广东省肇庆市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

肇庆市第一中学2024—2025学年第一学期 高二年级数学学科期中考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 如果空间两条直线互相垂直，那么它们可能是（ ） A. 相交直线 B. 异面直线 C. 平行直线 D. 相交或异面直线 2. 如图，四边形的斜二测直观图为平行四边形，已知，则该图形的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知点在平面内，点在外，且的一个法向量，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 底面半径为，侧面展开图的扇形圆心角为的圆锥侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间任意一点，四点共面，且任意三点不共线，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 在四棱锥中，底面为矩形，是等边三角形，平面底面，四棱锥的体积为，线段的长是（ ） A. 3 B. C. D. 6 7. 在四面体中，，，，G为的中点，，则（ ） A. B. C. D. 8. 圆锥的顶点为为底面直径，若，则该圆锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分. 9. 若m，n为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则与相交 10. 如图，正方体的棱长为1，则下列四个命题中正确的是（ ） A. 直线与平面所成的角等于 B. 四棱锥的体积为 C. 两条异面直线和所成的角为 D. 二面角的平面角的余弦值为 11. “圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为.设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为，则以下关系正确的是（ ） A. B. C. D. 的最大值为 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______． 13. 如图1，在中，，，，、分别为、的中点，将沿折起来，使得二面角为（如图2），则______，三棱锥的外接球体积为______. 14. 已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 如图，四边形为矩形，为直角梯形，且垂直平面，且，． （1）求证：平面平面； （2）若，求证：． 16. 在三棱锥中，为的中点. （1）证明：⊥平面. （2）若，平面平面，求点到平面的距离. 17. 如图，平面，，平面. （1）求证：； （2）若，，，求三棱锥的体积. 18. 如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，点在母线上，且． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 19. 如图，在四棱锥中，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围． 肇庆市第一中学2024—2025学年第一学期 高二年级数学学科期中考试 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】B 二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】AD 三、填空题：本题共3题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 ①. 3 ②. 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分. 【15题答案】 【答案】（1）证明：因为，平面，平面， 所以平面， 因为为矩形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又是平面内两条相交直线， 所以平面平面. （2）证明：因为平面，平面，所以， 又，平面，， 所以平面，又平面， . 【16题答案】 【答案】（1） 因为，为的中点， 所以， 又因为平面， 所以⊥平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1） 由，平面，平面，得平面， 而平面，平面，则平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以. （2）. 【18题答案】 【答案】（1）证明：设BD，AC交点为F，连接EF. 由题可得PO平面ABD，又平面PAC，则平面PAC平面ABD. 因为底面圆的内接正三角形，且为底面直径， 则，. 又因，则，. 注意到，则. 因， 则，即EFAC. 因平面PAC平面ABD，平面PAC，平面平面ABD， 则EF平面ABD，又平面，则平面平面； （2） 【19题答案】 【答案】（1）证明： 如图，连接，两线交于点，因则，， 在中，设，由余弦定理，，解得，则, 由题意知：共线且，取线段的三等分点（靠近点）， 连接，则点是的中点，因为的中点，故有, 又平面，平面，故得，平面① 因且，易知为菱形，故得， 又平面，平面，故得，平面② 由① ，② ，因平面，故平面平面， 因平面，则平面. （2） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $