安徽省临泉田家炳实验中学2024-2025学年高二上学期期中教学质量检测数学试题

1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线的倾斜角，属于基础题． 利用倾斜角和斜率的关系即可求解． 【解答】 解：设直线的倾斜角为，， 则， ． 故选：   2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆心到直线的距离的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式和圆的性质的合理运用． 先求出圆的圆心，再利用点到到直线的距离公式求解． 【解答】 解：圆的圆心为， 圆的圆心到直线的距离为： ． 故选B． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查直线方程，属于基础题． 先根据两点坐标求斜率，然后用点斜式写出直线方程，化为一般方程即可． 【解答】 解：，， 则直线的方程为，即 故选A 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆与圆的位置关系，属于基础题． 求出两圆的圆心，半径，计算圆心距，比较圆心距与两半径的关系得出结论． 【解答】 解：圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆的圆心距， ， 两圆相交． 故选：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查求直线方程，属于基础题． 根据两直线平行可得直线的斜率，利用点斜式方程求解即可． 【解答】 解：的斜率为， 则所求直线的斜率为， 故直线的方程为，即． 故选A． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查双曲线和椭圆的标准方程和几何性质． 先根据椭圆的方程求出椭圆的焦点坐标，进而得双曲线的焦点坐标，再根据的值求出，即可得到双曲线的标准方程，最后求双曲线的渐近线方程即可． 【解答】 解：易知椭圆的焦点坐标为，，故， 可设双曲线的方程为， 则． 因为双曲线的实轴长为，所以，所以， 所以双曲线的标准方程为． 令，得， 故双曲线的渐近线方程为， 故选C． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查圆的标准方程，属于基础题． 求得圆心和半径，由此求得圆的方程． 以为半径的圆的标准方程是 【解答】 解：的中点为圆心， 根据圆心半径公式可知， 所以所求圆的方程为． 故选： 8.【答案】  【解析】本题考查两点间的距离公式，点到直线的距离，属于中档题． 将方程  转化为方程  判断． 【解答】 解：方程  即为方程  ， 表示动点  到定点  的距离与到定直线  的距离的比为且大于， 所以其轨迹为双曲线， 故选： 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线的斜率，两条平行直线间的距离，点、直线间的对称问题，截距式方程，属于中档题． 由直线的斜率，倾斜角，平行线间的距离公式，点、直线间的对称，截距式方程对选项进行分析即可． 【解答】 解：对于，  ，所以直线的倾斜角为，故A错误； 对于，将化为 ， 与平行，则两条直线间的距离为  ，故B错误； 对于，点关于轴的对称点为，则即为的最小值，为  ，故C正确； 对于，截距式适用于不过原点、也不平行于坐标轴的任何直线，故 D错误． 故选ABD． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查平面内两直线的位置关系和直线方程的应用，属于基础题． 根据条件，利用两直线平行的充要条件即可判定，利用两平行直线的距离公式即可判定，利用两直线垂直的充要条件即可判定，分情况讨论，建立方程即可判定． 【解答】 解：对于：若，则，解得或， 又当时，与重合，不满足题意，所以，故A错误； 对于：根据选项A可知，若，则两条直线的方程分别为：，， 所以与间距离为，故B正确； 对于，若，则，得或， 经检验，当或时，都满足题意，故C正确； 对于，若在轴和轴上的截距相等，则有： 当在轴和轴上的截距都为时，，解得； 当在轴和轴上的截距不为时，则有，解得或舍去， 综上，若在轴和轴上的截距相等，则或，故D错误． 故选BC． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查圆锥曲线的方程和几何性质，根据椭圆和双曲线的标准方程和定义是解决本题的关键． 根据曲线方程的特点，结合椭圆、双曲线的标准方程和几何性质分别判断即可． 【解答】 解：当时，，故曲线表示焦点在轴上的椭圆，A正确， 若，，曲线表示焦点在轴上的双曲线，故B错误， 当时，因为等号左边为负数，故所给方程没有轨迹，故C正确， 当且时，若时，曲线表示焦点在轴上的双曲线， 故可得，故曲线的焦距为， 若时，故曲线表示焦点在轴上的椭圆，故可得，故曲线的焦距为，故D正确， 故选ACD． