精品解析：云南省德宏傣族景颇族自治州民族第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

德宏州民族第一中学2024年秋季学期期中考 高二数学试卷 考试时间：分钟 满分：分 命题人：袁加贵 审题人：李建坤 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率， 所以直线的倾斜角为. 故选：C. 2. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立和方程，求得交点坐标，再结合垂直关系求得斜率，即可求解 【详解】由，，联立方程可得： 又直线的斜率为， 所以要求的直线斜率为，故直线方程为，即. 故选：D 3. 已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 【答案】B 【解析】 【分析】求出以及两圆的半径、，比较、、的大小关系，由此可得出两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，圆心为，半径为， ，，， 所以，，所以，圆与圆相交. 故选：B. 4. 设为实数，已知直线，，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线一般形式下的平行条件计算即可. 【详解】因为，所以，解得或． 当时，，满足与平行； 当时，，可判断此时与重合，舍去； 所以. 故选：A． 5. 已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求出直线，l的交点在直线上，在直线上任取一点，求出此点关于直线l的对称点也在直线上，根据两点坐标求出斜率，即可求出直线的方程. 【详解】解：若直线与关于l对称，则直线，l的交点在直线上， 即，解得： 在直线上任取一点关于直线l对称的点为，则点B在直线上， 由A,B两点可知，直线的斜率为，则直线的方程为： 即 故选：C 【点睛】本题考查求直线关于直线的对称方程，属于基础题. 方法点睛：（1）若两条直线不平行，求出交点坐标，则交点在所求直线上； （2）在已给直线上任取一点，求出此点关于直线的对称点，也在所求直线上； （3）利用两点坐标求斜率以及直线方程. 6. 已知点，经过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的变化关系求解. 【详解】 根据题意，，， 根据图象可得直线的斜率的取值范围是或. 故选：A 7. 已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于两点．若线段的中点为，则直线的方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设直线的方程为并与抛物线联立，由中点坐标可得，求得直线方程. 【详解】由准线方程为可得抛物线的标准方程为； 设直线的方程为，； 联立，整理可得； 由中点为可得，可得； 因此直线的方程为，即. 故选：A 8. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据条件得,再利用正弦定理得关系，即得离心率. 【详解】因为为等腰三角形，，所以, 由斜率为得，， 由正弦定理得, 所以， 故选：D. 二、多项选择题（共3题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或 B. 直线在轴的截距是2 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且倾斜角为的直线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用截距的概念分别讨论其是否为零可得出A正确；由斜截式方程可得B错误；再根据直线的一般方程求得直线斜率可得倾斜角为30°，即C正确；倾斜角为的直线斜率不存在，根据经过点的坐标可得其直线方程，可知D正确. 【详解】对于A，当在轴，轴截距为0时，此时直线方程为， 当在轴，轴截距不为0时，设直线方程为，代入点可得， 解得，所以直线方程为，即A正确； 对于B，直线在轴的截距是，即B错误； 对于C，易知直线的斜率为，因此可得其倾斜角为，即C正确； 对于D，倾斜角为的直线方程斜率不存在，所有点的横坐标相同，所以直线方程为，即D正确. 故选：ACD 10. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（ ） A. F的坐标为 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义域标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C正确； 由，所以D正确． 故选：BCD． 11. 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（ ） A. C的方程为 B. C的离心率为2 C. 若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D. 若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知条件，结合双曲线的性质，以及内切圆的定义，即可依次计算判断. 【详解】对于A，双曲线C：的渐近线方程，则， 于是双曲线C的方程为，A错误； 对于B，双曲线C的离心率，B正确； 对于C，， ，当且仅当点为线段与双曲线上支的交点时取等号，C正确； 对于D，由点 在双曲线上支上，得，， 的周长， 设的内切圆半径为r，则，解得， 因此的内切圆面积为，D错误. 