3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系同步个性化分层作业-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第 1页（共 21页） 2024-2025学年上学期高中数学北师大新版高二同步个性化分层作业 3.4.3 用向量方法研究立体几何中的度量关系 一．选择题（共 4小题） 1．设� → =（1，1，0），� → =（t，0，1）分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为 60°，则 t等于（ ） A．1 B．﹣1 C．﹣1或 1 D．2 2．把边长为 a的正三角形 ABC沿高线 AD折成 60°的二面角，点 A到 BC的距离是（ ） A．a B． 6� 2 C． 3� 3 D． 15� 4 3．已知 A（0，0，0），B（1，1，1，），M（﹣1，2，2），则 M到直线 AB的距离为（ ） A． 6 6 B． 6 3 C．1 D． 6 4．如图，在棱长为 1的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，点 B到直线 AC1的距离为（ ） A． 6 3 B． 6 6 C． 6 5 D． 2 6 3 二．多选题（共 2小题） （多选）5．如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 2，则下列说法正确的是（ ） A．直线 D1C和 BC1所成的角为 � 4 B．四面体 BDC1A1的体积是 8 3 C．点 A1到平面 BDC1的距离为 4 3 3 第 2页（共 21页） D．平面 BDA1与平面 BDC1所成二面角的正弦值为 2 2 3 （多选）6．已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1的各顶点及动点 P都在球 O的球面上，�� = �� = 2，�� = ��1 = 2 2，则（ ） A．AC⊥BB1 B．球 O的半径为 2 C．三棱柱 ABC﹣A1B1C1的表面积为 16 + 8 2 D．点 P到平面 ABC的距离的取值范围是[0，2 + 2] 三．填空题（共 2小题） 7．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，F是 BC的中点，点 E在棱 C1D1上，且�1� = 1 4�1�1，则直线 EF与 平面 D1AC所成角的正弦值为 ． 8．如图，若正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为 2，高为 4，则直线 BD1与底面 ABCD所成角的正切 值是 ． 四．解答题（共 2小题） 9．如图，在四边形 ABCD中，△ABD是边长为 2 的正三角形，BD⊥CD，CD＝2．现将△ABD沿 BD边 折起，使得平面 ABD⊥平面 BCD，点 E是 AD的中点． （1）求证：BE⊥平面 ACD； （2）求 AC与平面 BCE所成角的正弦值． 10．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，PC⊥底面 ABCD，在直角梯形 ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，AD＝ 2AB＝2BC＝2，�� = 2，E是 PD中点． 第 3页（共 21页） （1）求证：CE∥平面 PAB； （2）求点 B到平面 ACE的距离． 第 4页（共 21页） （学困生篇）2024-2025学年上学期高中数学北师大新版高二同步个性化 分层作业 3.4.3用向量方法研究立体几何中的度量关系 参考答案与试题解析 一．选择题（共 4小题） 1．设� → =（1，1，0），� → =（t，0，1）分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为 60°，则 t等于（ ） A．1 B．﹣1 C．﹣1或 1 D．2 【考点】空间向量法求解二面角及两平面的夹角；平面的法向量．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；空间向量及应用． 【答案】C 【分析】根据题意，由平面夹角的求法可得| � → ⋅� → |� → ||� → | |＝| � 2× �2+1 |＝cos60°= 12，变形解可得答案． 【解答】解：根据题意，� → =（1，1，0），� → =（t，0，1）分别为两平面的法向量， 若两平面所成的角为 60°，则有 cos60°＝| � → ⋅� → |� → ||� → | |， 故| � 2× �2+1 |= 12，变形可得 � 2× �2+1 =± 1 2 ，解可得 t＝﹣1或 1． 故选：C． 【点评】本题考查空间向量的应用，涉及平面与平面所成的角，属于基础题． 2．把边长为 a的正三角形 ABC沿高线 AD折成 60°的二面角，点 A到 BC的距离是（ ） A．a B． 6� 2 C． 3� 3 D． 15� 4 【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．菁优网版权所有 【专题】计算题． 