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题考查直线的交点与直线的方程的求法，考查计算能力． 直接求出两直线：和：的交点的坐标，求出直线的斜率，然后求出所求直线方程． 【解答】 解：由方程组可得． ，， 直线的方程为，即． 故答案为． 13.【答案】  【解析】【分析】 本题考查椭圆的标准方程和性质，考查双曲线的几何性质，属于中档题． 根据双曲线的顶点为，可得椭圆的焦点在轴上，设方程为，求出即可． 【解答】 解：双曲线的顶点为， 所以椭圆的焦点在轴上，设方程为， 由长轴长为，可得，所以， 又，所以， 所以椭圆的标准方程为． 14.【答案】或  【解析】【分析】 本题主要考查了圆的切线方程和点到直线的距离公式以及直线的斜率等知识点，属于基础题． 根据题意分斜率存在和不存在两种情况分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径求切线方程． 【解答】 解：当，时，，所以点在圆外， 由标准方程可知，圆心为，半径为， 当所求切线斜率不存在时，方程为， 圆心到该直线的距离为和半径相等，所以是所求切线； 当所求切线斜率存在时，设斜率为，则切线方程为， 即，圆心到直线的距离，解得，所以切线方程为， 综上所述，切线方程为或； 故答案为或． 15.【答案】解：因为顶点，作出直角坐标系下的图像， 所以，的中点为， 故边上中线所在的直线方程为， 即； 由题， 所以边上的高为所在直线的斜率为， 故所在直线方程为，即； 所在直线方程为，即． 又边上的高为且垂足为， 所以点的坐标满足，解得． 故点的坐标为．  【解析】本题考查直线方程的确定、中点坐标公式斜率公式以及两条直线的垂直以及交点，属于基础题． 结合题设先由中点坐标公式求得，的中点的坐标，然后由直线的两点式方程可得所在的直线方程； 先由斜率公式求得直线的斜率，然后结合直线的垂直关系确定边上的高的斜率，再由直线的点斜式确定直线，的方程，最后联立直线，解方程可得结果． 16.【答案】解：圆的标准方程为：， 圆的圆心为，半径为； 圆心到直线直线：的距离， 直线：被圆所截得的弦长为．  【解析】本题考查了直线与圆的相交弦长问题及点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，比较基础． 把圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标与圆的半径； 求出圆心到直线的距离，利用勾股定理计算直线：被圆所截得的弦长． 17.【答案】解：离心率为，则，椭圆为：， 代入，解得，，所以椭圆方程为：． 由可得，，又点， 故直线的方程：；直线的方程为：； 代入的： ．  【解析】本题考查了椭圆方程的求法，考查学生的计算能力，属于基础题． 利用已知条件列出方程，求解椭圆的几何量，即可得到椭圆的标准方程； 根据已知条件表示出三角形底边两点、间的距离，利用公式求面积即可． 18.【答案】解：直线：，：， 若，则，解得：， 则，： 联立方程组 则与的交点坐标为． 若，则或， 当时，，：， 则与间的距离， 当时，，：， 则与间的距离， 故与间的距离为或．  【解析】本题主要考查直线的位置关系，是基础题，解题时要认真审题，注意直线平行的性质的灵活运． 利用直线垂直的性质求出的值，联立方程组即可求得点坐标； 利用直线平行的性质求出的值，利用距离公式即可解． 19.【答案】解：由题意得的周长为， 故，又易知， 故椭圆的离心率为． 证明：由知， 故椭圆方程为， 设点，则有， 又，， 故， 可知是定值．  【解析】本题考查椭圆的性质、标准方程、直线与椭圆的位置关系和定值问题，属于基础题． 由椭圆定义求出的值，利用离心率公式即可求解； 求出椭圆方程，设出点的坐标，根据斜率公式以及点在椭圆上进行证明即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1页，共 2页 临泉田家炳实验中学 2024-2025 学年第一学期 高二年级期中教学质量检测数学试卷 满分：150 分 时间：120 分钟 一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知直线�: � =− 3 3 �，则该直线倾斜角的度数为 ( ) A. 120∘ B. 150∘ C. 135∘ D. 60∘ 2.圆(� + 1)2 + �2 = 2 的圆心到直线� = � + 3 的距离为 ( ) A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2 3.过两点�1(1, − 1)，�2(2,3)的直线的方程为 ( ) A. 4� − � − 5 = 0 B. 2� − 3� − 5 = 0 C. 4� + � − 3 = 0 D. � + 4� − 14 = 0 4.圆�1：(� + 2)2 + (� − 2)2 = 4 和圆�2：(� − 2)2 + (� − 5)2 = 16 的位置关系是( ) A. 内切 B. 相离 C. 相交 D. 外切 5.