3.2.1从平面向量到空间向量同步个性化分层作业-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第 1页（共 9页） 2024-2025 学年上学期高中数学北师大新版高二同步个性化分层作业 3.2.1 从平面向量到空间向量 一．选择题（共 4 小题） 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量�� → ，�� → 满足|�� → |＞|�� → |，则�� → ＞�� → D．相等向量其方向必相同 2．下列说法正确的是（ ） A．若空间向量� → ，� → ，� → 满足� → ∥� → ，� → ∥� → ，则� → ∥� → B．若空间向量� → ，� → 满足|� → + � → |＝|� → − � → |，则� → = 0 → C．空间中任意两个单位向量都是相等向量 D．将空间中所有的单位向量移到相同的起点，则它们的终点构成一个球面 3．下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 4．下列命题中为真命题的是（ ） A．空间向量�� → 与�� → 的长度相等 B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 二．多选题（共 4 小题） （多选）5．下列关于空间向量的命题中，不正确的是（ ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 第 2页（共 9页） C．若� → ≠ � → ，则|� → | ≠ |� → | D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 （多选）6．下列说法正确的是（ ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 （多选）7．下列说法正确的是（ ） A．空间向量�� → 与�� → 的长度相等 B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 （多选）8．给出下列命题正确的是（ ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若� → ，� → 满足|� → |＞|� → |，且� → ，� → 同向，则� → ＞� → D．对于任意向量� → ，� → ，必有|� → + � → | ≤ |� → | + |� → | 三．填空题（共 2 小题） 9．关于空间向量的命题： ①方向不同的两个向量不可能是共线向量； ②长度相等，方向相同的向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； ④若� → ≠ � → ，则|� → | ≠ |� → |． 其中所有真命题的序号有 ． 10．下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是 ． ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②若� → ≠ � → ，则|� → |≠|� → |； ③两个向量相等，则它们的起点与终点相同． 第 3页（共 9页） 第 4页（共 9页） （学困生篇）2024-2025 学年上学期高中数学北师大新版高二同步个性化 分层作业 3.2.1 从平面向量到空间向量 参考答案与试题解析 一．选择题（共 4 小题） 1．下列关于空间向量的说法中正确的是（ ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量�� → ，�� → 满足|�� → |＞|�� → |，则�� → ＞�� → D．相等向量其方向必相同 【考点】空间向量的概念及属性．菁优网版权所有 【专题】证明题；对应思想；定义法；空间向量及应用；逻辑推理． 【答案】D 【分析】方向相反且大小相等的两个向量是相反向量，故选项 A 错误；空间中任意两个单位向量的模 必相等，但方向不一定相同，故选项 B 错误；向量不能比较大小，故选项 C 错误． 【解答】解：方向相反且大小相等的两个向量是相反向量，故选项 A 错误； 空间中任意两个单位向量的模必相等，但方向不一定相同，故选项 B 错误； 向量不能比较大小，故选项 C 错误； 相等向量其方向必相同，故选项 D 正确； 故选：D． 【点评】本题考查了向量的概念应用，是基础题． 2．下列说法正确的是（ ） A．若空间向量� → ，� → ，� → 满足� → ∥� → ，� → ∥� → ，则� → ∥� → B．若空间向量� → ，� → 满足|� → + � → |＝|� → − � → |，则� → = 0 → C．空间中任意两个单位向量都是相等向量 D．将空间中所有的单位向量移到相同的起点，则它们的终点构成一个球面 【考点】空间向量的概念及属性．菁优网版权所有 【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；直观想象；数学运算． 【答案】D 第 5页（共 9页） 【分析】对于 A，举反例� → = 0 → 说明错误； 对于 B，举反例� → ⊥� → 说明错误； 【解答】解：对于 A，当� → = 0 → 时，命题不成立； 对于 B，当� → ⊥� → 时，也满足|� → + � → |＝|� → − � → |，故错误； 对于 C，空间中任意两个单位向量的模相等，故错误； 对于 D，因为单位向量的模相等，所以将空间中所有的单位向量移到相同的起点，则它们的终点构成一 个球面，故正确． 故选：D． 【点评】本题考查了空间向量的基础知识，属于基础题． 3．下列关于空间向量的说法中错误的是（ ） A．零向量与任意向量平行 B．任意两个空间向量一定共面 C．零向量是任意向量的方向向量 D．方向相同且模相等的两个向量是相等向量 【考点】空间向量的概念及属性．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算． 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合零向量的定义，以及相等向量的定义，即可依次求解． 