3.4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系同步个性化分层作业-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第 1页（共 25页） 2024-2025学年上学期高中数学北师大新版高二同步个性化分层作业 3.4.2 用向量方法研究立体几何中的位置关系 一．选择题（共 4小题） 1．已知空间中直线 l的一个方向向量� → = (1，2，4)，平面α的一个法向量� → = (2，4，8)，则（ ） A．直线 l与平面α平行 B．直线 l在平面α内 C．直线 l与平面α垂直 D．直线 l与平面α不相交 2．空间直角坐标系中，已知点 P（0，3，﹣1），向量� → = (2， − 1，1)，则过点 P且以� → 为法向量的平面 方程为（ ） A．2x﹣y+z＝﹣4 B．x+2y﹣z＝7 C．x﹣y+2z＝﹣5 D．﹣x+2y+z＝5 3．如图，在空间直角坐标系 D﹣xyz中，正四棱柱 ABCD﹣A'B'C'D'的底面边长为 4，高为 2，O为上底面 中心，E，F，G分别为棱 AD、AB、C'D'的中点．若平面 OEF与平面 OBG的交线为 l，则 l的方向向量 可以是（ ） A．（2，1，﹣1） B．（2，﹣1，1） C．（2，1，﹣2） D．（2，﹣1，2） 4．已知平面α⊥平面β，α，β的法向量分别为�1 = (1，2，3)，�2 → = (0，�，2)，则实数 x＝（ ） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 二．多选题（共 2小题） （多选）5．下列给出的命题正确的是（ ） A．若{� → ，� → ，� → }为空间的一组基底，则{� → + � → ，� → + � → ，� → − � → }也是空间的一组基底 B．点 P为平面 ABC上的一点，且�� → = 13 �� → + ��� → + ��� → (�，� ∈ �)，则� + � = 23 C．若直线 l的方向向量为� → = (1，1，0)，平面α的法向量� → = ( − 1，1，1)，则 l∥α D．两个不重合的平面α，β的法向量分别是� → = ( − 1，1，1)，� → = (1，1，0)，则α⊥β 第 2页（共 25页） （多选）6．若平面α，β的法向量分别是�1 → = (3， − 4，2)，�2 → = ( − 2，0，3)，直线 l的方向向量为� → = (2，0， − 3)，直线 m的方向向量为� → = (0，2， − 1)，则（ ） A．α⊥β B．l∥α C．l与 m为相交直线 D．� → 在� → 上的投影向量为(0， 65， − 3 5 ) 三．填空题（共 2小题） 7．已知�1 → =（1，x，2），�2 → =（﹣1，2，3）分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则 x＝ ． 8．已知直线 l的一个方向向量� → = (1，2，�)，平面α的一个法向量� → = ( − 1， − 2，3)，若 l⊥α，则 m ＝ ． 四．解答题（共 2小题） 9．如图，已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 4，M，N，G分别是棱 AA1，BC，A1D1的中点，设 Q 是该正方体表面上的一点，若�� → = ��� → + ��� → (�，� ∈ �)． （1）求点 Q的轨迹围成图形的面积； （2）求�� → ⋅ �� → 的最大值． 10．如图，在平行六面体 ABCD﹣A'B'C'D'中，∠��� = ∠���′ = ∠���′，AB＝AD＝AA'．设�� → = � → ，�� → = � → ， ��′ → = � → ． （1）用基底{� → ，� → ，� → }表示向量��′ → ，�� → ，�′� → ，�′� → ； （2）证明：AC'⊥平面 A'BD． 第 3页（共 25页） 第 4页（共 25页） （学困生篇）2024-2025学年上学期高中数学北师大新版高二同步个性化 分层作业 3.4.2用向量方法研究立体几何中的位置关系 参考答案与试题解析 一．选择题（共 4小题） 1．已知空间中直线 l的一个方向向量� → = (1，2，4)，平面α的一个法向量� → = (2，4，8)，则（ ） A．直线 l与平面α平行 B．直线 l在平面α内 C．直线 l与平面α垂直 D．直线 l与平面α不相交 【考点】空间向量语言表述线面的垂直、平行关系；空间向量的共线与共面；空间向量的数量积判断向 量的共线与垂直；平面的法向量．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算． 【答案】C 【分析】根据题意，分析可得� → ∥ � → ，即可得答案． 【解答】解：根据题意，由于� → = (1，2，4)，� → = (2，4，8)，可得� → = 2� → ， 则有� → ∥ � → ，故� → = (1，2，4)是平面α的一个法向量，故直线 l与平面α垂直， 故选：C． 【点评】本题考查直线与平面的位置关系，涉及平面法向量的定义，属于基础题． 2．空间直角坐标系中，已知点 P（0，3，﹣1），向量� → = (2， − 1，1)，则过点 P且以� → 为法向量的平面 方程为（ ） A．2x﹣y+z＝﹣4 B．x+2y﹣z＝7 C．x﹣y+2z＝﹣5 D．﹣x+2y+z＝5 【考点】空间向量语言表述线面的垂直、平行关系；空间向量及其线性运算；空间向量的共线与共面； 平面的法向量．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算． 【答案】A 【分析】根据题意，设 M（x，y，z）为要求平面上任意一点，求出�� → 的坐标，由平面法向量的定义可 得�� → •� → =2x﹣（y﹣3）+（z+1）＝0，变形可得答案． 