故选：BC 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 两圆与的公共弦所在直线的方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】两圆方程相减即可得到公共弦方程. 【详解】解：圆，即，圆心为，半径， 圆，即，圆心为，半径， 所以，则，即两圆相交， 所以两圆方程相减得， 即两圆公共弦所在直线的方程为. 故答案为：. 13. 已知点P是拋物线C：上一点，C的焦点为F（1，0），点A的坐标为（4，2），则的最小值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】利用抛物线的定义转化，再利用数形结合，即可求解最值. 【详解】由题知，抛物线方程为，准线l：x＝－1，过点P作PM⊥l，垂足为M，，垂足为点，如图，则．因为，此时，所求最小值为， 取得最小值5． 故答案为：5 14. 已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】 【详解】∵右顶点为A，∴A(a,0)， ∵F为抛物线x2=2py(p>0)的焦点，， ∵|FA|=c，∴①， 抛物线的准线方程为， 由得， ②， 由①②,得,即c2=2a2， ∵c2=a2+b2， ∴a=b， ∴双曲线的渐近线方程为：y=±x， 故答案为y=±x. 点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系. 四、解答题（共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 某校学生营养餐由A和B两家配餐公司配送. 学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分. 根据收集的80份问卷的评分，得到A公司满意度评分的频率分布直方图和B公司满意度评分的频数分布表： 满意度评分分组 频数 2 8 14 14 2 B公司 （1）根据A公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数； （2）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率； 【答案】（1）73.3 （2） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的中位数计算方法直接计算可得结果； （2）根据古典概型概率的计算公式列举出所有可能以及符合题意的结果，可得结果. 【小问1详解】 设A公司调查的40份问卷的中位数为x 则有 解得， 所以估计该公司满意度得分的中位数为73.3. 【小问2详解】 满意度高于90分的问卷共有6份，其中4份评价A公司，设为，2份评价B公司，设为； 从这6份问卷中随机取2份，所有可能的结果有，，，，，，，，，，，，，，，共有15种. 其中2份问卷都评价A公司的有以下6种，，，，，. 设两份问卷均是评价A公司为事件C，则有 16. 如图，在直三棱柱中，D，E为，AB中点，连接，． （1）证明：DE∥平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 【答案】（1） 连接， 因为D，E分别为，AB的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线的性质可得，再由线面平行的判定定理可证明； （2）建系，分别找到平面的一个法向量和平面的法向量，代入空间向量的二面角余弦公式，再利用同角三角函数关系求出正弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，因为，所以， 因为在直三棱柱中，平面ABC，所以， 因为，所以AB⊥平面，故． 建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz， 则，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则，可取为平面的一个法向量， 可取为平面的一个法向量， 则， 设二面角的大小为，则，， 所以二面角的正弦值为． 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若角的平分线交于点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解； （2）利用正弦定理得出，再由余弦定理求出，，再根据三角形的面积建立等式求解． 【小问1详解】 由， 根据正弦定理可得， 则， 所以，整理得， 因为均为三角形内角，所以， 因此，所以． 【小问2详解】 因为是角的平分线，， 所以在和中，由正弦定理可得，， 因此，即，所以， 又由余弦定理可得，即， 解得，所以． 又，即， 即，所以． 18. 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，． （1）求圆的圆心坐标； （2）求线段的中点的轨迹的方程； （3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，或． 【解析】 【分析】（1）通过将圆的一般式方程化为标准方程即得结论；（2）设当直线的方程为y=kx，通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式大于0、韦达定理、中点坐标公式及参数方程与普通方程的相互转化，计算即得结论；（3）通过联立直线与圆的方程，利用根的判别式△=0及轨迹的端点与点（4，0）决定的直线斜率，即得结论 【详解】（1）由得， ∴ 圆的圆心坐标为； （2）设，当x=3时，符合题意； 当x不等于3时， ∵ 点为弦中点即， ∴即， ∴ 线段的中点的轨迹的方程为； （3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点， 当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点． 