【答案】D 【分析】此题是“折叠问题”，需抓住不变的量：AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D，所以 AD⊥面 BDC， 则由三垂线定理可过点 D作 DQ⊥BC，垂足为 Q，连接 AQ，则点 A到 BC的距离即为 AQ的长度，且 ∠BDC＝60°． 【解答】解：如图，过点 D作 DQ⊥BC，垂足为 Q，连接 AQ ∵AD⊥BD，AD⊥DC，BD∩DC＝D ∴AD⊥面 BDC 第 5页（共 21页） ∴根据三垂线定理可得：AQ⊥BC，则点 A到 BC的距离即为 AQ的长度 ∵AD⊥BD，AD⊥DC， ∴∠BDC＝60° 又∵BD＝DC= �2， ∴∠QDC＝30° 在 Rt△QDC中，DQ＝DC•cos30°= 34 � 又∵AD= 32 � ∴在 Rt△ADQ中，AQ= 154 � 故选：D． 【点评】本小题考查空间中的线面关系，二面角的平面角、解三角形等基础知识考查空间想象能力和思 维能力． 3．已知 A（0，0，0），B（1，1，1，），M（﹣1，2，2），则 M到直线 AB的距离为（ ） A． 6 6 B． 6 3 C．1 D． 6 【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离．菁优网版权所有 【专题】转化思想；向量法；立体几何；数学运算． 【答案】D 【分析】直接利用向量的坐标运算和向量的夹角运算及向量的模的运算求出结果． 【解答】解：由于 A（0，0，0），B（1，1，1），M（﹣1，2，2）， 所以�� → = (1，1，1)，�� → = ( − 1，2，2)， 故���＜�� → ，�� → ＞ = �� → ⋅�� → |�� → |⋅|�� → | = −1+2+2 3×3 = 33 ， 由于 0 ≤ ＜�� → ，�� → ＞ ≤ �， 第 6页（共 21页） 故���＜�� → ，�� → ＞ 1 − ( 33 ) 2 = 63 ， 又|�� → | = 3， 故点 M到直线 AB的距离为|�� → | ⋅ ���＜�� → ，�� → ＞ = 3 × 63 = 6． 故选：D． 【点评】本题考查的知识要点：向量的夹角，向量的线性运算，向量的模，主要考查学生的运算能力和 数学思维能力，属于基础题． 4．如图，在棱长为 1的正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，点 B到直线 AC1的距离为（ ） A． 6 3 B． 6 6 C． 6 5 D． 2 6 3 【考点】空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理；直观想象；数学运算． 【答案】A 【分析】以 D1为坐标原点，以�1�1 → ，�1�1 → ，�1� → 为单位正交基底，建立空间直角坐标系，取� → = �� → ， � → = ��1 → |��1 → | ，利用向量法，根据公式� = � →2 − (� → ⋅ � → )2即可求出答案． 【解答】解：以 D1为坐标原点，以�1�1 → ，�1�1 → ，�1� → 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标 系 D1﹣xyz， 则 A（1，0，1），B（1，1，1），C1（0，1，0），∴�� → = (0，1，0)，��1 → = ( − 1，1， − 1)， 取� → = �� → = (0，1，0)，� → = ��1 → |��1 → | = ( − 33 ， 3 3 ， − 3 3 )， 则� →2 = 1，� → ⋅ � → = 33 ， 则点 B到直线 AC1的距离为 � →2 − (� → ⋅ � → )2 = 1 − 13 = 6 3 ． 故选：A． 第 7页（共 21页） 【点评】本题主要考查点线距离的计算，空间向量及其应用等知识，属于基础题． 二．多选题（共 2小题） （多选）5．如图，正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 2，则下列说法正确的是（ ） A．直线 D1C和 BC1所成的角为 � 4 B．四面体 BDC1A1的体积是 8 3 C．点 A1到平面 BDC1的距离为 4 3 3 D．平面 BDA1与平面 BDC1所成二面角的正弦值为 2 2 3 【考点】空间中点到平面的距离；棱锥的体积；异面直线及其所成的角；几何法求解二面角及两平面的 夹角．菁优网版权所有 【专题】转化思想；向量法；立体几何；数学运算． 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算 A、C、D，利用割补法求出四面体 BDC1A1的体积， 即可判断 B． 