【解答】解：根据题意，设 M（x，y，z）为要求平面上任意一点， 第 5页（共 25页） 则�� → =（x，y﹣3，z+1）， 若� → =（2，﹣1，1）为该平面法向量，则有�� → •� → =2x﹣（y﹣3）+（z+1）＝0， 变形可得 2x﹣y+z＝﹣4，即要求的平面方程为 2x﹣y+z＝﹣4． 故选：A． 【点评】本题考查平面的方程，涉及平面的法向量，属于基础题． 3．如图，在空间直角坐标系 D﹣xyz中，正四棱柱 ABCD﹣A'B'C'D'的底面边长为 4，高为 2，O为上底面 中心，E，F，G分别为棱 AD、AB、C'D'的中点．若平面 OEF与平面 OBG的交线为 l，则 l的方向向量 可以是（ ） A．（2，1，﹣1） B．（2，﹣1，1） C．（2，1，﹣2） D．（2，﹣1，2） 【考点】空间向量方法证明线、面的位置关系定理；平面的法向量．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算． 【答案】A 【分析】根据题意，延长 EF、延长 CB，两条棱延长之后交于点 G，易得 G在交线 l上，求出 G的坐 标，向量�� → 为直线的一个方向向量，由此分析选项中向量与�� → 是否共线，即可得答案． 【解答】解：根据题意，延长 EF、延长 CB，两条棱延长之后交于点 G， E、F分别为 AD、AB的中点，易得 BG＝AE＝2， 故 G的坐标为（6，4，0）， G∈BC上，则 G∈平面 OBG， 同理：G∈平面 OEF， 故 G∈直线 l， 而 O∈直线 l， 故向量�� → 为直线的一个方向向量， 而 O（2，2，2），则�� → =（4，2，﹣2）， 第 6页（共 25页） 依次分析选项： 对于 A，（2，1，﹣1）= 12（4，2，﹣2），与向量�� → 共线，可以直线 l的方向向量； 对于 B，（2，﹣1，1）与向量�� → 不共线，不能作为直线 l的方向向量； 对于 C，（2，1，﹣2）与向量�� → 不共线，不能作为直线 l的方向向量； 对于 D，（2，﹣1，2）与向量�� → 不共线，不能作为直线 l的方向向量． 故选：A． 【点评】本题考查空间向量的应用，涉及直线与平面的位置关系，属于基础题． 4．已知平面α⊥平面β，α，β的法向量分别为�1 = (1，2，3)，�2 → = (0，�，2)，则实数 x＝（ ） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【考点】空间向量语言表述面面的垂直、平行关系；平面的法向量．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；综合法；空间向量及应用；立体几何；数学运算． 【答案】B 【分析】根据题意，由平面与平面垂直的判断方法可得�1 → •�2 → =1×0+2x+6＝0，解可得 x的值，即可得 答案． 【解答】解：根据题意，α，β的法向量分别为�1 = (1，2，3)，�2 → = (0，�，2)， 且平面α⊥平面β，则有�1 → •�2 → =1×0+2x+6＝0，解可得 x＝﹣3． 故选：B． 【点评】本题考查平面的法向量，涉及平面与平面垂直的判断，属于基础题． 二．多选题（共 2小题） （多选）5．下列给出的命题正确的是（ ） A．若{� → ，� → ，� → }为空间的一组基底，则{� → + � → ，� → + � → ，� → − � → }也是空间的一组基底 第 7页（共 25页） B．点 P为平面 ABC上的一点，且�� → = 13 �� → + ��� → + ��� → (�，� ∈ �)，则� + � = 23 C．若直线 l的方向向量为� → = (1，1，0)，平面α的法向量� → = ( − 1，1，1)，则 l∥α D．两个不重合的平面α，β的法向量分别是� → = ( − 1，1，1)，� → = (1，1，0)，则α⊥β 【考点】空间向量语言表述线面的垂直、平行关系；空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面的 法向量．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何；数学运算． 【答案】BD 【分析】根据题意，由空间向量基本定理分析 A、B，由平面法向量的定义分析 C、D，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，若{� → ，� → ，� → }为空间的一组基底，则向量� → 、� → 、� → 不共线， 而（� → + � → ）﹣（� → + � → ）= � → − � → ，则� → + � → 、� → + � → 、� → − � → 共面，不能作为空间向量的基底，A错误； 对于 B，点 P为平面 ABC上的一点，且�� → = 13 �� → + ��� → + ��� → (�，� ∈ �)，由空间向量基本定理的推 论，则有 1 3 +x+y＝1，变形可得 x+y= 23，B正确； 对于 C，由于� → •� → =−1+1+0＝0，则� → ⊥� → ，则有 l∥α或 l⊂α，C错误； 对于 D，由于� → •� → =−1+1+0＝0，则� → ⊥� → ，必有α⊥β，D正确． 故选：BD． 【点评】本题考查空间向量的应用，涉及空间向量基本定理，属于基础题． （多选）6．若平面α，β的法向量分别是�1 → = (3， − 4，2)，�2 → = ( − 2，0，3)，直线 l的方向向量为� → = (2，0， − 3)，直线 m的方向向量为� → = (0，2， − 1)，则（ ） A．α⊥β B．l∥α C．l与 m为相交直线 D．� → 在� → 上的投影向量为(0， 65， − 3 5 ) 【考点】空间向量语言表述线面的垂直、平行关系；空间向量语言表述面面的垂直、平行关系；空间向 量的数量积判断向量的共线与垂直；空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程；平面的法向量．