考点：1.轨迹方程；2.直线与圆相交的位置关系；3.圆的方程 19. 已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点． （1）若直线垂直于轴，求； （2）当时，在轴上方时，求、的坐标； （3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）， （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得，的坐标，则可求； （2）设，由，利用数量积为0求得与的方程，再由在椭圆上，得与的另一方程，联立即可求得的坐标．得到直线的方程，与椭圆方程联立即可求得的坐标； （3）设，，，，直线，联立直线方程与椭圆方程，结合，得，再由直线的方程：，得纵坐标，由直线的方程：，得的纵坐标，结合根与系数的关系，得，解得值，从而得到直线方程． 【小问1详解】 解：依题意，，当轴时，将代入，解得， 则，，所以； 【小问2详解】 解：设，，，， 所以， ， 又在椭圆上，满足，即， ，解得，即． 所以直线， 联立，解得或，所以； 【小问3详解】 设，，，， 直线， 则， ． 联立，得． 则，． 由直线的方程：，得纵坐标； 由直线的方程：，得的纵坐标． 若，即， ， ，， 代入根与系数的关系，得，解得． 存在直线或满足题意． 【点睛】 方法点睛：解析几何中与弦长相关的三角形面积常有两种求法： （1），其中为弦长，为另一顶点到直线的距离； （2）面积等于水平宽与铅垂高积的一半. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德宏州民族第一中学2024年秋季学期期中考 高二数学试卷 考试时间：分钟 满分：分 命题人：袁加贵 审题人：李建坤 一、单项选择题（共8题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知圆，圆，则两圆的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 4. 设为实数，已知直线，，若，则（ ） A. 6 B. C. 6或 D. 或3 5. 已知直线．若直线与关于l对称，则的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，经过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（   ） A. 或 B. C. D. 7. 已知抛物线的顶点在坐标原点，准线方程为，直线与抛物线相交于两点．若线段的中点为，则直线的方程为（　　） A. B. C. D. 8. 已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A. B. C. D. 二、多项选择题（共3题，每题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 过点且在轴，轴截距相等的直线方程为或 B. 直线在轴的截距是2 C. 直线的倾斜角为 D. 过点且倾斜角为的直线方程为 10. 已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线C上，若，则（ ） A. F的坐标为 B. C. D. 11. 已知双曲线C：的一条渐近线方程为，上、下焦点分别为，，则（ ） A. C的方程为 B. C的离心率为2 C. 若点为双曲线C上支上的任意一点，，则的最小值为 D. 若点为双曲线C上支上的一点，则的内切圆面积为 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 两圆与的公共弦所在直线的方程为______. 13. 已知点P是拋物线C：上一点，C的焦点为F（1，0），点A的坐标为（4，2），则的最小值为______． 14. 已知双曲线的焦距为，右顶点为，抛物线的焦点为，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为，且，则双曲线的渐近线方程为__________. 四、解答题（共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 某校学生营养餐由A和B两家配餐公司配送. 学校为了解学生对这两家配餐公司的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了40名学生对两家公司分别评分. 根据收集的80份问卷的评分，得到A公司满意度评分的频率分布直方图和B公司满意度评分的频数分布表： 满意度评分分组 频数 2 8 14 14 2 B公司 （1）根据A公司的频率分布直方图，估计该公司满意度评分的中位数； （2）从满意度高于90分的问卷中随机抽取两份，求这两份问卷都是给A公司评分的概率； 16. 如图，在直三棱柱中，D，E为，AB中点，连接，． （1）证明：DE∥平面； （2）若，，，求二面角的正弦值． 17. 的内角的对边分别为，已知． （1）求角； （2）若角的平分线交于点，求的长． 18. 已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，． （1）求圆的圆心坐标； （2）求线段的中点的轨迹的方程； （3）是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 19. 已知椭圆，，为左、右焦点，直线过交椭圆于，两点． （1）若直线垂直于轴，求； （2）当时，在轴上方时，求、的坐标； （3）若直线交轴于，直线交轴于，是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $