． （2）解：是假命题． 理由：当，时，，， 满足，但是， 故“如果，那么”是假命题． 【经典例题三 写出命题的题设与假设】 【例3】（2023春·山东青岛·七年级校考阶段练习）命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是（    ） A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角 D．如果两个角互余，那么这两个角相等 【答案】B 【分析】根据命题由题设和结论组成，把条件“两个角是同角的余角”写在如果的后面，把结论“这两个角相等”写在那么的后面即可． 【详解】命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是“如果两个角是同角的余角，那么这两个角相等”． 故选B． 【点睛】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题． 1．（2023春·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成 ，该命题是 （填“真命题”或“假命题”）． 【答案】 如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等 真命题 【分析】命题由题设和结论两部分组成．题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．命题常常可以写为“如果…那么…”的形式，如果后面接题设，那么后面接结论．题设成立，结论也成立的叫真命题；而题设成立，不保证结论成立的为假命题． 【详解】解：把“等角的补角相等”改写成“如果…那么…”的形式是：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等；这个命题正确，是真命题， 故答案为：如果两个角是等角的补角，那么这两个角相等，真命题． 【点睛】本题考查了命题与定理，命题的“真”“假”是就命题的内容而言，任何一个命题非真即假，要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，点是上的一点，    (1)给出以下3个条件：①是角平分线，②，③与平行；从中选择两个作为条件，另外一个作为结论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）； (2)请证明你的结论． 【答案】(1)①②，③ (2)见解析 【分析】（1）从3个条件中选两个作为条件，一个结论即可解答； （2）根据角平分线的定义、等量代换可得，再根据内错角相等、两直线平行即可解答． 【详解】（1）解：可以选①②作为条件，③作为结论． 故答案为：①②，③（答案不唯一）． （2）证明：∵是角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴与平行． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定、角平分线的定义等知识点，掌握等量代换的方法是解答本题的关键． 【经典例题四 写出命题的逆命题】 【例4】（2023秋·福建厦门·九年级厦门市槟榔中学校考开学考试）下列命题都是正确的命题，其中逆命题也正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】先确定各选项的逆命题，再进行判断即可． 【详解】解：A．若，则逆命题为若，则是假命题，不合题意； B．若，则逆命题为若，则是假命题，不合题意； C．若，则逆命题为若，则是假命题，不合题意； D．若，则逆命题为若，则是真命题，符合题意． 故选：D 【点睛】本题考查了原命题、逆命题的定义和不等式的性质．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题．解题关键是能够根据不等式的性质对逆命题进行判断． 1．（2023春·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是 ，该逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 【答案】 三个内角相等的三角形是等边三角形； 真命题． 【分析】逆命题就是原命题的题设和结论互换，找到原命题的题设为等边三角形，结论为三个内角相等，互换即可． 【详解】解：命题“等边三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是等边三角形”，该逆命题是真命题； 故答案为：三个内角相等的三角形是等边三角形；真命题． 【点睛】此题考查了命题和定理，熟练掌握逆命题和真假命题的概念是解题的关键． 2．（2023春·全国·七年级专题练习）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题． (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)垂直于同一条直线的两直线平行； (3)相等的角是内错角； (4)有一个角是60°的三角形是等边三角形． 【答案】真命题；假命题；假命题；真命题． 【分析】分别找出各命题的题设和结论将其互换即可． 【详解】解：（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题； （2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），假命题； （3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等； （4）等边三角形有一个角是60°真命题． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆题． 【经典例题五 定理与命题】 【例5】（2023春·七年级课前预习）有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 【答案】B 【分析】通过真命题（公理或其他已被证明的定理）出发,经过受逻辑限制的演绎推导,证明为正确的结论的命题或公式叫做定理. 【详解】①是题目条件或者要求,不是定理; ②是三角形中位线定义,不是定理; ③是定理; ④是假命题,应该是垂直于同一直线的两条直线互相平行. 故选B. 【点睛】该题考查了定理定义,首先先判断该句是否是真命题,如果是真命题的话,再判断是否经过逻辑推理可以进行证明,如果是,就说明该句是定理. 1．（2023春·七年级课时练习）（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 【答案】（1）垂线段最短；（2） ， ， ， . 【分析】（1）根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可； （2）根据全等三角形的判断定理SSS，即可得到答案. 【详解】解：（1）∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短， ∴过点A作于点B，这样修所依据的数学公理是垂线段最短． 故答案为垂线段最短． （2）根据题意，当时， 有：（SSS）， 所依据的数学公理是SSS； 故答案为 ， ， ， . 【点睛】本题主要考查了垂线段的性质，全等三角形的判定，解题的关键是掌握垂线段最短的性质和SSS证明全等三角形的判定定理. 2．（2023春·七年级课时练习）（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题． 【答案】（1）见解析；（2）同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】（1）利用同旁内角互补，两直线平行和内错角相等；两直线平行判断AB∥CD，CD∥EF，则利用平行线的传递性得到AB∥EF，然后根据平行线的性质得到结论； （2）利用了平行线的判定与性质定理求解． 【详解】（1）证明：∵∠B＋∠1＝180°， ∴AB∥CD， ∵∠2＝∠3， ∴CD∥EF， ∴AB∥EF， ∴∠B＋∠F＝180°； （2）解：在（1）的证明过程中应用的两个互逆的真命题为：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 【经典例题六 举反例】 【例6】（2023春·江苏南京·七年级校考期中）要说明命题“若，则”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】将满足命题条件的字母值代入计算，得出相反的结论，即为所求． 【详解】解：，时，，， ∴，与原命题结论相反． 故选：C． 【点睛】本题考查命题的判断，理解命题的相关定义是解题的关键． 