精品解析：广东省深圳市南山实验教育集团麒麟中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

2024－2025学年第一学期九年级期中质量监测 数学 说明：1.答题前，考生务必在在答题卡指定位置用黑色字迹的钢笔或签字笔填写考试信息，并用2B铅笔填涂考号． 2.用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内作答．如需改动，先划掉原来的答案，再写新答案；作答选择题时，用2B铅笔把对应题目答案的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不按照以上要求作答，视为无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. m为任何实数 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上，若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. 1 D. 4. 平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（　　） A. B. C. D. 5. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在正方形与等边中，三点在一条直线上，且，．若有一动点沿着由往移动，则当长度最小时，的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 一元二次方程解是____． 10. 为了估计鱼塘中鱼数量，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计有约_______条． 11. 如图，实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山距离为米的B处，然后沿着射线退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量米，若小宇的眼睛到地面的距离为米，则假山高度为____米． 12. 如图，将长方形分成四块，的面积是，的面积是，则四边形的面积是______平方厘米． 13. 如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 15. 10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． AI 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查的学生人数； （3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 16. 如图，中，，，． （1）以O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴右侧画出． （2）的面积为______． （3）在网格中找一点D，使得是以为底边的等腰直角三角形，则点D的坐标为______． 17. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 18. 如图，在四边形中，，分别是边上的点，连接交于点，．添加下列条件之一使四边形成为菱形：①；②． （1）你添加的条件是______（填序号），并证明． （2）在（1）的条件下，连接，若，求菱形的面积． 19. 根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式． （1）问题解决：确定桥洞的形状． 建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为， ①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）； ②求出经过点A的双曲线的函数表达式． （2）探索应用： 这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．） 20. 综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动． 【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形中，，，P为边上的一动点，以为边向右作等边，连接，如何求的最小值？ 【探究发现】小亮发现：如图4所示，以为边向下构造一个等边，便可得到，进而将的最小值转化为的最小值的问题． （1）按照小明的想法，求证：；并求出的最小值． 【拓展应用】 （2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以为边向右构造正方形，在运动过程中，求出的最小值． （3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以为边向右构造菱形，使，也可求得的最小值．请你直接写出最小值为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年第一学期九年级期中质量监测 数学 说明：1.答题前，考生务必在在答题卡指定位置用黑色字迹的钢笔或签字笔填写考试信息，并用2B铅笔填涂考号． 2.用黑色字迹的钢笔或签字笔在指定区域内作答．如需改动，先划掉原来的答案，再写新答案；作答选择题时，用2B铅笔把对应题目答案的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．不按照以上要求作答，视为无效． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. m为任何实数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，列出关于的不等式，解之即可． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， 故选：A． 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了简单组合体的三视图，解题的关键是根据俯视图是从上面看到的图形判定． 【详解】解：从上面看得该几何体的俯视图是： ． 故选：C． 3. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点都在横线上，若线段，则线段的长是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．过点作这组平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点，根据平行线分线段成比例定理可得，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作这组平行横线的垂线，交点所在的平行横线于点，交点所在的平行横线于点， 由题意可知，， 由平行线分线段成比例定理得：， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4. 平地上立有三根等高的木杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行投影，解题的关键是理解平行投影的定义，属于中考常考题型； 根据平行投影的定义判断即可； 【详解】解：根据平行投影的定义可知，在某一时刻三根木杆在阳光下的影子可能是： 故选：D． 5. 生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近，可以增加视觉美感，若图中b为2米，则a约为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据，米，即可求出的值． 【详解】解：雕像的腰部以下与全身的高度比值接近，米， ， 米， 的值约为米； 故选：A． 6. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余田的面积为468列出方程即可． 【详解】解：设入口的宽度为x m，由题意得： （30-2x）（20-x）=468． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 7. 已知一次函数与反比例函数，则其图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数，反比例函数图象与系数的关系．解题的关键在于明确系数与函数图象的关系．当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限；当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限，进而得出答案． 【详解】解：当时，可知的图象过一二三象限，的图象过一三象限； 当时，可知的图象过一二四象限，的图象过二四象限， ∴与D选项中图象一致， 故选：D． 8. 如图所示，在正方形与等边中，三点在一条直线上，且，．若有一动点沿着由往移动，则当的长度最小时，的长为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，当时，的长度最小并求出的长度是解答关键． 根据正方形和等边三角形的性质得到的长度，利用平角的定义求出，再利用含所对的直角边等于斜边的一半求出，由勾股定理求出，再用来求解． 【详解】.解：当时，的长度最小， ∵四边形是正方形， ∴，． ∵是等边三角形， ∴，． 三点在一条直线上， ∴， ∴， ． 在中， ∴． 故选：B． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 一元二次方程的解是____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程．移项，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 移项，得， 因式分解得， ∴或， 解得，． 故答案为：，． 10. 为了估计鱼塘中鱼的数量，养鱼者先从鱼塘中捕获100条鱼，在每一条鱼身上做好标记后把这些鱼放回鱼塘，一段时间后再从鱼塘中打捞鱼，通过多次试验后发现捕捞的鱼中有记号的频率稳定在0.1左右，则鱼塘中估计有约_______条． 【答案】1000 【解析】 【分析】设鱼塘中有鱼x条，利用频率估计概率得到，然后解方程即可． 【详解】解：设鱼塘中有鱼x条， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， 所以估计鱼塘中约有1000条鱼， 故答案为：1000． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 11. 如图，实践课上，小宇设计用光学原理来测量公园假山的高度，把一面镜子放在与假山距离为米的B处，然后沿着射线退后到点E，这时恰好在镜子里看到山头A，利用皮尺测量米，若小宇的眼睛到地面的距离为米，则假山高度为____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．熟练掌握相似三角形的应用是解题的关键． 证明，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 又∵， ∴， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 12. 如图，将长方形分成四块，的面积是，的面积是，则四边形的面积是______平方厘米． 【答案】11 【解析】 【分析】由题意可知：三角形和三角形等高不等底，则其面积比就等于对应底的比，即，再推出，则，于是可以求出三角形的面积，又因三角形与三角形的面积和是长方形的面积的一半，从而可以求出四边形的面积．本题考查了长方形，三角形的面积，解答此题的主要依据是：等高不等底的三角形的面积比，就等于其对应底的比． 【详解】解：连接 ∵三角形和三角形等高不等底，则其面积比就等于对应底的比，且 ∴ ∵三角形和三角形等高不等底 ∴ ∵三角形和三角形等高，同底 ∴ ∴ ∵ 即 ∴ 则 答：四边形的面积是11平方厘米． 故答案为：11 13. 如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及反比例函数的综合应用．连接，作轴于，轴于，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“”可判定，设点坐标为，得出，，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定函数解析式． 【详解】解：如图，连接，作轴于，轴于， ∵点、点是正比例函数图象与双曲线的交点， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 设点坐标为，则，， ∴点坐标为， ∵， ∴点在反比例函数图象上． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 已知：关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数的取值范围； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）的值为． 【解析】 【分析】（）计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解； （）利用根与系数的关系，，然后代入求解即可； 此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，整理得， 解得：，， 由（）得：， ∴， ∴的值为． 15. 10月8日，麒麟中学“第二十四届科技节”隆重开幕，当天举行了丰富多彩的活动，A．三阶6面魔方挑战赛；B．科技知识竞赛；C．环保调查；D．自制地球仪；E．机器人编程挑战赛．为了解学生对这五类活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． AI 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为______，并补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； （2）我校有2700名学生，请估计该校参加环保调查学生人数； （3）该校从C类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市环保调查，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1）200，图见解析 （2）810人 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 解：结合两幅图可得：（人）， ∴本次调查总人数为200； ∵（人）， ∴喜欢自制地球仪的有50人； 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：（人）， ∴该校参加环保调查学生人数约为810人； 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 共有12种等可能的结果，恰好抽到1名男生和1名女生有8种， ∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率是． 16. 如图，中，，，． （1）以O为位似中心，将缩小为原来的，得到，请在y轴右侧画出． （2）的面积为______． （3）在网格中找一点D，使得是以为底边的等腰直角三角形，则点D的坐标为______． 【答案】（1）见解析 （2）6 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，等腰直角三角形的性质． （1）把点，，的横纵坐标都乘以得到点、、的坐标，然后描点即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）由题意可知，点在的垂直平分线上，方法一：结合图形可知点的坐标；方法二：过点作轴，，，结合等腰三角形得性质，利用边的长度即可求解点的坐标； 解决问题的关键在于理解等腰直角三角形的性质及位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 【小问1详解】 解：如图，即为所求． 