3.4.1直线的方向向量与平面的法向量同步个性化分层作业-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第 1页（共 16页） 2024-2025学年上学期高中数学北师大新版高二同步个性化分层作业 3.4.1 直线的方向向量与平面的法向量 一．选择题（共 5小题） 1．已知一直线经过点 A（2，3，2），B（﹣1，0，﹣1），下列向量中是该直线的方向向量的为（ ） A．� → = ( − 1，1，1) B．� → = (1， − 1，1) C．� → = (1，1， − 1) D．� → = (1，1，1) 2．若直线 l的方向向量为（2，1，m），平面α的法向量为（1， 1 2 ，2），且 l⊥α，则 m＝（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知直线 l的方向向量是� → = (3，2，1)，平面α的法向量是� → = ( − 1，2， − 1)，则 l与α的位置关系是 （ ） A．l⊥α B．l∥α C．l∥α或 l⊂α D．l与α相交但不垂直 4．设 m为实数，若直线 l垂直于平面α，且 l的方向向量为（m，2，4），平面α的法向量为（2，4，8）， 则 m的值为（ ） A．1 B．2 C．﹣20 D．﹣10 5．已知经过点（3，1）的直线 l的一个方向向量为（3，2），则 l的方程为（ ） A．3x+2y﹣11＝0 B．2x﹣3y﹣3＝0 C．2x+3y﹣9＝0 D．3x﹣2y﹣7＝0 二．多选题（共 2小题） （多选）6．已知�1 → ，�2 → 分别为直线 l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），�1 → ，�2 → 分别为平面α，β的法向量（α， β不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A．�1 → ∥�2 → ⇔l1⊥l2 B．�1 → ⊥�2 → ⇔l1⊥l2 C．�1 → ∥�2 → ⇔α⊥β D．�1 → ⊥�2 → ⇔α⊥β （多选）7．设直线 l1，l2的方向向量分别为�1 → ，�2 → ，平面α，β的法向量分别为�1 → ，�2 → ，则下列命题正确的 是（ ） A．若 l1⊥l2，则�1 → ⋅ �2 → = 0 第 2页（共 16页） B．若 l1⊥α，则�1 → ⋅ �1 → = 0 C．若α∥β，则∃λ∈R，使得�1 → = ��2 → D．若α⊥β，则�1 → ⊥ �2 → 三．填空题（共 2小题） 8．已知点 M（1，﹣2，0），N（2，2，1）在直线 l上，写出直线 l的一个方向向量� → = ． 9．直线 3x﹣4y+3＝0的一个方向向量是 ． 四．解答题（共 1小题） 10．如图，已知平面α内有 A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，7）三点，求平面α的法向量． 第 3页（共 16页） （学困生篇）2024-2025学年上学期高中数学北师大新版高二同步个性化 分层作业 3.4.1直线的方向向量与平面的法向量 参考答案与试题解析 一．选择题（共 5小题） 1．已知一直线经过点 A（2，3，2），B（﹣1，0，﹣1），下列向量中是该直线的方向向量的为（ ） A．� → = ( − 1，1，1) B．� → = (1， − 1，1) C．� → = (1，1， − 1) D．� → = (1，1，1) 【考点】空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合方向向量的定义，即可求解． 【解答】解：A（2，3，2），B（﹣1，0，﹣1）， 则�� → = ( − 3， − 3， − 3)， �� → =− 3� → ， 则选项中是该直线的方向向量的为 D． 故选：D． 【点评】本题主要考查方向向量的定义，属于基础题． 2．若直线 l的方向向量为（2，1，m），平面α的法向量为（1， 1 2 ，2），且 l⊥α，则 m＝（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】平面的法向量．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用；数学运算． 【答案】C 【分析】由 l⊥α，得 l的方向向量为（2，1，m）与平面α的法向量为（1， 1 2 ，2）平行，列出方程组， 能求出 m的值． 【解答】解：∵直线 l的方向向量为（2，1，m）， 平面α的法向量为（1， 1 2 ，2），且 l⊥α， 第 4页（共 16页） ∴l的方向向量为（2，1，m）与平面α的法向量为（1， 1 2 ，2）平行， ∴（2，1，m）＝λ（1， 1 2 ，2）． ∴ 2 = � 1 = 12 � � = 2� ，解得 m＝4． 故选：C． 【点评】本题考查实数值的求法，线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3．已知直线 l的方向向量是� → = (3，2，1)，平面α的法向量是� → = ( − 1，2， − 1)，则 l与α的位置关系是 （ ） A．l⊥α B．l∥α C．l∥α或 l⊂α D．l与α相交但不垂直 【考点】平面的法向量；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间直线的方向向量、空间直线的 向量参数方程．菁优网版权所有 【专题】转化思想；定义法；空间向量及应用；逻辑推理． 【答案】C 【分析】利用向量垂直的坐标表示，得到� → ⊥ � → ，由此可得答案． 【解答】解：因为直线 l的方向向量是� → = (3，2，1)，平面α的法向量是� → = ( − 1，2， − 1)， 则� → ⋅ � → =− 3 + 4 − 1 = 0， 所以� → ⊥ � → ， 则 l∥α或 l⊂α． 故选：C． 