【解答】解：建立如图所示空间直角坐标系 Dxyz， 第 8页（共 21页） 则 D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），B1（2，2，2），C1（0， 2，2）， 对于 A，�1� → = (0，2， − 2)，��1 → = ( − 2，0，2)， 故���＜�1� → ，��1 → ＞ = −4 2 2×2 2 =− 12， 故＜�1� → ，��1 → ＞ = 2�3 ， 即直线 D1C和 BC1所成的角为 � 3 ，故 A错误； 对于 B，易得四面体 BDC1A1为正四面体， 则����1�1 = �����−�1�1�1�1 − 4��−�1�1�1 = 8 − 4 × 1 3 × 1 2 × 2 × 2 × 2 = 8 3，故 B正确； 对于 C，��1 → = (2，0，2)，�� → = (2，2，0)，��1 → = ( − 2，0，2)， 设平面 BDC1的法向量为� → = (�，�，�)， 则 � → ⊥ �� → � → ⊥ ��1 → ，有 � → ⋅ �� → = 2� + 2� = 0 � → ⋅ ��1 → =− 2� + 2� = 0 ， 令 x＝1，则� → = (1， − 1，1)， 故点 A1到平面 BDC1的距离� = |��1 → ⋅� →| |�→| = |2+2| 3 = 4 33 ，故 C正确； 对于 D，设平面 BDA1的法向量为� → = (�，�，�)， 则 � → ⊥ ��1 → � → ⊥ �� → ，有 � → ⋅ ��1 → = 2� + 2� = 0 � → ⋅ �� → = 2� + 2� = 0 ， 令 a＝﹣1，则� → = ( − 1，1，1)， 所以���＜� → ，� → ＞ = −1−1+1 3× 3 =− 13， 第 9页（共 21页） 所以平面 BDA1与平面 BDC1所成二面角的正弦值为 1 − ( − 1 3 ) 2 = 2 23 ，故 D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查空间向量在立体几何中的应用，属于中档题． （多选）6．已知直三棱柱 ABC﹣A1B1C1的各顶点及动点 P都在球 O的球面上，�� = �� = 2，�� = ��1 = 2 2，则（ ） A．AC⊥BB1 B．球 O的半径为 2 C．三棱柱 ABC﹣A1B1C1的表面积为 16 + 8 2 D．点 P到平面 ABC的距离的取值范围是[0，2 + 2] 【考点】空间中点到平面的距离；棱柱的侧面积和表面积；球的表面积．菁优网版权所有 【专题】转化思想；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运算． 【答案】ABD 【分析】由直三棱柱概念知 A正确，由直三棱柱和球的对称性可确定球心位置，构造直角三角形可求 出球的半径知 B正确，计算直三棱柱各个面之和可得表面积知 C错误，点 P到平面 ABC的距离的最小 值为 0，最大值为球心到面 ABC的距离与 R之和，计算可得 D正确． 【解答】解：∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1的为直三棱柱， ∴BB1⊥底面 ABC，又 AC⊂底面 ABC，∴AC⊥BB1，故 A正确； 由�� = �� = 2，�� = 2 2知底面 ABC是等腰直角三角形，取 BC的中点为 H， 则 H为底面 ABC的外心，设直三棱柱外接球的球心为 O，则点 O位于 BCC1B1的中心， 连接 OH，OC，则 OH⊥CH，由题意，�� = �� = 2，则 R2＝OH2+CH2＝2+2＝4，即 R＝2．故 B正 确； 三棱柱 ABC﹣A1B1C1的表面积为：� = 1 2 × 2 × 2 × 2 + 2 × 2 2 × 2 + 2 2 × 2 2 = 12 + 8 2，故 C错 误； 第 10页（共 21页） 动点 P在球 O的球面上，则当点 P与 A，B，C重合时，点 P到平面 ABC的距离取得最小值为 0， 点P到平面ABC的距离的最大值为� + �� = 2 + 2，点P到平面ABC的距离的取值范围是[0，2 + 2]， 故 D正确． 故选：ABD． 【点评】本题考查线线垂直的证明，三棱柱的外接球问题，点面距的范围问题，化归转化思想，属中档 题． 三．填空题（共 2小题） 7．在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1中，F是 BC的中点，点 E在棱 C1D1上，且�1� = 1 4�1�1，则直线 EF与 平面 D1AC所成角的正弦值为 87 87 ． 【考点】直线与平面所成的角．菁优网版权所有 【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；数学运算． 【答案】 87 87 ． 【分析】以 D点为坐标原点，直线 DA为 x轴，直线 DC为 y轴，直线 DD1为 z轴建立空间坐标系，设 正方体棱长为 1，求出平面 D1AC的法向量��1 → ，以及向量�� → 的坐标，求出这两个向量的夹角的余弦值， 此值就是直线 EF与平面 D1AC所成角的正弦值． 【解答】 解：设正方体棱长为 1，以�� → ，�� → ，��1 → 为单位正交基底，建立如图所示坐标系 D﹣xyz， 则各点的坐标分别为 B1（1，1，1），�(0， 1 2，1)，�( 1 2，1，0)， 所以��1 → = (1，1，1)，�� → = ( 12， 3 4， − 1)， ��1 → 为平面 D1AC的法向量， ���＜��1 → ，�� → ＞ = ��1 → ⋅�� → |�� → ||�� → | = 1×12+1× 3 4−1×1 3× 14+ 9 16+1 = 8787 ． 所以直线 EF与平面 D1AC所成角的正弦值为 87 87 ． 第 11页（共 21页） 【点评】本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力， 属于基础题． 