菁 优网版权所有 第 8页（共 25页） 【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算． 【答案】AD 【分析】根据题意，由平面与平面垂直的判断方法分析 A，由直线与平面的位置关系分析 B，由向量平 行的方法分析 C，由投影向量公式分析 D，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，平面α，β的法向量分别是�1 → = (3， − 4，2)，�2 → = ( − 2，0，3)， 由于�1 → ⋅ �2 → = 0，则有α⊥β，故 A正确； 对于 B，� → ⋅ �1 → = 0，则 l∥α或 l⊂α，故 B错误； 对于 C，设� → = �� → ， 2 = � × 0 0 = 2� −3 =− � ，此方程组无解，则 l与� → 为相交直线或异面直线，故 C错误； 对于 D，� → 在� → 上的投影向量为 � → ⋅� → |� → |2 ⋅ � → = 3 5 × (0，2， − 1) = (0， 6 5 ， − 3 5 )，故 D正确． 故选：AD． 【点评】本题考查空间向量的应用，涉及直线与平面平行、垂直的判断方法，属于基础题． 三．填空题（共 2小题） 7．已知�1 → =（1，x，2），�2 → =（﹣1，2，3）分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则 x＝ − 52 ． 【考点】空间向量语言表述面面的垂直、平行关系；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直；平面的 法向量．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；综合法；空间向量及应用；数学运算． 【答案】− 52． 【分析】根据题意，由平面法向量的定义可得� → ⊥ �2 → ，进而由向量数量积的计算公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，�1 → =（1，x，2），�2 → =（﹣1，2，3）分别是平面α，β的法向量， 因为α⊥β，所以�1 → ⊥�2 → ，所以�1 → ⋅ �2 → = 1 × ( − 1) + � × 2 + 2 × 3 = 0，解得 x=− 52． 故答案为：− 52． 【点评】本题考查平面垂直的判断，涉及平面向量的法向量，属于基础题． 8．已知直线 l的一个方向向量� → = (1，2，�)，平面α的一个法向量� → = ( − 1， − 2，3)，若 l⊥α，则 m 第 9页（共 25页） ＝ ﹣3 ． 【考点】空间向量语言表述线面的垂直、平行关系；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直；平面的 法向量．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间向量及应用；数学运算． 【答案】﹣3． 【分析】根据题意，根据线面垂直列方程，化简求得 m的值即可得答案． 【解答】解：根据题意，由 l⊥α，可知� → ∥� → ，则有 1 −1 = 2 −2 = � 3 ，解得 m＝﹣3． 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查平面的法向量，涉及直线与平面垂直的判断，属于基础题． 四．解答题（共 2小题） 9．如图，已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为 4，M，N，G分别是棱 AA1，BC，A1D1的中点，设 Q 是该正方体表面上的一点，若�� → = ��� → + ��� → (�，� ∈ �)． （1）求点 Q的轨迹围成图形的面积； （2）求�� → ⋅ �� → 的最大值． 【考点】空间向量方法证明线、面的位置关系定理；空间向量的数量积运算．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；立体几何；数学运算． 【答案】（1）12 3； （2）12． 【分析】（1）根据线线平行得四点共面，进而可得 Q的轨迹是正六边形，根据三角形的面积公式即可 求解， （2）根据数量积的几何意义即可结合图形求解最值． 【解答】解：（1）根据题意，因为�� → = ��� → + ��� → (�，� ∈ �)， 由平面向量基本定理，则点 Q在平面 MGN上， 第 10页（共 25页） 如图，分别取 AB，CC1，C1D1的中点 E，F，O， 连接 OG，OF，FN，EN，AD1，OE，NG， 因为 M，G分别为 AA1，A1D1的中点，故 MG∥AD1， 又由正方体 ABCD﹣A1B1C1D1可得�1� = 1 2�1�1，�� = 1 2��，D1C1∥AB，D1C1＝AB， 故 M，G，O，N，E五点共面，同理可证 G，O，N，F四点共面， 故六点共面，由正方体的对称性可得六边形 为正六边形． 故点 Q的轨迹是正六边形 OFNEMG， 所以点 Q的轨迹围成图形的面积是� = 6 × 12 × 2 2 × 2 2 × ���60° = 12 3． （2）如图，根据向量数量积的几何意义可得 故�� → ⋅ �� → = |�� → | × |�� → |���∠��� = 2 2 × |�� → |���∠��� ≤ 2 2 × |�� → |���30° = 2 2 × 2 6 ⋅ ���30° = 12， ∴�� → ⋅ �� → 的最大值为 12． 【点评】本题考查空间向量的应用，涉及平面向量基本定理的应用，属于中档题． 10．如图，在平行六面体 ABCD﹣A'B'C'D'中，∠��� = ∠���′ = ∠���′，AB＝AD＝AA'．