【点评】本题考查了空间向量数量积的坐标表示以及空间向量垂直的充要条件的应用，利用空间向量的 位置关系判断线面位置关系的应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 4．设 m为实数，若直线 l垂直于平面α，且 l的方向向量为（m，2，4），平面α的法向量为（2，4，8）， 则 m的值为（ ） A．1 B．2 C．﹣20 D．﹣10 【考点】平面的法向量．菁优网版权所有 【专题】方程思想；定义法；空间向量及应用；数学运算． 第 5页（共 16页） 【答案】A 【分析】利用直线的方向向量、平面的法向量、线面垂直的性质求解． 【解答】解：设 m为实数，若直线 l垂直于平面α，且 l的方向向量为（m，2，4）， 平面α的法向量为（2，4，8）， 则 � 2 = 2 4 = 4 8 ， 解得 m＝1． 故选：A． 【点评】本题考查直线的方向向量、平面的法向量、线面垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力， 是基础题． 5．已知经过点（3，1）的直线 l的一个方向向量为（3，2），则 l的方程为（ ） A．3x+2y﹣11＝0 B．2x﹣3y﹣3＝0 C．2x+3y﹣9＝0 D．3x﹣2y﹣7＝0 【考点】空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程；直线的点斜式方程．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算． 【答案】B 【分析】先求出直线 l的斜率，再结合直线的点斜式方程，即可求解． 【解答】解：直线 l的一个方向向量为（3，2）， 则直线 l的斜率为 2 3 ， 直线 l过点（3，1）， 则直线 l的方程为 y﹣1= 23 (� − 3)，即 2x﹣3y﹣3＝0． 故选：B． 【点评】本题主要考查方向向量的应用，属于基础题． 二．多选题（共 2小题） （多选）6．已知�1 → ，�2 → 分别为直线 l1，l2的方向向量（l1，l2不重合），�1 → ，�2 → 分别为平面α，β的法向量（α， β不重合），则下列说法中，正确的是（ ） A．�1 → ∥�2 → ⇔l1⊥l2 B．�1 → ⊥�2 → ⇔l1⊥l2 C．�1 → ∥�2 → ⇔α⊥β D．�1 → ⊥�2 → ⇔α⊥β 【考点】平面的法向量．菁优网版权所有 第 6页（共 16页） 【专题】转化思想；定义法；空间向量及应用；逻辑推理． 【答案】BD 【分析】利用直线的方向向量与平面法向量的含义逐一分析判断即可． 【解答】解：因为�1 → ，�2 → 分别为直线 l1，l2的方向向量（l1，l2不重合）， 则�1 → ∥�2 → ⇔l1∥l2，故选项 A错误； 则�1 → ⊥�2 → ⇔l1⊥l2，故选项 B正确； 因为�1 → ，�2 → 分别为平面α，β的法向量（α，β不重合）， 则�1 → ∥�2 → ⇔α∥β，故选项 C错误； 则�1 → ⊥�2 → ⇔α⊥β，故选项 D正确． 故选：BD． 【点评】本题考查了直线的方向向量与平面法向量的理解与应用，考查了逻辑推理能力，属于基础题． （多选）7．设直线 l1，l2的方向向量分别为�1 → ，�2 → ，平面α，β的法向量分别为�1 → ，�2 → ，则下列命题正确的 是（ ） A．若 l1⊥l2，则�1 → ⋅ �2 → = 0 B．若 l1⊥α，则�1 → ⋅ �1 → = 0 C．若α∥β，则∃λ∈R，使得�1 → = ��2 → D．若α⊥β，则�1 → ⊥ �2 → 【考点】平面的法向量；命题的真假判断与应用；平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有 【专题】转化思想；定义法；空间向量及应用；逻辑推理． 【答案】ACD 【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可得直线的方向向量及法向量间的关系． 【解答】解：对于 A，若 l1⊥l2，则�1 → ⊥ �2 → ，所以�1 → ⋅ �2 → = 0，选项 A正确； 对于 B，若 l1⊥α，则�1 → ∥�1 → ，选项 B错误； 对于 C，若α∥β，则�1 → ∥�2 → ， 所以∃λ∈R，使得�1 → = ��2 → ，选项 C正确； 第 7页（共 16页） 对于 D，若α⊥β，则�1 → ⊥ �2 → ，选项 D正确． 故选：ACD． 【点评】本题考查了空间向量的应用问题，也考查了线线，线面，面面的位置关系，是基础题． 三．填空题（共 2小题） 8．已知点 M（1，﹣2，0），N（2，2，1）在直线 l上，写出直线 l的一个方向向量� → = （1，4，1） ． 【考点】空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程．菁优网版权所有 【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；数学运算． 【答案】（1，4，1）． 【分析】根据直线的方向向量的概念即可求解． 【解答】解：∵点 M（1，﹣2，0），N（2，2，1）在直线 l上， ∴直线 l的一个方向向量� → = �� → = (1，4，1)， 故答案为：（1，4，1）． 【点评】本题考查直线的方向向量的概念，属基础题． 9．直线 3x﹣4y+3＝0的一个方向向量是 (1， 34 )（答案不唯一） ． 【考点】空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程；直线的斜率．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算． 【答案】(1， 34 )（答案不唯一）． 【分析】根据已知条件，先求出直线的斜率，再结合方向向量的定义，即可求解． 【解答】解：直线 3x﹣4y+3＝0， 则 y= 34 � + 3 4， 故直线的一个方向向量是（1， 3 4 ）． 