【小问2详解】 ∵，， ∴， 则， 故答案为：6； 【小问3详解】 ∵是以为底边的等腰直角三角形， ∴点在的垂直平分线上， 方法一：结合图形可知点的坐标为或； 方法二：如图，是等腰直角三角形， ∴，， 过点作轴，，， 则，，， 则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，则， 又∵， ∴， ∴，同理可得， 即点坐标为或； 故答案为：或． 17. 云南某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年共种植288亩．假设每年的增长率相同． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低1元，每天可多售出15千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）6元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率，最大利润问题， （1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x，由题意得：，求解即可； （2）设降价y元，则每千克橙子盈利元，每天可售出千克，利用每天销售获得的总利润＝每件千克的销售利润×每天的销售量，构造方程，解之即可． 【小问1详解】 解：设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降价y元，则每千克的销售利润为元，每天能售出千克， 根据题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 18. 如图，在四边形中，，分别是边上的点，连接交于点，．添加下列条件之一使四边形成为菱形：①；②． （1）你添加的条件是______（填序号），并证明． （2）在（1）的条件下，连接，若，求菱形的面积． 【答案】（1）②，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）添加条件②，由，证明四边形是平行四边形，证明，则，进而可证四边形是菱形； （2）由菱形的性质可知，，如图，由勾股定理得，，计算解得，，进而可求的值，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：添加条件②，证明如下； ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由菱形的性质可知，，如图， ∵， 由勾股定理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 19. 根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式． （1）问题解决：确定桥洞的形状． 建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为， ①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）； ②求出经过点A的双曲线的函数表达式． （2）探索应用： 这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．） 【答案】（1）①；② （2）此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用； （1）①过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，根据落在第一象限的角平分线上，结合和作辅助线可得多个等腰直角三角形，即可表示出； ②设双曲线接解析式为，把，代入计算即可； （2）求出当能恰好通过，则，在双曲线上，此时设和交于点，过作轴于，过作轴于，由等腰直角三角形求出点，代入得，求出，即此船最高载货2.8米，得到船身下降高度，代入计算即可． 【小问1详解】 解：①如图，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形， ∴，， ∵点C为， ∴， ∵落在第一象限的角平分线上， ∴A、B关于对称，即A、B关于第一象限角平分线对称，， ∴点D是的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ②设双曲线接解析式为， 把，代入得 ∴ 解得，， ∴点A在双曲线上； 【小问2详解】 由（1）可求：，，，， ∵四边形是矩形， ∴，，， 设和交于点，过作轴于，过作轴于，则， 若能恰好通过，则，在双曲线上，且， ∴， ∴， ∴，， ∴点， 把代入得， 解得， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴此船最高载货2.8米 ∵， ∴此船不能通过， ∴船身下降的高度， ∵， ∴， 故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞． 答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞． 20. 综合与实践课上，徐老师和同学们开展了一场以“最小值”为主题的探究活动． 【提出问题】徐老师提出了一个问题：如图1，在矩形中，，，P为边上的一动点，以为边向右作等边，连接，如何求的最小值？ 【探究发现】小亮发现：如图4所示，以为边向下构造一个等边，便可得到，进而将的最小值转化为的最小值的问题． （1）按照小明的想法，求证：；并求出的最小值． 【拓展应用】 （2）小刚受此启发，举一反三，提出新问题：如图2，若将图1当中构造的等边三角形，改为以为边向右构造正方形，在运动过程中，求出的最小值． （3）小红同学深入研究了小刚的问题，并又提出了新的问题：如图3，若将图2当中构造的正方形改为以为边向右构造菱形，使，也可求得的最小值．请你直接写出最小值为______． 【答案】（1）见解析，；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）过点作于，交于，可证得，得出，由为定点，可得当时，即点与点重合时，最小，再利用解直角三角形求得即可； （2）以为边向下作正方形，连接、交于点，连接，，过点作于，交于，可推出，，证得，得出，即，故当取得最小值时，最小，利用解直角三角形求得，进而可求得的最小值； （3）连接、交于，在下方作射线、射线，使，射线、射线交于点，过点作于，交于，连接，可证得，得出，即，故当取得最小值时，最小，由点为定点，可得当，即点与点重合时，最小，运用解直角三角形即可求得答案． 【详解】解：（1）如图，过点M作于K，交于L， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， 在和中，， ∴ ∴当最小时，最小， ∵M为定点， ∴当时，即点P与点K重合时，最小， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为； （2）如图，以为边向下作正方形，连接交于点O，连接，过点O作于，交于T， ∵四边形是正方形， ∴，，，是等腰直角三角形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 当BG取得最小值时，最小， ∵点O为定点， ∴当时，即点P与点重合时，最小， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的最小值为12， ∴的最小值为， （3）如图，连接交于O，在下方作射线、射线，使，射线、射线交于点Q，过点Q作于，交于K，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当取得最小值时，最小， ∵点Q为定点， ∴当，即点P与点重合时，最小， 由（2）知：， ∴， ∴最小值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，构造全等三角形和相似三角形，此题难度较大，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$