1（2023春·北京延庆·七年级统考期末）为了说明“如果，那么”是假命题，则a，b可以取的一组值是 ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】解：当，时，有， 但， 故答案为：，． 【点睛】此题主要考查了利用举例法证明一个命题错误，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法． 2．（2023春·河南驻马店·七年级统考期中）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)内错角相等； (3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 【答案】(1)题设：如果两个角的和等于平角时，结论：那么这两个角互为补角；是真命题 (2)题设：如果两个角是内错角，结论：这两个角相等；是假命题，举反例见解析； (3)题设：如果两条平行线被第三条直线所截，结论：那么同旁内角互补．是真命题 【分析】（1）如果引出的部分就是命题的题设，那么引出的部分就是命题的结论，题设成立，结论也成立命题是真命题，否则是假命题，据此结合补角的定义判定即可； （2）两直线平行，内错角才相等，画出不平行的直线形成的内错角即可； （3）利用平行线的性质判定即可； 【详解】（1）解：题设：如果两个角的和等于平角时， 结论：那么这两个角互为补角； 是真命题； （2）解：题设：如果两个角是内错角， 结论：这两个角相等； 是假命题，如图与是内错角，；    （3）解：题设：如果两条平行线被第三条直线所截， 结论：那么同旁内角互补． 是真命题． 【点睛】本题考查了命题，掌握命题的概念和真假命题的判定方法是解题的关键． 【经典例题七 反证法证明中的假设】 【例7】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设（    ） A．一个三角形中至少有一个角是直角或钝角 B．一个三角形中至少有两个角是直角或钝角 C．一个三角形中至多有一个角是直角或钝角 D．一个三角形中没有一个直角或钝角 【答案】C 【分析】利用反证法证明一个命题，首先要假设所证的结论不正确，结论的反面正确． 【详解】解：假设正确的是：假设三角形中至少有两个角是直角或钝角， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了反证法，正确理解反证法的思想方法，理解求设的方法是解决本题的关键． 1．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）用反证法证明命题：“已知，，求证：”第一步应先假设 ． 【答案】 【分析】根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可． 【详解】解：第一步应先假设； 故答案为：． 【点睛】本题考查反证法．熟练掌握反证法的步骤，是解题的关键． 2．（2023春·浙江·八年级专题练习）七年级教材在图形与几何部分给出了五条基本事实，在《证明》一章中我们从两条基本事实出发，把前面得到的平行线相关性质进行了严格的证明，体会了数学的公里化思想.请完成下列证明活动： 活动．利用基本事实证明：“两直线平行，同位角相等”.（在括号内填上相应的基本事实） 已知：如图，直线、被直线所截，． 求证：． 证明：假设，则可以过点作， ∵， ∴（ ）， ∴过点存在两条直线、两条直线与平行，这与基本事实（ ）矛盾， ∴假设不成立， ∴． 活动．利用刚刚证明的“两直线平行，同位角相等”证明“两直线平行，同旁内角互补”.（要求画图，写出已知、求证并写出证明过程） 已知: ． 求证： ． 证明： 【答案】活动1：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；活动2：；两直线平行，同旁内角互补；证明见解析 【分析】活动1，根据同位角相等，两直线平行可得出结论； 活动2，利用∠1＝∠2，再由补角的定义即可得出结论． 【详解】活动1，证明：假设∠1≠∠2，则可以过点O作∠EOG＝∠2， ∵∠EOG＝∠2， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴过O点存在两条直线AB、OG两条直线与CD平行，这与基本事实（过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行）矛盾， ∴假设不成立， ∴∠1＝∠2． 故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 活动2，已知：． 求证：两直线平行，同旁内角互补． 证明：如图， ∵， ∴∠1＝∠2， ∵∠1＋∠3＝180°， ∴∠2＋∠3＝180°，即两直线平行，同旁内角互补． 故答案为：；两直线平行，同旁内角互补． 【点睛】本题主要考查的是平行线性质的证明，熟知平行线的性质定理和平行线的公理，是解答此题的关键． 【经典例题八 用反证法证明命题】 【例8】（23-24八年级上·河南南阳·期末）下面是小华证明“是无理数”的过程：“假设是有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设（是互质的正整数），则，两边平方，得①，是偶数，是一个偶数，因此也是一个偶数，设（是正整数），由①式得，，从而是偶数，因而也是一个偶数，这与互质矛盾，所以不是有理数，因此是无理数． ”则下列说法错误的是（    ） A．这种证明方法叫反证法； B．反证法是一种间接的证明方法； C．是无理数，可以表示成两个正整数的商的形式； D．是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式． 【答案】C 【分析】利用反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确，进而判断即可． 【详解】A. 由反证法的一般步骤可以得出这种证明方法叫反证法，故本选项正确； B. 反证法是一种间接的证明方法，故本选项正确； C. 是无理数，但不能表示成两个正整数的商的形式，故本选项错误； D. 是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式，故本选项正确． 故选：C 【点睛】此题主要考查了反证法及无理数，正确把握反证法的一般步骤是解题关键． 1．（23-24八年级下·浙江温州·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行解答． 【详解】解：用反证法证明命题“在△ABC中，若AB=AC，则∠B＜90°”时，应假设若AB=AC，则∠B≥90°， 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 2．（2023·福建泉州·二模）数学课上，学生提出如何证明以下问题： 如图，．求证：．    老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下： 证明：假设， 如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．    ∵， ∴． ∵， ∴， 这与“________”相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 以上证明过程中，横线上的内容应该为 ． 【答案】三角形的外角和等于 【分析】先假设，通过证明假设不成立，从而得到正确的结论． 【详解】证明：假设， 如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．    ∵， ∴． ∵， ∴， 这与“三角形的外角和等于”相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 故答案为：三角形的外角和等于 【点睛】本题考查的是反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【答案】（3）（4）（1）（2） 【分析】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤解答即可． 【详解】证明：假设， 那么，由，得，即， 所以，这与三角形内角和定理相矛盾， 所以， 所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2）， 故答案为：（3）（4）（1）（2）． 【经典例题九 逻辑推理与证明】 【例9】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（   ） A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E 【答案】D 【分析】此题考查了推理与论证．