设�� → = � → ，�� → = � → ， ��′ → = � → ． （1）用基底{� → ，� → ，� → }表示向量��′ → ，�� → ，�′� → ，�′� → ； （2）证明：AC'⊥平面 A'BD． 第 11页（共 25页） 【考点】空间向量语言表述线面的垂直、平行关系；平面向量的基本定理；直线与平面垂直；空间向量 基本定理、正交分解及坐标表示．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间向量及应用；立体几何；数学运算． 【答案】（1）��′ → = � → + � → + � → ，�� → = � → − � → ，�′� → = � → − � → ，�′� → = � → − � → ， （2）证明见解析． 【分析】（1）根据题意，由空间向量基本定理分析可得结论， （2）根据题意，设∠��� = ∠���′ = ∠���′ =θ，AB＝AD＝AA'＝t，由空间向量数量积的计算公式分 析可得 AC′⊥BD且 AC′⊥A′D，由线面垂直的判定定理可得答案． 【解答】解：（1）根据题意，�� → = � → ，�� → = � → ，��′ → = � → ， �� → = �� → − �� → = � → − � → ，�′� → = �� → − ��′ → = � → − � → ，�′� → = �� → − ��′ → = � → − � → ， ��′ → = �� → + �� → + ��′ → = � → + � → + � → ； （2）证明：设∠��� = ∠���′ = ∠���′ =θ，AB＝AD＝AA'＝t， 则有� → •� → = � → •� → = � → •� → =t2cosθ，|� → |＝|� → |＝|� → |＝t2， 由（1）的结论，��′ → = � → + � → + � → ，�� → = � → − � → ，�′� → = � → − � → ， 则��′ → •�� → =（� → + � → + � → ）•（� → − � → ）= � → •� → + � → 2+ � → •� → − � →2− � → •� → − � → • � → =0，则有 AC′⊥BD， 同理：AC′⊥A′D， 又由 BD∩A′D＝D， 必有 AC'⊥平面 A'BD． 【点评】本题考查空间向量的应用，涉及空间向量的线性运算，属于基础题． 第 12页（共 25页） 考点卡片 1．平面向量的基本定理 【知识点的认识】 1、平面向量基本定理内容： 如果 e1、e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一� → ，有且仅有一对实数λ1、λ2，使� → = �1�1 → + �2�2 → ． 2、基底：不共线的 e1、e2叫做平面内表示所有向量的一组基底． 3、说明： （1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行． （2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一． 2．直线与平面垂直 【知识点的认识】 直线与平面垂直： 如果一条直线 l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线 l和平面α互相垂直，记作 l⊥α，其 中 l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线 l的垂面． 直线与平面垂直的判定： （1）定义法：对于直线 l和平面α，l⊥α⇔l垂直于α内的任一条直线． （2）判定定理 1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面． （3）判定定理 2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面． 直线与平面垂直的性质： ①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α⇒a∥b ②由定义可知：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b． 3．空间向量及其线性运算 【知识点的认识】 1．空间向量：在空间内，我们把具有大小和方向的量叫做向量，用有向线段表示． 2．向量的模：向量的大小叫向量的长度或模．记为|�� → |，|� → | 特别地： 第 13页（共 25页） ①规定长度为 0的向量为零向量，记作0 → ； ②模为 1的向量叫做单位向量； 3．相等的向量：两个模相等且方向相同的向量称为相等的向量． 4．负向量：两个模相等且方向相反的向量是互为负向量．如� → 的相反向量记为− � → ． 5．平行的向量：两个方向相同或相反的向量称为平行的向量． 6．注意： ①零向量的方向是任意的，规定0 → 与任何向量平行； ②单位向量不一定相等，但单位向量的模一定相等且为 1； ③方向相同且模相等的向量称为相等向量，因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向 量； ④空间任意两个向量都可以通过平移成为共面向量； ⑤一般来说，向量不能比较大小． 1．加减法的定义： 空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法． 空间向量和平面向量一样满足三角形法则和平行四边形法则． 2．加法运算律： 空间向量的加法满足交换律及结合律． （1）交换律：� → + � → = � → + � → （2）结合律：(� → + � → ) + � → = � → + (� → + � → )． 3．