8．如图，若正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为 2，高为 4，则直线 BD1与底面 ABCD所成角的正切 值是 2 ． 四．解答题（共 2小题） 9．如图，在四边形 ABCD中，△ABD是边长为 2 的正三角形，BD⊥CD，CD＝2．现将△ABD沿 BD边 折起，使得平面 ABD⊥平面 BCD，点 E是 AD的中点． （1）求证：BE⊥平面 ACD； （2）求 AC与平面 BCE所成角的正弦值． 【考点】空间中点到平面的距离；直线与平面垂直．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；立体几何；数学运算． 【答案】（1）证明见解析；（2） 10 10 ． 第 12页（共 21页） 【分析】（1）将问题转化为证明 BE⊥CD，BE⊥AD； （2）先用体积转化法求出 A点到平面 BCE的距离为 d，再根据���� = ���求解． 【解答】解：（1）因为平面 ABD⊥平面 BCD，平面 ABD∩平面 BCD＝BD，BD⊥CD，CD⊂平面 BCD， 所以 CD⊥平面 ABD， 又因为 BE⊂平面 ABD， 所以 CD⊥BE，因为 E为 AD中点，△ABD为正三角形， 所以 BE⊥AD， 又因为 AD，CD⊂平面 ACD，AD∩CD＝D， 所以 BE⊥平面 ACD． （2）设 A点到平面 BCE的距离为 d，AC与平面 BCE所成的角为θ， 由（1）可知 CD⊥AD，BE⊥CE， 由题意可知�� = 3，�� = 2 2，�� = ��2 + ��2 = 5， 则�△��� = 1 2�� ⋅ �� = 1 2 × 1 × 2 = 1， �△��� = 1 2�� ⋅ �� = 1 2 × 3 × 5 = 15 2 ， 由 VA﹣BCE＝VB﹣ACE， 得 1 3 � ⋅ �△��� = 1 3 �� ⋅ �△��� ⇒ � = ��⋅�△��� �△��� = 3×1 15 2 = 2 5 5 ， 所以���� = ��� = 2 5 5 2 2 = 1010 ， 即 AC与平面 BCE所成的角的正弦值为 10 10 ． 【点评】本题考查线面垂直的判定以及线面角的计算，属于中档题． 10．如图，在四棱锥 P﹣ABCD中，PC⊥底面 ABCD，在直角梯形 ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，AD＝ 2AB＝2BC＝2，�� = 2，E是 PD中点． （1）求证：CE∥平面 PAB； （2）求点 B到平面 ACE的距离． 第 13页（共 21页） 【考点】空间中点到平面的距离；直线与平面平行．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；立体几何；数学运算． 【答案】（1）证明见解析；（2） 1 2 ． 【分析】（1）根据线面平行判定定理证明即可； （2）利用等体积法求解即可． 【解答】解：（1）证明：取线段 AP的中点 F，连接 EF，BF， 因为 E，F分别为 PD，AP中点，所以 EF∥AD，�� = 12��， 又 BC∥AD，�� = 12��，所以 EF∥BC，EF＝BC， 所以四边形 BCEF为平行四边形，所以 CE∥BF， 又因为 BF⊂平面 PAB，CE⊄平面 PAB，所以 CE∥平面 PAB． （2）因为 PC⊥平面 ABCD，E是 PD中点， 所以点 E到平面 ABCD的距离为 1 2 �� = 2 2 又 AC⊂平面 ABCD，所以 PC⊥AC； 因为 AD＝2，AB＝BC＝1，BC∥AD，AB⊥AD， 所以 AB⊥BC， 所以�� = 2，�� = (�� − ��)2 + ��2 = 2， 所以 AC2+CD2＝AD2，所以 AC⊥CD； 又因为 PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面 PCD， 所以 AC⊥平面 PCD， 第 14页（共 21页） 记点 B到平面 ACE的距离为 h， 由 VB﹣ACE＝VE﹣ABC， 得 1 3 × 1 2 × 1 × 1 × 2 2 = 1 3 × 1 2 × 1 × 2ℎ， 解得ℎ = 12， 故点 B到平面 ACE的距离为 1 2 ． 【点评】本题考查线面平行的判定以及等体积法的应用，属于中档题． 第 15页（共 21页） 考点卡片 1．棱柱的侧面积和表面积 棱柱的侧面积和表面积 2．棱锥的体积 棱锥的体积 3．球的表面积 球的表面积 4．异面直线及其所成的角 【知识点的认识】 1、异面直线所成的角： 直线 a，b是异面直线，经过空间任意一点 O，作直线 a′，b′，并使 a′∥a，b′∥b．我们把直线 a′ 和 b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a和 b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0， � 2 ]．当θ ＝90°时，称两条异面直线互相垂直． 2、求异面直线所成的角的方法： 求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线． 3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识： 5．