精品解析：安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高二上学期期中教学质量检测数学试题

临泉田家炳实验中学2024-2025学年第一学期 高二年级期中教学质量检测数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，则该直线倾斜角的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为 (　 　) A. 1 B. 2 C. D. 2 3. 过两点，的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相离 C. 相交 D. 外切 5. 已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知双曲线的实轴长为2，且与椭圆的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）． A. B. C. D. 7. “大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的圆锥曲线为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对 二、多选题：本题共3小题，共18分.选全得满分，选不全得部分分. 9. 下列结论中错误是（ ） A. 过点，的直线的倾斜角为 B. 直线与直线之间的距离为 C. 已知点，，点在轴上，则的最小值为 D. 截距式适用于不过原点的任何直线 10. 已知，直线：，直线：，则（ ） A. 若，则或 B. 若，则与间距离为 C. 若，则或 D. 若在x轴和y轴上的截距相等，则 11. 已知曲线：，下列说法正确有（ ） A. 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 B. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 C. 当时，所给方程没有轨迹 D. 当且时，曲线的焦距为8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________． 13. 已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为_________． 14. 过点且与圆相切的直线方程为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点，边上的高为且垂足为E. （1）求边上中线所在的直线方程； （2）求点E的坐标． 16. 已知圆：. （1）将圆C的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径； （2）求直线：被圆C所截得的弦长. 17. 已知离心率为的椭圆：经过点. （1）求椭圆的方程； （2），分别为椭圆左右顶点，直线，分别交直线于，两点，求的面积. 18. 已知直线：，：． （1）若，求的值及与的交点坐标； （2）若，求与间距离． 19. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线经过与桶圆交于，两点，且的周长为12． （1）求椭圆的离心率． （2）若，分别为椭圆左、右顶点，记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 临泉田家炳实验中学2024-2025学年第一学期 高二年级期中教学质量检测数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，则该直线倾斜角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系直接转化即可. 【详解】已知直线斜率，令直线倾斜角， 则，解得， 故选：B 2. 圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为 (　 　) A. 1 B. 2 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知，故选C. 【考点】直线与圆的位置关系 【名师点睛】点到直线（即）的距离公式记忆容易，对于知求，很方便. 3. 过两点，的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出所求方程的直线斜率，再利用直线的点斜率式方程求解. 【详解】点，，则直线的斜率 所以直线的方程为，即. 故选：A 4. 圆和圆的位置关系是（ ） A. 内切 B. 相离 C. 相交 D. 外切 【答案】C 【解析】 【分析】求出两圆的圆心和半径，得到圆心距与两圆半径的关系，得到两圆位置关系. 【详解】易得圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径， 圆心距，, 所以，故两圆相交． 故选：C 5. 已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出已知直线的斜率，再结合平行关系及直线的点斜式方程求解即得. 【详解】直线的斜率为，则所求直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 故选：A 6. 已知双曲线的实轴长为2，且与椭圆的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标，进而得双曲线的焦点坐标，再根据的值求出，即可得到双曲线的标准方程，最后求双曲线的渐近线方程即可. 【详解】椭圆的焦点坐标为，， 故， 可设双曲线的方程为， 则. 双曲线的实轴长为2， ，可得： ， 双曲线的标准方程为. 令，得， 故双曲线的渐近线方程为 故选：C. 【点睛】本题主要考查双曲线和椭圆的标准方程和几何性质，考查数学运算核心素养，解题关键是掌握双曲线的渐近线方程定义，属于基础题. 7. “大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知，，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心坐标，求出圆的半径，即可求出圆的标准方程. 【详解】因为以、为直径两端点的圆的圆心坐标为， 半径为，所以所求圆的标准方程为， 即以为直径的圆的方程为. 故选：A 8. 希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线：当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线.现有方程表示的圆锥曲线为（ ） A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】将方程转化为方程判断. 【详解】解：方程即为方程表示： 动点到定点的即可与到定直线的距离的比为5且大于1， 所以其轨迹为双曲线， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分.选全得满分，选不全得部分分. 9. 下列结论中错误的是（ ） A. 过点，的直线的倾斜角为 B. 直线与直线之间的距离为 C. 已知点，，点在轴上，则的最小值为 D. 