推广： （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量： 第 14页（共 25页） �1�2 → + �2�3 → + �3�4 → +⋯ + ��−1�� → = �1�� → （求空间若干向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量） （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为：零向量 �1�2 → + �2�3 → + �3�4 → +⋯ + ���1 → = 0 → ． 1．空间向量的数乘运算 实数λ与空间向量� → 的乘积�� → 仍是一个向量，称为向量的数乘运算． ①当λ＞0时，�� → 与� → 的方向相同； ②当λ＜0时，�� → 与� → 的方向相反； ③当λ＝0时，�� → = 0 → ． ④|λ� → |＝|λ|•|� → | �� → 的长度是� → 的长度的|λ|倍． 2．运算律 空间向量的数乘满足分配律及结合律． （1）分配律：①�(� → + � → ) = �� → + �� → ②（λ+μ）� → = �� → + �� → （2）结合律：�(�� → ) = (��)� → 注意：实数和空间向量可以进行数乘运算，但不能进行加减运算，如� ± � → 等无法计算． 4．空间向量的共线与共面 第 15页（共 25页） 【知识点的认识】 1．定义 （1）共线向量 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向 量或平行向量，记作� → ∥ � → ．0 → 与任意向量是共线向量． （2）共面向量 平行于同一平面的向量叫做共面向量． 2．定理 （1）共线向量定理 对于空间任意两个向量� → 、� → （� → ≠ 0），� → ∥ � → 的充要条件是存在实数λ，使得� → = �� → ． （2）共面向量定理 如果两个向量� → 、� → 不共线，则向量� → 与向量� → 、� → 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（x，y），使 得� → = �� → + �� → ． 【解题方法点拨】 空间向量共线问题： （1）判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使� → = �� → 成立，或充分利用空间向量的运算法则， 结合具体图形，通过化简、计算得出� → = �� → ，从而� → ∥ � → ． （2）� → ∥ � → 表示� → 与� → 所在的直线平行或重合两种情况． 空间向量共面问题： （1）利用向量法证明点共面、线共面问题，关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件， 解题过程中注意直线与向量的相互转化． （2）空间一点 P位于平面 MAB内的充要条件是存在有序实数对（x，y），使�� → = ��� → + ��� → ．满足这 个关系式的点 P都在平面 MAB内，反之，平面 MAB内的任一点 P都满足这个关系式．这个充要条件常用 以证明四点共面． 证明三个向量共面的常用方法： （1）设法证明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合； （2）寻找平面α，证明这些向量与平面α平行． 第 16页（共 25页） 【命题方向】 1，考查空间向量共线问题 例：若� → =（2x，1，3），� → =（1，﹣2y，9），如果� → 与� → 为共线向量，则（ ） A．x＝1，y＝1 B．x= 12，y=− 1 2 C．x= 1 6，y=− 3 2 D．x=− 1 6，y= 3 2 分析：利用共线向量的条件� → = �� → ，推出比例关系求出 x，y的值． 解答：∵� → =（2x，1，3）与� → =（1，﹣2y，9）共线， 故有 2� 1 = 1 −2� = 3 9 ． ∴x= 16，y=− 3 2． 故选 C． 点评：本题考查共线向量的知识，考查学生计算能力，是基础题． 2．考查空间向量共面问题 例：已知 A、B、C三点不共线，O是平面 ABC外的任一点，下列条件中能确定点 M与点 A、B、C一定 共面的是（ ） A．�� → = �� → + �� → + �� → B．�� → = 2�� → − �� → − �� → C．�� → = �� → + 12 �� → + 13 �� → D．�� → = 13 �� → + 1 3 �� → + 13 �� → 分析：根据共面向量定理�� → = � ⋅ �� → + � ⋅ �� → + � ⋅ �� → ，�+ � + � = 1，说明 M、A、B、C共面，判断 选项的正误． 解答：由共面向量定理�� → = � ⋅ �� → + � ⋅ �� → + � ⋅ �� → ，�+ � + � = 1， 说明 M、A、B、C共面， 可以判断 A、B、C都是错误的， 则 D正确． 故选 D． 点评：本题考查共线向量与共面向量，考查学生应用基础知识的能力．是基础题． 5．空间向量的数量积运算 【知识点的认识】 1．空间向量的夹角 第 17页（共 25页） 已知两个非零向量� → 、� → ，在空间中任取一点 O，作�� → = � → ，�� → = � → ，则∠AOB叫做向量� → 与� → 的夹角， 记作＜� → ，� → ＞． 2．空间向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量� → 、� → ，则|� → ||� → |cos＜� → ，� → ＞叫做向量� → 与� → 的数量积，记作� → •� → ，即� → • � → =|� → ||� → |cos＜� → ，� → ＞ （2）几何意义：� → 与� → 的数量积等于� → 的长度|� → |与� → 在� → 的方向上的投影|� → |cosθ的乘积，或� → 的长度|� → |与 � → 在� → 的方向上的投影|� → |cosθ的乘积． 3．