直线与平面平行 【知识点的认识】 第 16页（共 21页） 1、直线与平面平行的判定定理： 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为：若 a⊄α， b⊂α，a∥b，则 a∥α． 2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直 线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行． 1、直线和平面平行的性质定理： 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行． 用符号表示为：若 a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则 a∥b． 2、直线和平面平行的性质定理的实质是： 已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行⇒线线平 行． 由线面平行⇒线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行． 正确的结论是：a∥α，若 b⊂α，则 b与 a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与 a平行有无数条，另一类与 a异面，也有无数条． 6．直线与平面垂直 【知识点的认识】 直线与平面垂直： 如果一条直线 l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线 l和平面α互相垂直，记作 l⊥α，其 中 l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 l的垂面． 直线与平面垂直的判定： （1）定义法：对于直线 l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线． （2）判定定理 1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． （3）判定定理 2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 直线与平面垂直的性质： ①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b ②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b． 7．平面的法向量 【知识点的认识】 第 17页（共 21页） 1、直线的方向向量： 空间中任意一条直线 l的位置可以由 l上一个定点 A以及一个定方向确定．直线 l上的向量� → 以及与� → 共线 的向量叫做直线 l的方向向量．注意： ①一条直线 l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行． ②直线 l的方向向量也是所有与 l平行的直线的方向向量． 2、方向向量的求法：可根据直线 l上的任意两点的坐标写出直线 l的一个方向向量． 3、平面的法向量： 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方 向”．如果表示向量� → 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作� → ⊥α，如果� → ⊥α， 那么向量� → 叫做平面α的法向量．注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行； ③向量� → 是平面的法向量，向量� → 是与平面平行或在平面内，则有� → •� → =0． ④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量． 4、法向量的求法： （1）设：设出平面法向量的坐标为� → =（u，v，w）； （2）列：根据� → ⋅ � → =0，� → ⋅ � → =0，列出方程组； （3）解：把 u（或 v或 w）看作常数，用 u（或 v或 w）表示另外两个量 （4）取：取 u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量� → 的坐标． 8．直线与平面所成的角 【知识点的认识】 1、直线和平面所成的角，应分三种情况： （1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角； （2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为 90°； （3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为 0°． 显然，斜线和平面所成角的范围是（0， � 2 ）；直线和平面所成的角的范围为[0， � 2 ]． 