若，进入了前三强，那么、、、也均能进入，由于前三强只有三个人，显然这是不合理的；因此只有当进行前三强，那么、也进入，这样才符合题意． 【详解】解：若进入前三强，那么进入前三强的有、、、、共5人，显然不合题意， 同理，当进入前三强时，也不合题意，所以应从开始进入前三强．即进入前三强的是，，． 故选：D． 1．（23-24七年级下·浙江宁波·开学考试）A、B、C、D、E五位同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，到现在为止，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场，那么E赛了（   ）场 A．2 B．3 C．4 【答案】A 【分析】本题主要考查逻辑推理，五人进行比赛，每两人都要比赛一盘，则每个人都要和其他4人进行一场比赛，即每人要赛4场，据此推断即可． 【详解】解：由题意可知，每人要进行（场）比赛， A已赛4场，B已赛3场，C已赛2场，D已赛1场，则A已赛4场，即A已和B、C、D、E各赛一场； D只赛过一场，这一场是和A比赛的； 所以B的3场是和A、C、E比赛的； 此时C的2场已满，不与E比赛； 则E和A与B各赛1场，即E赛了2场， 故选：A 2．（24-25八年级上·北京·期中）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．附中今年“节”策划了五个活动，规则如下： “节”活动规则 ·活动前每人先发放两枚“币” ·每参与一个活动消耗两枚“币” ·没有“币”不能参与活动 ·每个活动至多参与一次 ·挑战成功，按右表发放奖励 ·挑战失败，谢谢参与 活动名称 奖励的“币”数量/枚 数独 4 魔方 4 华容道 6 鲁班锁 6 汉诺塔 8 小达参与了所有活动． （1）若小达只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小达共挑战成功两个，且他参与的第四个活动成功，则小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 【答案】 汉诺塔 2，4，6 【分析】本题主要考查了简单的逻辑推理： （1）由于小达参与了所有活动，则小达一共消耗了10枚“币”，据此可得小达通过成功参与活动获得了8枚 “币”，而小达只挑战成功一个，故挑战成功的活动名称为汉诺塔； （2）根据题意可得第一次活动小达必定挑战成功，根据他参与的第四个活动成功，且他只挑战成功了2次，那么他参与的第二个，第三个，第五个活动都失败，则第一次挑战成功获取的“币”数量要大于等于6枚，则第一次参加的活动可以为华容道或鲁班锁或汉诺塔；据此讨论第一次参加的活动，在此基础上再讨论第四次参与的活动，用总获得“币”数量加上初始“币”数量减去参与五个活动消耗的“币”数量即可得到答案． 【详解】解：（1）∵小达参与了所有活动，且共有5个活动， ∴小达一共消耗了10枚“币”， ∵活动前小达有两枚“币”， ∴小达通过成功参与活动获得了8枚 “币”， 又∵小达只挑战成功一个， ∴挑战成功的活动名称为汉诺塔， 故答案为：汉诺塔； （2）∵活动前小达有两枚“币”， 每参与一个活动消耗两枚“币”，且小达参与了所有活动， ∴第一次活动小达必定挑战成功， ∵他参与的第四个活动成功，且他只挑战成功了2次， ∴他参与的第二个，第三个，第五个活动都失败， ∵第一次挑战成功获取的“币”数量能够支持他参与第二，第三，第四次活动， ∴第一次挑战成功获取的“币”数量要大于等于6枚， ∴第一次参加的活动可以为华容道或鲁班锁或汉诺塔； 当第一次参加的活动为华容道时， 若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为鲁班锁时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为汉诺塔时，则剩下的“币”数量为枚； 当第一次参加的活动为鲁班锁时， 若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为华容道时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为汉诺塔时，则剩下的“币”数量为枚； 当第一次参加的活动为汉诺塔时， 若第四次参加的活动为数独或者魔方时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为华容道时，则剩下的“币”数量为枚； 若第四次参加的活动为鲁班锁时，则剩下的“币”数量为枚； 综上所述，小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为2，4，6， 故答案为：2，4，6． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）足球比赛的记分规则为胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，某足球队在本赛季共需比赛14场，现已比赛了8场，其中输了一场，得17分． (1)前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？（用列方程的方法解） (2)通过对比赛情况的分析，这支球队踢满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期目标．请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标． 【答案】(1)这支球队共胜了5场 (2)至少胜3场 【分析】（1）设这支球队胜了场，则平了场，根据总分为17分，列出一元一次方程，解方程即可； （2）由题意可得在以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可，胜场不少于4场，一定可达到预期目标，而胜3场，平3场，正好也达到预期目标，即可得到答案． 【详解】（1）解：设这支球队胜了场，则平了场， 由题意得： ， 解得， 答：这支球队共胜了5场； （2）解：由题意可知，在以后的6场比赛中，只要得分不低于12分即可， 胜场不少于4场，一定可达到预期目标，而胜3场，平3场，正好也达到预期目标， 因此在以后的比赛中至少要胜3场， 答：至少胜3场． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，逻辑推理，理解题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【经典例题十 以几何为背景的推理与论证】 【例10】（23-24九年级·浙江·期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（    ） A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 【答案】A 【分析】根据水先从位置低的出口可判断先灌满1号杯子左侧几个杯子，再观察3号杯子的两个出口即可得出答案． 【详解】解：号杯子左侧出口比右侧高， 水先从左侧流出，进入3号杯子， 杯子左侧封闭，只有右侧流出，而右侧流入5号杯子，但5号杯子的出口端封闭 水最终会先灌满3号杯子， 故选：A． 【点睛】本题考查推理与论证，解题的关键是掌握水先从位置低的出口流出，并仔细观察各出口闭合状态即可． 1．（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道4条，从位置A出发沿街道行走到达位置B，要求路程最短，研究有多少种不同的走法. 小聪是这样思考的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，如果用数字“1”表示向右行走一格，数字“2”表示向上行走一格，如“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，那么符合要求的不同走法的种数为（    ） A．6种 B．8种 C．10种 D．12种 【答案】C 【分析】由于只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进；因此1、1、1、2、2这五个数有多少种组合方法，就有多少种不同的走法． 【详解】根据题意，则不同的走法有：11122；11221；11212；12112；12211；12121；22111；21112；21121；21211．因此共有10种不同的走法． 故选C. 【点睛】此题实际上是探索1、1、1、2、2组成的不同的五位数的个数． 2．