截距式适用于不过原点的任何直线 【答案】ABD 【解析】 【分析】由两点求出斜率即可得到倾斜角；用两直线间的距离公式即可结果；将军饮马模型解决动点到两定点距离和最大问题；截距式要求. 【详解】对于A，，所以直线的倾斜角为，故错误； 对于，将化为， 与平行，则两条直线间距离为，故B错误； 对于，点关于轴的对称点为，则即为的最小值，为，故C正确； 对于，截距式适用于不过原点、也不平行于坐标轴的任何直线，故 D错误． 故选：ABD． 10. 已知，直线：，直线：，则（ ） A. 若，则或 B. 若，则与间距离为 C. 若，则或 D. 若在x轴和y轴上的截距相等，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用直线的平行、直线的垂直、平行直线的距离公式、直线的一般式方程和截距式方程逐项分析运算判断即可得解. 【详解】对于选项A，由题意，若，则有， 解得：或， 当时，直线：和直线：重合， 当时，直线：和直线：平行， 综上，，故A错误； 对于选项B，由A知，当时，直线：和直线：平行， 直线方程可化为，由平行直线间的距离公式可求得： 与间距离，故B正确； 对于选项C，直线：和直线：垂直， 则有，解得：或，所以，或，故C正确； 对于选项D，当时，直线：过原点，在x轴和y轴上的截距相等， 当时，直线方程可化为截距式方程，则有， 解得：， 综上，若在x轴和y轴上的截距相等，则或，故D错误. 故选：BC. 11. 已知曲线：，下列说法正确的有（ ） A. 当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆 B. 当时，曲线表示焦点在轴上的双曲线 C. 当时，所给方程没有轨迹 D. 当且时，曲线的焦距为8 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定的曲线，结合椭圆与双曲线的意义逐项判断即得. 【详解】对于A，当时，，曲线表示焦点在轴上的椭圆，A正确； 对于B，，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，B错误； 对于C，当时，等号左边为负数，方程不成立，所给方程没有轨迹，C正确； 对于D，当且时， 若时，曲线表示焦点在轴上的双曲线，半焦距，曲线的焦距为， 若时，曲线表示焦点在轴上的椭圆，半焦距，曲线的焦距为，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________． 【答案】4x＋3y－6＝0 【解析】 【分析】 直接求出两直线l1：x﹣2y+4=0和l2：x+y﹣2=0的交点P的坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线方程． 【详解】由方程组可得P（0，2）． ∵l⊥l3，∴kl=﹣， ∴直线l的方程为y﹣2=﹣x， 即4x＋3y－6＝0． 故答案为：4x＋3y－6＝0 13. 已知椭圆中心在原点，长轴长为4，以双曲线的顶点为焦点，则椭圆的标准方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】双曲线的顶点为，可得椭圆的焦半径为，由长轴定义及椭圆的标准方程即可求解. 【详解】双曲线的顶点为， 所以椭圆的焦点在轴上，设方程为， 由长轴长为，可得，所以， 又，所以， 所以椭圆的标准方程为． 故答案为：. 14. 过点且与圆相切的直线方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】 分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程. 【详解】解：当时，，所以在圆外， 由标准方程可知，圆心为，半径为，当所求切线斜率不存在时，方程为， 圆心到该直线的距离为和半径相等，所以是所求切线； 当所求切线斜率存在时，设斜率为，则切线方程为， 即，圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为， 综上所述，切线方程为或. 故答案为: 或. 【点睛】本题考查了圆切线方程的求解，属于基础题.本题的易错点是未讨论全面. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知顶点，边上的高为且垂足为E. （1）求边上中线所在的直线方程； （2）求点E的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得点坐标，根据两点式求得的方程、 （2）根据求得点的坐标. 【小问1详解】 ，即， 所以直线的方程为. 【小问2详解】 直线的方程为， 设， 依题意， 所以， ， 即. 16. 已知圆：. （1）将圆C的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径； （2）求直线：被圆C所截得的弦长. 【答案】（1）圆的标准方程为，圆心为，半径为5；（2）. 【解析】 【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程，然后可得圆心和半径. （2）求出圆心到直线的距离，然后可算出答案. 【详解】（1）由可得该圆的标准方程为 其圆心为，半径为5 （2）圆心到直线的距离为 所以直线：被圆C所截得的弦长为 17. 已知离心率为的椭圆：经过点. （1）求椭圆的方程； （2），分别为椭圆左右顶点，直线，分别交直线于，两点，求的面积. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出，即可得到椭圆的标准方程； （2）根据已知条件求出直线，的方程，则可求出三角形底边两点P、Q间的距离，利用三角形面积公式即可求出． 【详解】（1）离心率为，则，椭圆为：， 代入解得，，所以椭圆方程为：. （2）由题意，， 直线：，：， 代入得，， 所以. 【点睛】本题主要考查利用椭圆的性质求椭圆方程，以及三角形面积的求法，意在考查学生的计算能力． 18. 已知直线：，：． （1）若，求的值及与的交点坐标； （2）若，求与间的距离． 【答案】（1），与的交点坐标为 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据垂直关系先求出的值，然后联立直线方程求解出交点坐标； （2）根据平行关系先求出的值，然后根据平行线间的距离公式求解出与间的距离. 小问1详解】 直线：，：， 若，则，解得：， 则，：， 联立方程组，则与的交点坐标为． 【小问2详解】 若，则或， 当时，，：，则与间的距离， 当时，，：，则与间的距离， 综上所述，与间的距离为或． 19. 如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线经过与桶圆交于，两点，且的周长为12． （1）求椭圆的离心率． （2）若，分别为椭圆的左、右顶点，记直线，的斜率分别为，，证明：是定值． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由题意可得，的周长为，可求出，从而得到离心率. （2）根据题意有，，设，由斜率公式分别得出，，再结合椭圆方程可得答案. 【详解】（1）解：由题可知， 的周长为， 所以，所以椭圆的离心率为． （2）证明：由（1）可知椭圆的方程为，，． 设则，所以 ，， 由椭圆方程可知，， 所以，即是定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$