故答案为：(1， 34 )（答案不唯一）． 【点评】本题主要考查方向向量的定义，属于基础题． 四．解答题（共 1小题） 10．如图，已知平面α内有 A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，7）三点，求平面α的法向量． 第 8页（共 16页） 【考点】平面的法向量．菁优网版权所有 【专题】方程思想；向量法；空间位置关系与距离；数学运算． 【答案】� → = (3，2， − 2)（答案不唯一）． 【分析】求出�� → ，�� → 的坐标，再由平面法向量的概念即可求得． 【解答】解：因为 A（2，3，1），B（4，1，2），C（6，3，7）， 所以�� → = (2， − 2，1)，�� → = (4，0，6)， 设平面α的法向量为� → = (�，�，�)， 所以 � → ⋅ �� → = 2� − 2� + � = 0 � → ⋅ �� → = 4� + 6� = 0 ， 令 x＝3，得 y＝2，z＝﹣2， 所以� → = (3，2， − 2)， 所以平面α的一个法向量为� → = (3，2， − 2)（答案不唯一）． 【点评】本题考查平面的法向量的求法，属于基础题． 第 9页（共 16页） 考点卡片 1．命题的真假判断与应用 【知识点的认识】 判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确 p、q及非 p的真假，然后由真值表判断复 合命题的真假． 注意：“非 p”的正确写法，本题不应将“非 p”写成“方程 x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都 是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分． 【解题方法点拨】 1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由 真值表得出复合命题的真假． 2．判断一个“若 p则 q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“p q”，则“若 p 则 q”为真；而要确定“若 p则 q”为假，只需举出一个反例说明即可． 3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同 真同假这一关系进行转化判断． 【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题 形式出现． 2．平面向量数量积的性质及其运算 【知识点的认识】 1、平面向量数量积的重要性质： 设� → ，� → 都是非零向量，� → 是与� → 方向相同的单位向量，� → 与� → 和夹角为θ，则： （1）� → ⋅ � → = � → ⋅ � → =|� → |cosθ； （2）� → ⊥ � → ⇔� → ⋅ � → =0；（判定两向量垂直的充要条件） （3）当� → ，� → 方向相同时，� → ⋅ � → =|� → ||� → |；当� → ，� → 方向相反时，� → ⋅ � → =−|� → ||� → |； 特别地：� → ⋅ � → =|� → |2或|� → |= � → ⋅ � → （用于计算向量的模） （4）cosθ= � → ⋅� → |�→||� → | （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状） 第 10页（共 16页） （5）|� → ⋅ � → |≤|� → ||� → | 2、平面向量数量积的运算律 （1）交换律：� → ⋅ � → = � → ⋅ � → ； （2）数乘向量的结合律：（λ� → ）•� → =λ（� → ⋅ � → ）= � → •（�� → ）； （3）分配律：（� → ⋅ � → ）• � → ≠ � → •（� → ⋅ � → ） 平面向量数量积的运算 平面向量数量积运算的一般定理为①（� → ±� → ）2= � →2±2� → •� → + � → 2．②（� → − � → ）（� → + � → ）= � →2− � → 2．③� → •（� → •� → ）≠（� → •� → ）•� → ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样． 【解题方法点拨】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn＝nm”类比得到“� → ⋅ � → = � → ⋅ � → ” ②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（� → + � → ）•� → = � → ⋅ � → + � → ⋅ � → ”； ③“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”类比得到“ � → ≠ 0，� → ⋅ � → = � → ⋅ � → ⇒� → = � → ”； ④“|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“|� → ⋅ � → |＝|� → |•|� → |”； ⑤“（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（� → ⋅ � → ）•� → = � → ⋅ (� → ⋅ � → )”； ⑥“ �� �� = � � ”类比得到 � → ⋅� → � → ⋅� → = � → � →．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ． 