第 18页（共 21页） 2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为 两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的 环节： （1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角； （2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角； （3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求 出角． （4）答﹣﹣回答求解问题． 在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与 平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想． 3、斜线和平面所成角的最小性： 斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是 斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选 中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经 过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映 了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线 和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角． 用空间向量直线与平面所成角的求法： （1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过 解直角三角形求得． （2）向量求法：设直线 l的方向向量为� → ，平面的法向量为� → ，直线与平面所成的角为θ，� → 与� → 的夹角为φ， 则有 sinθ＝|cos φ|= |� →⋅�→| |�→||�→| ． 9．二面角的平面角及求法 【知识点的认识】 1、二面角的定义： 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二 面角的面．棱为 AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以 第 19页（共 21页） 外的半平面部分）分别取点 P、Q，将这个二面角记作 P﹣AB﹣Q．如果棱记作 l，那么这个二面角记作二 面角α﹣l﹣β或 P﹣l﹣Q． 2、二面角的平面角﹣﹣ 在二面角α﹣l﹣β的棱 l上任取一点 O，以点 O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱 l的射线 OA和 OB，则射线 OA和 OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面 角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角 ∠AOB的大小与点 O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱 l上的点 O． 3、二面角的平面角求法： （1）定义； （2）三垂线定理及其逆定理； ①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直． ②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于 二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角． （3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面 的交线所成的角，就是二面角的平面角．； （4）平移或延长（展）线（面）法； （5）射影公式； （6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角； （7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法： 设平面α和β的法向量分别为� → 和� → ，若两个平面的夹角为θ，则 （1）当 0≤ ＜� → ，� → ＞ ≤ �2，θ= ＜� → ，� → ＞， 此时 cosθ＝cos＜� → ，� → ＞ = � →⋅�→ |�→||�→| ． （2）当 � 2 ＜＜� → ，� → ＞＜π时，θ＝π−＜� → ，� → ＞， 第 20页（共 21页） cosθ＝﹣cos＜� → ，� → ＞ =− � →⋅�→ |�→||�→| ． 10．几何法求解二面角及两平面的夹角 几何法求解二面角及两平面的夹角 11．空间向量法求解二面角及两平面的夹角 空间向量法求解二面角及两平面的夹角 12．点、线、面间的距离计算 【知识点的认识】 第 21页（共 21页） 13．空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 空间中点到直线的距离及两平行直线间的距离 14．空间中点到平面的距离 空间中点到平面的距离 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2024/7/23 0:26:40；用户：组卷 38；邮箱：zyb038@xyh.com；学号： 41419001