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个广场下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的广场（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“”表示它的周围八个广块中仅有个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定不是雷的有 ，一定是雷的有 ．（请填入方块上的字母） 【答案】 A、C、E B、D、F、G. 【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷，A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷．由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷，由此得到本题答案． 【详解】解：图乙中最左边的“1”和最右边的“1”，可得如下推断， 由第三行最左边的“1”，可得它的上方必定是雷． 结合B下方的“2”，可得最左边的A、B对应的方格中有一个雷； 同理可得最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，中间D、E对应方格中有一个雷； 由于B下方的“2”和第二行最右边的“2”，它们周围的雷已经够数， 所以C对应的方格肯定不是雷，如下图所示： 进行下一步推理： 因为C对应的方格不是雷，所以C下方“2”的左上、右上的方格，即B、D都是雷； 而B下方的“2”的周围的雷也已经够数，所以A对应的方格也不是雷． 因为D下方的“2”，它的周围的雷已经够数，可得E对应的方格不是雷， 根据F下方的“4”周围应该有4个雷，结合E不是雷，可得F、G对应的方格都是雷． 综上所述，A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷． 故答案为A、C、E；B、D、F、G. 【点睛】本题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识. 3．（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，通过画图可知：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是可得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，这个结论正确吗？          【答案】不正确 【分析】通过题意举出反例证明结论错误即可. 【详解】解:对于如图所示的等腰直角△ABC, 该三角形三条边的垂直平分线的交点在该三角形斜边AC的中点O处,并不在三角形的内部,故“任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部”的结论是错误的. 故答案为不正确 【点睛】对于本题,首先要判断该结论是否正确,若该结论正确,则给出证明;若该结论错误,只需举出反例即可;判断本题所给结论的关键是考虑问题要全面,即:该三角形是锐角三角形,钝角三角形,直角三角形的情况都要考虑到.通过对等腰直角三角形三条边的垂直平分线的交点在斜边AC的中点O处,即可举出反例,从而使本题解答. 【经典例题十一 以代数为背景的推理与论证】 【例11】（23-24八年级下·山东潍坊·期中）某中学举行了数学基础知识竞赛，经过选拔，甲、乙、丙三位同学进入最后角逐．他们还将进行四轮知识竞赛，规定每轮知识竞赛第一名得分，第二名得分，第三名得分（且，，均为正整数）；最后总分为四轮得分之和．四轮竞赛后，甲最终得分为16分，乙和丙最终得分均为8分，且乙只有一轮竞赛获得了第一名，则下列说法正确的是（    ）． A．为4 B．甲有一轮竞赛获得第三名 C．乙在四轮竞赛中没有获得过第二名 D．丙至少有一轮竞赛获得第三名 【答案】BC 【分析】首先根据每轮分别决出第1，2，3名（不并列），可得，所以，然后根据甲的得分，推得；再根据及最小取3，可知，进而求出和的值，再逐项判断即可．此题主要考查了比赛得分问题中的推理与论证，解答此题的关键是求出、、的值． 【详解】解：每轮分别决出第1，2，3名（不并列）， ， ； 乙只有一轮竞赛获得了第一名， 甲最多3轮获得第一名， ， 为正整数， ， ，且，，均为正整数， 、的最小值分别为2、1， ， ， ， 又， ，，，选项A不符合题意； ， 甲3轮得第一，1轮得第三，选项B符合题意； 假设乙有1轮获得第2名， 则乙的得分至少是（分，与乙实际得了8分不符， 乙没有1轮获得第2名，选项C符合题意， 乙1轮得第一，3轮得第三， 丙4轮得第二，选项D不符合题意． 故选：． 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 【答案】A 【分析】本题考查的是数字类的规律探究，逻辑推理的应用，由题意，一个圆片至少要移动一次，两个圆片至少要移动3次，三个圆片至少要移动7次，从而归纳出五个圆片至少要移动的数量． 【详解】解：移动一个圆片，至少移动1次，而， 移动两个圆片，至少要移动3次，而， 移动三个圆片，至少要移动7次，而， ∴移动五个圆片，至少要移动（次）， 故选：A． 2．（2024·浙江杭州·一模）一次数学考试共有8道判断题，每道题10分，满分80分． 规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则的值为 ． 题号 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 甲 × √ × √ × × √ × 60 乙 × × √ √ √ × × √ 50 丙 √ × × × √ √ √ × 50 丁 × √ × √ √ × √ √ 【答案】60 【分析】本题考查合情推理，考查学生阅读能力和逻辑思维能力，属于基础题． 由乙丙的答案和得分得出第2，5两题答案正确；由甲的得分结合乙丙的答案可得其余6题答案均正确;由正确答案求出丁的得分，可得m值． 【详解】解：因为乙丙的第2，5题答案相同，且总得分都是50分，所以第2，5两题答案正确; 又因为甲得分60分，即甲错两题且第2，5题与乙，丙不同，所以其余6题答案均正确，故这8道判断题的答案分别是； 对比丁的答案，可知其第2，8两题错误，故得分， 故答案为：60． 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 【答案】(1)7 (2)14 【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案； （2）根据三种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：总变化量：， 次数（至少）：， 故答案为：7； （2）解：①两张由反到正，变化：； ②两张由正到反，变化：； ③一正一反变一反一正，变化， 要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14， ∵14无法由4，，0相加得到， ∴不能全正，故不能所有纸牌全正； 故答案为：14． 【点睛】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的正面向上，根据“奇数奇数偶数，偶数奇数奇数”进行解答即可． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列命题中是真命题的是（   ） A．三角形的角平分线一定都在三角形的内部 B．三角形的外角和为 C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线必交于一点 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线、高线、角平分线以及三角形外角等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．根据三角形中线、高线和角平分线以及三角形外角的定义和性质，逐一判断即可得答案． 【详解】解：A. 三角形的角平分线一定都在三角形的内部，是真命题，本选项符合题意； B. 三角形的外角和为，故原命题是假命题，本选项不符合题意； C. 三角形的中线一定在三角形的内部，故原命题是假命题，本选项不符合题意； D. 三角形的高线所在的直线必交于一点，故原命题是假命题，本选项不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．如果，那么 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理，有理数的乘方，不等式的性质等知识，根据有理数的乘方和绝对值的意义对各选项逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、如果，那么不一定大于，如：，则，故选项不符合题意； B、如果，那么不一定大于，如：，则，故选项不符合题意； C、如果，那么可能等于，如：，则，故选项不符合题意； D、如果，则，正确，故选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了命题与定理，有理数的大小比较、有理数的乘方法则计算，判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：A、若，，则，，， ，不能说明原命题是假命题，故选项不符合题意； B、若，则，不能说明原命题是假命题，故选项不符合题意； C、若则，，， ，说明原命题是假命题，故选项符合题意； D、若，，则，不能说明原命题是假命题，故选项不符合题意； 故选：C． 4．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）下列命题：①不相交的两条直线是平行线，②同旁内角互补；③同位角相等，两直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤在同一平面内，若，则．其中，真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了判断真假命题，掌握相关定义定理是解题的关键．根据平行线的定义， 平行线的判定与性质逐个分析判断即可求解． 【详解】解：同一平面内，不相交的两条直线是平行线，故①是假命题； 两直线平行，同旁内角互补，故②是假命题； 同位角相等，两直线平行，故③是真命题； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④是假命题； 在同一平面内，若，则，故⑤是假命题； 故③是真命题，共1个． 故选：D． 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（   ） A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④① 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理以及反证法的应用，理解并掌握反证法的一般步骤是解题关键．反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．根据反证法的一般步骤判断即可． 【详解】解：运用反证法证明这个命题的四个步骤： 1、假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点； 2、则，； 3、在中，，这与三角形内角和为相矛盾； 4、因此假设不成立，故过E点只有一条直线垂直于l． 则证明步骤正确的是②③①④， 故选：B． 6．（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 【答案】① 【分析】本题考查了互逆命题及真假命题的定义，熟练掌握它们的概念是解题的关键 把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．判断事物的语句叫命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；先根据互逆命题的定义写出逆命题，再判断真假即可． 【详解】①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补，是真命题； ②如果两个角是直角，那么它们相等，它的逆命题是：如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题； ③如果两个实数相等，那么它们的平方相等，它的逆命题是：如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，是假命题． 所以，逆命题成立的是① ； 故答案为：① 7．（24-25八年级上·北京昌平·期中）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 【答案】 3 如果，，那么或如果，，那么或如果，，那么 【分析】本题主要考查了判断命题真假，不等式的性质，写出命题的题设和结论当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时除以一个正数不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件，为结论时，根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明；当选取，作为条件 为结论时，据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不改变方向即可证明． 【详解】解：当选取，作为条件，为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件，为结论时， ∵， ∴当时，则 ，即，符合题意； 当时，则 ，即，不符合题意； ∴此时命题是真命题； 当选取，作为条件 为结论时， ∵，， ∴，即， ∴此时命题是真命题； 综上所述，可以组成真命题的个数为3个，命题为：如果，，那么；如果，，那么；如果，，那么． 故答案为：3；如果，，那．么或如果，，那么或如果，，那么． 8．（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 【答案】③ 【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确，是真命题； ②如果，，那么，正确，是真命题； ③如果，，那么，错误，应该是，故原命题是假命题； ④如果，，那么，正确，是真命题． 假命题有③， 故答案为：③． 9．（23-24七年级下·陕西安康·期末）下列命题：①垂线段最短；②若，则；③两直线平行，同位角相等；④如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线垂直．其中真命题有 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】此题考查了真命题的判断，根据垂线段最短，平方根的意义，平行线的性质，垂线的性质，据此依次判断． 【详解】解：①垂线段最短，是真命题； ②若，则，不是真命题； ③两直线平行，同位角相等，是真命题； ④在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，不是真命题， 故答案为：①③． 10．（2024·北京·二模）年月日，联合国教科文组织将每年的月日定为“国际数学日”，这个节日的昵称是“节”，是为了纪念中国南北朝时期杰出的数学家祖冲之而设立的节日．某校今年“节”举办了“数学素养”大赛，现有甲、乙、丙三位同学进入了决赛争夺冠军，决赛共分为四轮，规定： 每轮分别决出第一，二，三名（没有并列），对应名次的得分都分别为，，（，且，，均为正整数）． 选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军． 下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况： 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 最后得分 甲 乙 丙 （1）每轮比赛第一名的得分的值为 ； （2）丙同学在第二轮比赛中，获得了第 名． 【答案】 ； 三． 【分析】（）根据三位同学的最后得分情况列出关于，，的等量关系式，然后结合且，，均为正整数确定，，的值； （）根据推理从而确定丙同学第二轮的排名； 本题考查了方程的解逻辑推理能力，理解题意，分析数据间的等量关系是解题关键． 【详解】（）解：由题意可得：， ∴， ∵，，均为正整数， 若甲每轮比赛第一名得分为，则最后得分最高的为， ∴， 又∵， ∴最小取3， ∴， ∴， 故答案为：； （）根据表格即甲、乙、丙得分可知： 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 最后得分 甲 乙 丙 ∴丙同学在第二轮比赛中，获得了第三名， 故答案为：三． 11．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系． (1)如图1，，，∠1与∠2的关系是______； 证明： (2)如图2，，，则∠1与∠2的关系是______； 证明： (3)经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是______． 【答案】(1)∠1＝∠2，证明见解析 (2)∠1＋∠2＝180°，证明见解析 (3)如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补 【分析】（1）根据平行线性质可得答案； （2）根据平行线性质，可得答案； （3）由（1）（2）可得一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补． 