解：∵向量的数量积满足交换律， ∴“mn＝nm”类比得到“� → ⋅ � → = � → ⋅ � → ”， 即①正确； ∵向量的数量积满足分配律， ∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（� → + � → ）• � → = � → ⋅ � → + � → ⋅ � → ”， 第 11页（共 16页） 即②正确； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴“t≠0，mt＝nt⇒m＝n”不能类比得到“ � → ≠ 0，� → ⋅ � → = � → ⋅ � → ⇒� → = � → ”， 即③错误； ∵|� → ⋅ � → |≠|� → |•|� → |， ∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|� → ⋅ � → |＝|� → |•|� → |”； 即④错误； ∵向量的数量积不满足结合律， ∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（� → ⋅ � → ）• � → = � → ⋅ (� → ⋅ � → )”， 即⑤错误； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴ �� �� = � � ”不能类比得到 � → ⋅� → � → ⋅� → = � → � →， 即⑥错误． 故答案为：①②． 向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“� → ⋅ � → = � → ⋅ � → ”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n） t＝mt+nt”类比得到“（� → + � → ）• � → = � → ⋅ � → + � → ⋅ � → ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt⇒m＝n” 不能类比得到“ � → ≠ 0，� → ⋅ � → = � → ⋅ � → ⇒� → = � → ”；|� → ⋅ � → |≠|� → |•|� → |，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“|� → ⋅ � → | ＝|� → |•|� → |”；向量的数量积不满足结合律，故“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（� → ⋅ � → ）• � → = � → ⋅ (� → ⋅ � → )”； 向量的数量积不满足消元律，故 �� �� = � � ”不能类比得到 � → ⋅� → � → ⋅� → = � → � →． 【命题方向】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也 不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握． 3．空间向量的数量积判断向量的共线与垂直 【知识点的认识】 第 12页（共 16页） 一、空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量（平行向 量） 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合． 共面向量 平行于同一平面的向量． 共线向量定理 对空间任意两个向量� → ，� → （� → ≠0），� → ∥� → ⇔存在λ∈R，使� → =λ� → ． 共面向量定理 若两个向量� → ，� → 不共线，则向量� → 与向量� → ，b共面⇔存在唯一的有序实数对 （x，y），使� → =x� → +y� → ． 空间向量基本定 理 （1）定理：如果三个向量� → 、� → 、c不共面，那么对空间任一向量� → ，存在有 序实数组{x，y，z}使得� → =x� → +y� → +z� → ． （2）推论：设 O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点 P都存在唯一 的三个有序实数 x、y、z使＝x+y+z 且 x+y+z＝1． 二、数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 （1）� → •� → ＝|� → ||� → |cos＜� → ，� → ＞； （2）� → ⊥� → ⇔� → •� → =0（� → ，� → 为非零向量）； （3）|� → |2= � →2，|� → |= �2 + �2 + �2． 2．向量的坐标运算 � → =（a1，a2，a3），� → =（b1，b2，b3） 向量和 � → + � → =（a1+b1，a2+b2，a3+b3） 向量差 � → − � → =（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3） 数量积 � → •� → =a1b1+a2b2+a3b3 共线 � → ∥� → ⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R） 第 13页（共 16页） 垂直 � → ⊥� → ⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0 夹角 公式 cos＜� → ，� → ＞ = 4．空间直线的方向向量、空间直线的向量参数方程 【知识点的认识】 1、直线的方向向量： 空间中任意一条直线 l的位置可以由 l上一个定点 A以及一个定方向确定．直线 l上的向量� → 以及与� → 共线 的向量叫做直线 l的方向向量．注意： ①一条直线 l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行． ②直线 l的方向向量也是所有与 l平行的直线的方向向量． 2、方向向量的求法：可根据直线 l上的任意两点的坐标写出直线 l的一个方向向量． 3、平面的法向量： 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方 向”．