空间向量的数量积运算律 空间向量的数量积满足交换律和分配律． （1）交换律：(�� → ) ⋅ � → =λ（� → ⋅ � → ）= � → •（�� → ） � → ⋅ � → = � → ⋅ � → （2）分配律：� → ⋅ (� → + � → ) = � → ⋅ � → + � → ⋅ � → ． 4．数量积的理解 （1）书写向量的数量积时，只能用符号� → ⋅ � → ，而不能用符号� → × � → ，也不能用� → � → （2）两向量的数量积，其结果是个实数，而不是向量，它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦值的乘 积，其符号由夹角的余弦值决定． （3）当� → ≠ 0 → 时，由� → ⋅ � → =0不能推出� → 一定是零向量，这是因为任一个与� → 垂直的非零向量� → ，都有� → ⋅ � → = 0 【解题方法点拨】 利用数量积求直线夹角或余弦值的方法： 第 18页（共 25页） 利用数量积求两点间的距离： 利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的 向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模， 利用公式|� → |= � → ⋅ � → 求解即可．特别注意准确求解已知两向量之间的夹角大小． 利用数量积证明垂直关系： （1）向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断� → ⊥ � → 时，须指明� → ≠ 0 → ，� → ≠ 0 → ； （2）证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量� → ， � → ，� → 的线性形式，然后利用数量积说明两直线的方向向量垂直，进而转化为直线垂直． 【命题方向】 求直线夹角或余弦值、两点间的距离、证明垂直关系等问题最基本的是掌握数量积运算法则的应用，任何 有关数量积计算问题都离不开运算律的运用． 例：已知 2� → + � → =（2，﹣4，1），且� → =（0，2，﹣1），则� → •� → = ﹣7 分析：通过 2� → + � → =（2，﹣4，1），且� → =（0，2，﹣1），求出向量� → 的坐标，然后进行向量的数量积的坐 标运算． 解答：∵2� → + � → =（2，﹣4，1），且� → =（0，2，﹣1）， ∴� → =（1，﹣3，1）， ∴� → •� → =1×0+2×（﹣3）+1×（﹣1）＝﹣7； 第 19页（共 25页） 故答案为：﹣7． 点评：本题考查了空间向量的数量积的坐标运算，属于基础题． 6．空间向量基本定理、正交分解及坐标表示 【知识点的认识】 1．空间向量基本定理 如果三个向量� → ，� → ，� → 不共面，那么对空间任一向量� → ，存在一个唯一的有序实数组 x，y，z，使� → =x� → +y� → +z� → ． 任意不共面的三个向量都可作为空间的一个基底，� → ，� → ，� → 都叫做基向量． 2．单位正交基底 如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为 1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{�1 → ， �2 → ，�3 → }表示． 3．空间直角坐标系 在空间选定一点 O和一个单位正交基底{�1 → ，�2 → ，�3 → }，以点 O为原点，分别以�1 → ，�2 → ，�3 → 的正方向建 立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这样就建立了一个空间直角坐标系 O﹣xyz． 其中，点 O叫做原点，向量�1 → ，�2 → ，�3 → 都叫做坐标向量．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面． 4．空间向量的坐标表示 对于空间任意一个向量� → ，一定可以把它平移，使它的起点与原点 O重合，得到向量�� → = � → ，由空间 向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得� → = ��1 → + ��2 → + ��3 → ．把 x，y，z称作向量� → 在单位正 交基底�1 → ，�2 → ，�3 → 下的坐标，记作� → =（x，y，z）． 【解题方法点拨】 1．基底的判断 判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合 共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断．假设不能作为一个基底，看是否存在一对实数λ、μ 使得� → + � → = �(� → + � → ) + �(� → + � → )，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立． 2．空间向量的坐标表示 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为： （1）观察图形：充分观察图形特征； 第 20页（共 25页） （2）建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系； （3）进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算； （4）确定结果：将所求向量用已知的基向量表示出来． 3．用基底表示向量 用基底表示向量时， （1）若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律 进行． （2）若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是 看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 7．