【详解】（1）∠1=∠2， 证明： 如图1： ∵， ∴∠1=∠3， ∵， ∴∠3=∠2， ∴∠1=∠2； 故答案为：∠1=∠2； （2）∠2+∠1=180°， 证明： 如图2： ∵， ∴∠1=∠4， ∵， ∴∠2+∠4=180°， ∴∠2+∠1=180°； 故答案为：∠2+∠1=180°； （3）由（1）（2）可得： 一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补． 故答案为：一个角的两边平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质定理并能熟练应用． 12．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，从①，②，③，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知________．求证：________．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 【答案】①②，③，证明过程见解析；或①③，②，证明过程见解析；或②③，①，证明过程见解析 【分析】三个命题分别是：已知①②，求证：③；已知①③，求证：②；已知②③，求证：①；命题一证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出；命题二证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出；命题三证明：根据，得到，推出．根据，得到，推出，推出． 【详解】命题一：如图，已知①②，求证：③． 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 命题二：如图，已知①③，求证：②． 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 命题三：如图，已知②③，求证：①． 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①②，③．或①③，②．或②③，①． 【点睛】本题主要考查了命题，平行线的判定与性质，解决问题的关键是熟练掌握命题的定义和组成，平行线的判定和性质，等量代换． 13．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 【答案】(1)①②；③；理由见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证； （2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数． 【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：①②；③． （2）由（1）得：， ∵比的倍少度， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． ∴的度数． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键． 14．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息： ①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．在保证命题正确的情况下，你选择的条件是________，结论是________．（只要填写序号）． (2)请证明（1）中你组成的命题的正确性． 【答案】(1)②③，① (2)见解析 【分析】（1）根据命题的定义正确选择即可； （2）以②③为条件，在三角形CEF和BDF中通过三角形内角和及等量代换推出∠DBF=∠CBE． 【详解】（1）解：选择的条件是②③，结论是①； （2）证明：∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠BFD， ∴∠CEB=∠BFD， ∵CD⊥AB， ∴∠BFD+∠DBF=90°， ∵∠CBE+∠CEB=90°， ∴∠DBF=∠CBE， ∴BE平分∠ABC． 【点睛】本题考查了命题的定义，三角形内角和，解题的关键是要读懂题意，选择正确的条件和结论． 15．（23-24七年级下·全国·阶段练习）如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质与判定： （1）任选两个条件作为题设，另外一个条件作为结论写出对应的明天，再判断真假即可； （2）根据（1）所求结合平行线的性质与判定条件证明即可． 【详解】（1）解：选择①②为题设，③为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择①③为题设，②为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； 选择②③为题设，①为结论，命题为：若，，则，该命题是真命题； （2）证明：选择①②为题设，③为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择①③为题设，②为结论， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 选择②③为题设，①为结论 ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 命题与证明重难点题型专训（11大题型+18道拓展培优） 题型一 判断是否是命题 题型二 判断命题的真假 题型三 写出命题的题设与假设 题型四 写出命题的逆命题 题型五 定理与命题 题型六 举反例 题型七 反证法证明中的假设 题型八 用反证法证明命题 题型九 逻辑推理与证明 题型十 以几何为背景的推理与论证 题型十一 以代数为背景的推理与论证 【经典例题一 判断是否是命题】 【例1】（23-24八年级上·浙江·单元测试）下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．∠和∠相等吗？ C．全等三角形对应边相等 D．若a2＝4，求a的值 1．（23-24七年级上·贵州铜仁·阶段练习）下列语句中：①同角的补角相等；②雪是白的；③画；④他是小张吗？⑤两直线相交只有一个交点．其中是命题的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·全国·课后作业）下列语句哪些是命题，哪些不是命题？ （1）作，（ ）      （2）两个锐角互余．（    ） （3）直线a与b有可能垂直．（ ）      （4）作射线．（    ） （5）作直线．（ ）      （6）整数一定是有理数．（    ） 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）下列句子中哪些是命题？ （1）直角三角形的两个锐角互余． （2）正数都大于． （3）如果，那么与1互补． （4）太阳不是行星． （5）对顶角相等吗？ （6）作一个角等于已知角． 【经典例题二 判断命题的真假】 【例2】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）下列命题中，属于假命题的是（   ） A．直角三角形的两个锐角互余 B．锐角互余的三角形是直角三角形 C．三角形的外角等于两个内角的和 D．三角形的两个外角可能会相等 1．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列语句中：①如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④同位角相等；⑤两条直线相交，若邻补角相等，则这两条直线互相垂直；⑥过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，其中是真命题的个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·全国·期末）下列命题： ①相等的两个角是对顶角； ②在同一平面内，若，则； ③若，则与互为邻补角； ④互为邻补角的两角的平分线互相垂直； ⑤直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离； ⑥过一点有且只有一条直线与这条直线平行．其中真命题有_______（填序号） ． 3．（24-25八年级上·全国·课后作业）判断下列命题是真命题，还是假命题，对于假命题请举出反例． (1)平行于同一条直线的两条直线互相平行； (2)如果，那么． 