如果表示向量� → 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作� → ⊥α，如果� → ⊥α， 那么向量� → 叫做平面α的法向量．注意： ①法向量一定是非零向量； ②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行； ③向量� → 是平面的法向量，向量� → 是与平面平行或在平面内，则有� → •� → =0． ④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量． 4、法向量的求法： （1）设：设出平面法向量的坐标为� → =（u，v，w）； （2）列：根据� → ⋅ � → =0，� → ⋅ � → =0，列出方程组； （3）解：把 u（或 v或 w）看作常数，用 u（或 v或 w）表示另外两个量 （4）取：取 u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量� → 的坐标． 1、空间直线的点向式方程或标准方程： 第 14页（共 16页） 设直线 L过点 M0（x0，y0，z0），� → =（m，n，p）是直线 L的方向向量．设 M（x，y，z）是直线 L上任 意一点，则�0� → =（x﹣x0，y﹣y0，z﹣z0），且�0� → ∥� → ．由两向量平行的充要条件可知 �−�0 � = �−�0 � = �−�0 � 改方程组称为直线的点向式方程或标准方程（当 m、n、p中有一个或两个为零时，就理解为相应的分子为 零）． 若直线 L的方程为 �−�0 � = �−�0 � = �−�0 � ，平面π的方程为 Ax+By+Cz+D＝0，则直线 L与平面π平行的充要 条件是 mA+nB+pC＝0；直线 L与平面π垂直得充要条件是 � � = � � = � � 2、空间直线的参数方程： 在直线方程 �−�0 � = �−�0 � = �−�0 � 中，记其比值为 t，则有 � = �0 +�� � = �0 + �� � = �0 + �� （※） 这样，空间直线上动点 M的坐标 x、y、z就都表达为变量 t的函数．当 t取遍所有实数值时，由所确定的 点 M（x，y，z）就描出来直线．形如（※）的方程称为直线的参数方程，t为参数． 5．平面的法向量 【知识点的认识】 1、直线的方向向量： 空间中任意一条直线 l的位置可以由 l上一个定点 A以及一个定方向确定．直线 l上的向量� → 以及与� → 共线 的向量叫做直线 l的方向向量．注意： ①一条直线 l有无穷多个方向向量，这些方向向量之间互相平行． ②直线 l的方向向量也是所有与 l平行的直线的方向向量． 2、方向向量的求法：可根据直线 l上的任意两点的坐标写出直线 l的一个方向向量． 3、平面的法向量： 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，可以用垂直于平面的直线的方向向量来刻画平面的“方 向”．如果表示向量� → 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面，记作� → ⊥α，如果� → ⊥α， 那么向量� → 叫做平面α的法向量．注意： ①法向量一定是非零向量； 第 15页（共 16页） ②一个平面α有无穷多个法向量，这些法向量之间互相平行； ③向量� → 是平面的法向量，向量� → 是与平面平行或在平面内，则有� → •� → =0． ④一个平面α的法向量也是所有与平面α平行的平面的法向量． 4、法向量的求法： （1）设：设出平面法向量的坐标为� → =（u，v，w）； （2）列：根据� → ⋅ � → =0，� → ⋅ � → =0，列出方程组； （3）解：把 u（或 v或 w）看作常数，用 u（或 v或 w）表示另外两个量 （4）取：取 u为任意一个数（当然取得越特殊越好），则得到平面法向量� → 的坐标． 6．直线的斜率 【知识点的认识】 1．定义：当直线倾斜角α≠ �2时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母 k表示，即 k＝tanα． 2．斜率的求法 （1）定义：k＝tanα（α≠ �2） （2）斜率公式：k= �2−�1�2−�1 (�2 ≠ �1)． 3．斜率与倾斜角的区别和联系 （1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率． ②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向． （2）联系： ①当α≠ �2时，k＝tanα；当α= � 2时，斜率不存在； ②根据正切函数 k＝tanα的单调性：当α∈[0， � 2 ）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（ � 2 ，π）时，k＜0 且随α的增大而增大． 【解题方法点拨】 直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾 斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是 高考考查的热点问题． 【命题方向】 （1）已知倾斜角范围求斜率的范围； 第 16页（共 16页） （2）已知斜率求倾斜角的问题． （3）斜率在数形结合中的应用． 7．直线的点斜式方程 【知识点的认识】 设 P（x，y）是直线 l上不同于 P0的任意一点． 方程 y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程． 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2024/7/23 0:22:13；用户：组卷 38；邮箱：zyb038@xyh.com；学号： 41419001