已知直线�经过点(2, − 4)，且与直线� + 2� − 8 = 0 平行，则直线�的方程为 ( ) A. � + 2� + 6 = 0 B. � + 2� + 8 = 0 C. 2� − � − 8 = 0 D. � − 2� − 6 = 0 6.已知双曲线�的实轴长为 2，且与椭圆�: � 2 3 + � 2 12 = 1 的焦点相同，则双曲线�的渐近线方程 ( ) A. � =± 2 5 5 � B. � =± 5 2 � C. � =± 2 4 � D. � =± 2 2� 7.“大漠孤烟直，长河落日圆”体现了我国古代劳动人民对于圆的认知.已知� 1,3 ，� 3, − 1 ，则以�� 为直径的圆的方程为 ( ) A. � − 2 2 + � − 1 2 = 5 B. � − 2 2 + � − 1 2 = 20 C. � + 1 2 + � − 2 2 = 5 D. � + 1 2 + � − 2 2 = 20 8.希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这 一定义进行了证明，他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数�的点的轨迹叫做圆锥曲线： 当 0 < � < 1 时，轨迹为椭圆;当� = 1 时，轨迹为抛物线;当� > 1 时，轨迹为双曲线.现有方程 �2 + �2 = |3� + 4� − 12|表示的圆锥曲线为 ( ) A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 以上都不对 二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。选全得满分，选不全得部分分。 9.下列结论中错误的是 ( ) A. 过点�(1, − 3)，�( − 2,0)的直线的倾斜角为 45° B. 直线� − 2� − 2 = 0 与直线 2� − 4� + 1 = 0 之间的距离为 5 C. 已知点�(3,1)，�(2,3)，点�在�轴上，则|��| + |��|的最小值为 29 D. 截距式 � � + � � = 1 适用于不过原点的任何直线 10.已知� ∈ �，直线�1：� + �� − � = 0，直线�2：�� − 2� − 3 � + � − 2 = 0，则( ) A. 若�1//�2，则� = 1 或� =− 3 B. 若�1//�2，则�1与�2间距离为 2 10 15 C. 若�1 ⊥ �2，则� = 0 或� = 2 D. 若�2在�轴和�轴上的截距相等，则� = 1 11.已知曲线�： � 2 25−� + � 2 9−� = 1，下列说法正确的有 ( ) A. 当� < 9 时，曲线�表示焦点在�轴上的椭圆 B. 当 9 < � < 25 时，曲线�表示焦点在�轴上的双曲线 C. 当� > 25 时，所给方程没有轨迹 D. 当� < 25 且� ≠ 9 时，曲线�的焦距为 8 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15分。 12.经过两直线�1：� − 2� + 4 = 0 和�2：� + � − 2 = 0 的交点�，且与直线�3：3� − 4� + 5 = 0 垂直 的直线�的方程为 ． 13.已知椭圆中心在原点，长轴长为 4，以双曲线� 2 2 − �2 = 1 的顶点为焦点，则椭圆的标准方程 为 ． 14.过点( − 1,2)且与圆(� − 1)2 + �2 = 4 相切的直线方程为 ． 第 2页，共 2页 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题 13 分) 如图，已知����顶点�(3,0)、�( − 1, − 3)、�(1,1)，边 �� 上的 高为 �� 且垂足为� ． (1)求边��上中线��所在的直线方程； (2)求点�的坐标． 16.(本小题 15 分) 已知圆�：�2 + �2 + 4� − 21 = 0． (1)将圆�的方程化为标准方程，并指出圆心坐标和半径； (2)求直线�：2� − � + 3 = 0 被圆�所截得的弦长． 17.(本小题 15 分) 已知离心率为 3 2 的椭圆�：� 2 �2 + � 2 �2 = 1(� > � > 0)经过点�(1, 3 2 ) (1)求椭圆�的方程； (2)�，�分别为椭圆的左右顶点，直线��、��分别交直线� = 4 于�，�两点，求△ PQM 的面积． 18.(本小题 17 分) 已知直线�1：�� + 2� − � = 0，�2：� + � − 1 � + 1 = 0． (1)若�1 ⊥ �2，求�的值及�1与�2的交点坐标； (2)若�1//�2，求�1与�2间的距离． 19.(本小题 17 分) 如图，已知椭圆�: � 2 �2 + � 2 �2 = 1(� > � > 0)的左、右焦点分别为�1( − 2 2, 0)，�2(2 2, 0)，直线�经过�1 与椭圆�交于�，�两点，且△ ���2的周长为 12． (1)求椭圆�的离心率； (2)若�，�分别为椭圆的左、右顶点，记直线 AM，AN 的斜率分别 为�AM，�AN，证明：�AM ⋅ �AN是定值．