空间向量的数量积判断向量的共线与垂直 【知识点的认识】 一、空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量（平行向 量） 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合． 共面向量 平行于同一平面的向量． 共线向量定理 对空间任意两个向量� → ，� → （� → ≠0），� → ∥� → ⇔存在λ∈R，使� → =λ� → ． 共面向量定理 若两个向量� → ，� → 不共线，则向量� → 与向量� → ，b共面⇔存在唯一的有序实数对 （x，y），使� → =x� → +y� → ． 空间向量基本定 理 （1）定理：如果三个向量� → 、� → 、c不共面，那么对空间任一向量� → ，存在有 序实数组{x，y，z}使得� → =x� → +y� → +z� → ． （2）推论：设 O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点 P都存在唯一 的三个有序实数 x、y、z使＝x+y+z 且 x+y+z＝1． 二、数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 （1）� → •� → ＝|� → ||� → |cos＜� → ，� → ＞； （2）� → ⊥� → ⇔� → •� → =0（� → ，� → 为非零向量）； 第 21页（共 25页） （3）|� → |2= � →2，|� → |= �2 + �2 + �2． 2．向量的坐标运算 � → =（a1，a2，a3），� → =（b1，b2，b3） 向量和 � → + � → =（a1+b1，a2+b2，a3+b3） 向量差 � → − � → =（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3） 数量积 � → •� → =a1b1+a2b2+a3b3 共线 � → ∥� → ⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R） 垂直 � → ⊥� → ⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0 夹角 公式 cos＜� → ，� → ＞ = 8．空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程 【知识点的认识】 1、直线的方向向量： 空间中任意一条直线 l的位置可以由 l上一个定点 A以及一个定方向确定．直线 l上的向量� → 以及与� → 共线 的向量叫做直线 l的方向向量．注意： ①一条直线 l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行． ②直线 l的方向向量也是所有与 l平行的直线的方向向量． 2、方向向量的求法：可根据直线 l上的任意两点的坐标写出直线 l的一个方向向量． 3、平面的法向量： 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方 向”．如果表示向量� → 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作� → ⊥α，如果� → ⊥α， 那么向量� → 叫做平面α的法向量．注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行； 第 22页（共 25页） ③向量� → 是平面的法向量，向量� → 是与平面平行或在平面内，则有� → •� → =0． ④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量． 4、法向量的求法： （1）设：设出平面法向量的坐标为� → =（u，v，w）； （2）列：根据� → ⋅ � → =0，� → ⋅ � → =0，列出方程组； （3）解：把 u（或 v或 w）看作常数，用 u（或 v或 w）表示另外两个量 （4）取：取 u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量� → 的坐标． 1、空间直线的点向式方程或标准方程： 设直线 L过点 M0（x0，y0，z0），� → =（m，n，p）是直线 L的方向向量．设 M（x，y，z）是直线 L上任 意一点，则�0� → =（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且�0� → ∥� → ．由两向量平行的充要条件可知 �−�0 � = �−�0 � = �−�0 � 改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当 m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为 零）． 若直线 L的方程为 �−�0 � = �−�0 � = �−�0 � ，平面π的方程为 Ax+By+Cz+D＝0，则直线 L与平面π平行的充要 条件是 mA+nB+pC＝0；直线 L与平面π垂直得充要条件是 � � = � � = � � 2、空间直线的参数方程： 在直线方程 �−�0 � = �−�0 � = �−�0 � 中，记其比值为 t，则有 � = �0 +�� � = �0 + �� � = �0 + �� （※） 这样，空间直线上动点 M的坐标 x、y、z就都表达为变量 t的函数．当 t取遍所有实数值时，由所确定的 点 M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数． 9．平面的法向量 【知识点的认识】 1、直线的方向向量： 第 23页（共 25页） 空间中任意一条直线 l的位置可以由 l上一个定点 A以及一个定方向确定．