【经典例题三 写出命题的题设与假设】 【例3】（2023春·山东青岛·七年级校考阶段练习）命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式是（    ） A．如果是同角的余角，那么相等 B．如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等 C．如果两个角是同角，那么这两个角是余角 D．如果两个角互余，那么这两个角相等 1．（2023春·湖北黄冈·七年级校考阶段练习）将命题“等角的补角相等”改写成“如果……那么……”的形式，可写成 ，该命题是 （填“真命题”或“假命题”）． 2．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，在中，点是上的一点，    (1)给出以下3个条件：①是角平分线，②，③与平行；从中选择两个作为条件，另外一个作为结论．你选择的条件是______，结论是______（填序号）； (2)请证明你的结论． 【经典例题四 写出命题的逆命题】 【例4】（2023秋·福建厦门·九年级厦门市槟榔中学校考开学考试）下列命题都是正确的命题，其中逆命题也正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 1．（2023春·四川达州·八年级四川省渠县中学校考期末）命题“等边三角形的三个内角都相等”的逆命题是 ，该逆命题是 （填“真”或“假”）命题． 2．（2023春·全国·七年级专题练习）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题还是假命题． (1)两直线平行，同旁内角互补； (2)垂直于同一条直线的两直线平行； (3)相等的角是内错角； (4)有一个角是60°的三角形是等边三角形． 【经典例题五 定理与命题】 【例5】（2023春·七年级课前预习）有下列描述：①过点 A 作直线 AF // BC ；②连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线；③两直线平行，同旁内角互补；④垂直于同一直线的两条直线互相垂直.其中是定理 的有（    ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 1．（2023春·七年级课时练习）（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______． （2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______． 2．（2023春·七年级课时练习）（1）已知：如图，直线AB、CD、EF被直线BF所截，，．求证：； （2）你在（1）的证明过程中应用了哪两个互逆的真命题． 【经典例题六 举反例】 【例6】（2023春·江苏南京·七年级校考期中）要说明命题“若，则”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 1（2023春·北京延庆·七年级统考期末）为了说明“如果，那么”是假命题，则a，b可以取的一组值是 ， ． 2．（2023春·河南驻马店·七年级统考期中）指出下列命题的题设和结论，并判断它们是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例． (1)两个角的和等于平角时，这两个角互为补角； (2)内错角相等； (3)两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 【经典例题七 反证法证明中的假设】 【例7】（2023春·河南郑州·八年级校考期中）用反证法证明“一个三角形中最多有一个角是直角或钝角”时，应假设（    ） A．一个三角形中至少有一个角是直角或钝角 B．一个三角形中至少有两个角是直角或钝角 C．一个三角形中至多有一个角是直角或钝角 D．一个三角形中没有一个直角或钝角 1．（2023春·陕西西安·八年级校考阶段练习）用反证法证明命题：“已知，，求证：”第一步应先假设 ． 2．（2023春·浙江·八年级专题练习）七年级教材在图形与几何部分给出了五条基本事实，在《证明》一章中我们从两条基本事实出发，把前面得到的平行线相关性质进行了严格的证明，体会了数学的公里化思想.请完成下列证明活动： 活动．利用基本事实证明：“两直线平行，同位角相等”.（在括号内填上相应的基本事实） 已知：如图，直线、被直线所截，． 求证：． 证明：假设，则可以过点作， ∵， ∴（ ）， ∴过点存在两条直线、两条直线与平行，这与基本事实（ ）矛盾， ∴假设不成立， ∴． 活动．利用刚刚证明的“两直线平行，同位角相等”证明“两直线平行，同旁内角互补”.（要求画图，写出已知、求证并写出证明过程） 已知: ． 求证： ． 证明： 【经典例题八 用反证法证明命题】 【例8】（23-24八年级上·河南南阳·期末）下面是小华证明“是无理数”的过程：“假设是有理数，那么它可以表示为两个整数的商，设（是互质的正整数），则，两边平方，得①，是偶数，是一个偶数，因此也是一个偶数，设（是正整数），由①式得，，从而是偶数，因而也是一个偶数，这与互质矛盾，所以不是有理数，因此是无理数． ”则下列说法错误的是（    ） A．这种证明方法叫反证法； B．反证法是一种间接的证明方法； C．是无理数，可以表示成两个正整数的商的形式； D．是无理数，不能表示成两个正整数的商的形式． 1．（23-24八年级下·浙江温州·期末）用反证法证明“在中，若，则”时，应假设（    ） A． B． C． D． 2．（2023·福建泉州·二模）数学课上，学生提出如何证明以下问题： 如图，．求证：．    老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下： 证明：假设， 如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．    ∵， ∴． ∵， ∴， 这与“________”相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 以上证明过程中，横线上的内容应该为 ． 3．（23-24八年级上·山东青岛·单元测试）小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤： （1）所以，这与三角形内角和定理相矛盾． （2）所以． （3）假设． （4）那么，由，得，即，即． 请你写出这四个步骤正确的顺序 ． 【经典例题九 逻辑推理与证明】 【例9】（24-25八年级上·浙江绍兴·阶段练习）A，B，C，D，E五名学生猜测自己能否进入市中国象棋前三强．A说：“如果我进入，那么B也进入．”B说：“如果我进入，那么C也进入．”C说：“如果我进入，那么D也进入．”D说：“如果我进入，那么E也进入，”大家都没有说错，则进入前三强的三个人是（   ） A．A，B，C B．B，C，D C．D，E，A D．C，D，E 1．（23-24七年级下·浙江宁波·开学考试）A、B、C、D、E五位同学进行象棋比赛，每两人都比赛一场，到现在为止，A赛了4场，B赛了3场，C赛了2场，D赛了1场，那么E赛了（   ）场 A．2 B．3 C．4 2．（24-25八年级上·北京·期中）2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．附中今年“节”策划了五个活动，规则如下： “节”活动规则 ·活动前每人先发放两枚“币” ·每参与一个活动消耗两枚“币” ·没有“币”不能参与活动 ·每个活动至多参与一次 ·挑战成功，按右表发放奖励 ·挑战失败，谢谢参与 活动名称 奖励的“币”数量/枚 数独 4 魔方 4 华容道 6 鲁班锁 6 汉诺塔 8 小达参与了所有活动． （1）若小达只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为 ； （2）若小达共挑战成功两个，且他参与的第四个活动成功，则小达最终剩下的“币”数量的所有可能取值为 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）足球比赛的记分规则为胜一场得3分，平一场得1分，输一场得0分，某足球队在本赛季共需比赛14场，现已比赛了8场，其中输了一场，得17分． (1)前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？（用列方程的方法解） (2)通过对比赛情况的分析，这支球队踢满14场比赛，得分不低于29分，就可以达到预期目标．请你分析一下，在后面的6场比赛中，这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标． 【经典例题十 以几何为背景的推理与论证】 【例10】（23-24九年级·浙江·期末）最近网上一个烧脑问题的关注度很高（如图所示），通过仔细观察、分析图形，你认为打开水龙头，哪个标号的杯子会先装满水（    ） A．3号杯子 B．5号杯子 C．6号杯子 D．7号杯子 1．（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，某小区有东西方向的街道3条，南北方向的街道4条，从位置A出发沿街道行走到达位置B，要求路程最短，研究有多少种不同的走法. 小聪是这样思考的：要使路程最短，就不能走“回头路”，只能分五步来完成，其中三步向右行进，两步向上行进，如果用数字“1”表示向右行走一格，数字“2”表示向上行走一格，如“11221”与“11212”就表示两种符合要求的不同走法，那么符合要求的不同走法的种数为（    ） A．6种 B．8种 C．10种 D．12种 2．（23-24七年级下·浙江·阶段练习）电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个广场下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的广场（最多八个）中雷的个数（实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的都标出来了，以示与未掀开者的区别），如图甲中的“”表示它的周围八个广块中仅有个埋有雷．图乙是张三玩游戏中的局部，图中有个方块已确定是雷（方块上标有旗子），则图乙第一行从左数起的七个方块中（方块上标有字母），能够确定一定不是雷的有 ，一定是雷的有 ．（请填入方块上的字母） 3．（23-24八年级·全国·课后作业）如图所示，通过画图可知：三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，于是可得出结论：任何一个三角形三条边的垂直平分线的交点都在三角形的内部，这个结论正确吗？          【经典例题十一 以代数为背景的推理与论证】 【例11】（23-24八年级下·山东潍坊·期中）某中学举行了数学基础知识竞赛，经过选拔，甲、乙、丙三位同学进入最后角逐．他们还将进行四轮知识竞赛，规定每轮知识竞赛第一名得分，第二名得分，第三名得分（且，，均为正整数）；最后总分为四轮得分之和．四轮竞赛后，甲最终得分为16分，乙和丙最终得分均为8分，且乙只有一轮竞赛获得了第一名，则下列说法正确的是（    ）． A．为4 B．甲有一轮竞赛获得第三名 C．乙在四轮竞赛中没有获得过第二名 D．丙至少有一轮竞赛获得第三名 1．（2024九年级·全国·竞赛）如图A、B、C是固定在桌面上的三根小棒，其中A上有5个大小不同的圆片，从上到下，圆片的直径依次增大．现要将这5个圆片移动到B上，要求：①每次只能移动一个圆片；②圆片只能在A、B、C之间移动；③大圆片不能放在小圆片上面．那么完成这件事情最少要移动圆片（    ）    A．31次 B．33次 C．17次 D．25次 2．（2024·浙江杭州·一模）一次数学考试共有8道判断题，每道题10分，满分80分． 规定正确的画√，错误的画×．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，则的值为 ． 题号 学生 1 2 3 4 5 6 7 8 得分 甲 × √ × √ × × √ × 60 乙 × × √ √ √ × × √ 50 丙 √ × × × √ √ √ × 50 丁 × √ × √ √ × √ √ 3．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）下列命题中是真命题的是（   ） A．三角形的角平分线一定都在三角形的内部 B．三角形的外角和为 C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线必交于一点 2．（24-25八年级上·上海徐汇·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．如果，那么 D．若，则 3．（24-25八年级上·河北沧州·阶段练习）为说明命题“若，则”是假命题，下列反例正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24七年级下·山东临沂·开学考试）下列命题：①不相交的两条直线是平行线，②同旁内角互补；③同位角相等，两直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；⑤在同一平面内，若，则．其中，真命题的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，已知E为直线l外一点，求证：过E点，只能有一条直线垂直于 l．用反证法证明这个命题的步骤：①在中，，这与三角形内角和为相矛盾；②假设过 E点有两条直线分别垂直l于F，G 两点；③则，；④故过E点只有一条直线垂直于l．证明步骤正确的是（   ） A．①②③④ B．②③①④ C．①③②④ D．②③④① 6．（2024八年级上·全国·专题练习）下列命题中，其逆命题成立的是 （填序号）． ①同旁内角互补，两直线平行；②如果两个角是直角，那么它们度数相等；③如果两个数相等，那么它们的平方相等． 7．（24-25八年级上·北京昌平·期中）用三个不等式，，中的两个不等式作为题设条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可以组成真命题的个数为 个，请同学们写出一个真命题 ． 8．（2024八年级上·上海·专题练习）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 9．（23-24七年级下·陕西安康·期末）下列命题：①垂线段最短；②若，则；③两直线平行，同位角相等；④如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线垂直．其中真命题有 ．（填序号） 10．（2024·北京·二模）年月日，联合国教科文组织将每年的月日定为“国际数学日”，这个节日的昵称是“节”，是为了纪念中国南北朝时期杰出的数学家祖冲之而设立的节日．某校今年“节”举办了“数学素养”大赛，现有甲、乙、丙三位同学进入了决赛争夺冠军，决赛共分为四轮，规定： 每轮分别决出第一，二，三名（没有并列），对应名次的得分都分别为，，（，且，，均为正整数）． 选手最后得分为各轮得分之和，得分最高者为冠军． 下表是三位选手在每轮比赛中的部分得分情况： 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 最后得分 甲 乙 丙 （1）每轮比赛第一名的得分的值为 ； （2）丙同学在第二轮比赛中，获得了第 名． 11．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，分别结合图探索这两个角的关系． (1)如图1，，，∠1与∠2的关系是______； 证明： (2)如图2，，，则∠1与∠2的关系是______； 证明： (3)经过探索，综合上述，我们可以得一个真命题是______． 12．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，从①，②，③，三个条件中选出两个作为题设，另一个作为结论可以组成3个命题．从中选择一个真命题，写出已知求证，并证明． 如图，已知________．求证：________．（填“①”，“②”，“③”） 证明： 13．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）如图，已知直线，给出下列信息： ①；②平分；③． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由． (2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数． 14．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息： ①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF． (1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．在保证命题正确的情况下，你选择的条件是________，结论是________．（只要填写序号）． (2)请证明（1）中你组成的命题的正确性． 15．（23-24七年级下·全国·阶段练习）如图，有三个论断： ① ； ② ； ③． (1)请你从中任选两个作为题设，另一个作为结论，写出所有的命题，并指出这些命题是真命题还是假命题； (2)选择（）中的一个真命题加以证明． 学科网（北京）股份有限公司 $$