直线 l上的向量� → 以及与� → 共线 的向量叫做直线 l的方向向量．注意： ①一条直线 l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行． ②直线 l的方向向量也是所有与 l平行的直线的方向向量． 2、方向向量的求法：可根据直线 l上的任意两点的坐标写出直线 l的一个方向向量． 3、平面的法向量： 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方 向”．如果表示向量� → 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作� → ⊥α，如果� → ⊥α， 那么向量� → 叫做平面α的法向量．注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行； ③向量� → 是平面的法向量，向量� → 是与平面平行或在平面内，则有� → •� → =0． ④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量． 4、法向量的求法： （1）设：设出平面法向量的坐标为� → =（u，v，w）； （2）列：根据� → ⋅ � → =0，� → ⋅ � → =0，列出方程组； （3）解：把 u（或 v或 w）看作常数，用 u（或 v或 w）表示另外两个量 （4）取：取 u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量� → 的坐标． 10．空间向量语言表述线面的垂直、平行关系 【知识点的认识】 1．直线与平面平行 （1）已知两个非零向量�1 → 和�2 → 与α共面，直线 l的一个方向向量为� → ，则由共面向量定理可以得： l∥α或 l在α内⇔存在两个有序实数（x，y）使� → = ��1 → + ��2 → （2）由共面向量定理还可以得，如果 A，B，C三点不共线，则点 M在平面 ABC内的充要条件是，存在 一对有序实数（x，y）使向量表达式�� → = ��� → + ��� → 成立． 2．线面垂直： 第 24页（共 25页） （1）设直线 l的方向向量为� → ，平面α的法向量为� → ，则 l⊥α⇔� → ∥� → ⇔� → =k� → ； （2）由线面垂直的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内两个不共线向量垂直． 11．空间向量语言表述面面的垂直、平行关系 【知识点的认识】 1、平面与平面平行 设平面α、β的法向量分别为�1 → 、�2 → ，则：α∥β或α与β重合⇔�1 → ∥�2 → ⇔存在实数 t，使�1 → =t�2 → ． 2、面面垂直： （1）证明两个平面的法向量垂直，即两个平面的法向量� → ⊥� → ⇔� → •� → =0； （2）由面面垂直的判定定理可知：只要证明一个平面内的一条直线的方向向量和一个平面内的两条相交 直线的方向向量垂直． 12．空间向量方法证明线、面的位置关系定理 【知识点的认识】 空间点、直线、平面的位置关系： 1、平面的基本性质 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内． 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线． 2、直线与直线的位置关系 （1）位置关系的分类 （2）异面直线所成的角 ①定义：设 a ， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a ′∥ a ， b ′∥ b ，把 a ′与 b ′所成的锐角（或直角）叫做异面直线 a ， b 所成的角（或夹角）． ②范围：（0， � 2 ]． 3、直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况． 4、平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况． 5、公理 4 第 25页（共 25页） 平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6、定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． 【解题方法点拨】 1、主要题型的解题方法 （1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平 面内（即“纳入法”）． （2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公 理 3可知这些点在交线上，因此共线． 2、判定空间两条直线是异面直线的方法 （1）判定定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过该点 B 的直线是异面直线． （2）反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面． 3、求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根 据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线 面的端点或中点）利用三角形求解． 4、注意事项： （1）全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型． （2）异面直线所成的角范围是（0°，90°]． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2024/7/23 0:23:38；用户：组卷 38；邮箱：zyb038@xyh.com；学号： 41419001