【解答】解：对于 A，零向量方向是任意的， 则零向量与任意向量平行，故 A 正确， 对于 B，平面由两个不平行的向量确定，任意两个向量可以通过平移形成相交， 故任意两个空间向量一定共面，故 B 正确， 对于 C，零向量方向是无限的，但是任意向量方向是确定的，故 C 错误， 对于 D，方向相同且模相等的两个向量是相等向量，故 D 正确． 故选：C． 【点评】本题主要考查零向量的定义，以及相等向量的定义，属于基础题． 4．下列命题中为真命题的是（ ） A．空间向量�� → 与�� → 的长度相等 第 6页（共 9页） B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆 C．空间向量是空间中的一条有向线段 D．不相等的两个空间向量的模必不相等 【考点】空间向量的概念及属性．菁优网版权所有 【专题】对应思想；综合法；空间向量及应用；简易逻辑；逻辑推理；直观想象． 【答案】A 【分析】由于向量的长度与向量的方向无关，相反向量的长度相等，由此可判断 AD； 将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，由此可判断 B； 由向量与有向线段的关系判断 C． 【解答】解：对于 A，因为空间向量�� → 与�� → 互为相反向量，所以空间向量�� → 与�� → 的长度相等，所以 A 正确； 对于 B，将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面，所以 B 错误； 对于 C，空间向量可以用空间中的一条有向线段表示，但空间向量不是有向线段，所以 C 错误； 对于 D，两个空间向量不相等，它们的模可能相等，也可能不相等，如向量�� → 与�� → 的模相等，所以 D 错误． 故选：A． 【点评】本题考查了空间向量的相关概念、性质，属于基础题． 二．多选题（共 4 小题） （多选）5．下列关于空间向量的命题中，不正确的是（ ） A．长度相等、方向相同的两个向量是相等向量 B．平行且模相等的两个向量是相等向量 C．若� → ≠ � → ，则|� → | ≠ |� → | D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【考点】空间向量的概念及属性．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学抽象． 【答案】BCD 【分析】根据题意，利用向量、相等向量的定义依次分析选项，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A：由相等向量的定义，长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，A 正确； 第 7页（共 9页） 对于 B：平行且模相等的两个向量也可能是相反向量，B 错误； 对于 C：若两个向量不相等，但模长仍可能相等，例如不共线的单位向量，C 错误； 对于 D：相等向量只要求长度相等、方向相同，而表示两个向量的有向线段的起点不要求相同，D 错误． 故选：BCD． 【点评】本题考查向量的定义，涉及相等向量的定义，属于基础题． （多选）6．下列说法正确的是（ ） A．零向量没有方向 B．空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D．同向且等长的有向线段表示同一向量 【考点】空间向量的概念及属性．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算． 【答案】BD 【分析】利用空间向量的相关定义进行判断即可． 【解答】解：对于 A：零向量的方向是任意的，A 错误； 对于 B：空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小，B 正确； 对于 C、D：大小相等方向相同的两个向量为相等向量即同一向量， 所以 C 中向量大小可以相等，只要方向不同即为向量不同，C 错误；D 符合定义，正确． 故选：BD． 【点评】本题主要考查空间向量的相关定义，属于基础题． （多选）7．下列说法正确的是（ ） A．空间向量�� → 与�� → 的长度相等 B．平行于同一个平面的向量叫做共面向量 C．若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆 D．空间任意三个向量都可以构成空间的一个基底 【考点】空间向量的概念及属性．菁优网版权所有 【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；直观想象． 【答案】AB 【分析】根据空间向量的基本概念即可一一判断． 第 8页（共 9页） 【解答】解：对于 A，由向量模的定义，可得两向量长度相等，正确； 对于 B 能平移到同一个平面上的三个向量叫共面向量，平行于同一个平面的向量显然可以平移到同一 平面，正确； 对于 C，在空间中，起点相同的所有单位向量，终点会在一个球面上，错误； 对于 D，根据基底定义，不共面的三个向量才能作为空间向量的一组基底，错误． 综上，AB 正确． 故选：AB． 【点评】本题考查空间向量的基本概念，属基础题． （多选）8．给出下列命题正确的是（ ） A．空间中所有的单位向量都相等 B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若� → ，� → 满足|� → |＞|� → |，且� → ，� → 同向，则� → ＞� → D．对于任意向量� → ，� → ，必有|� → + � → | ≤ |� → | + |� → | 【考点】空间向量的概念及属性．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算． 【答案】BD 【分析】根据向量的基本概念即可求解． 【解答】解：对于 A：向量相等需要满足两个条件：长度相等且方向相同，缺一不可，故 A 错； 对于 B：根据相反向量的定义可知 B 正确； 对于 C：向量是矢量不能比较大小，故 C 错； 对于 D：根据三角形三边关系知必有|� → + � → | ≤ |� → | + |� → |，故 D 正确． 故选：BD． 【点评】本题主要考查向量的概念与向量的模，属于基础题． 三．填空题（共 2 小题） 9．关于空间向量的命题： ①方向不同的两个向量不可能是共线向量； ②长度相等，方向相同的向量是相等向量； ③平行且模相等的两个向量是相等向量； 第 9页（共 9页） ④若� → ≠ � → ，则|� → | ≠ |� → |． 其中所有真命题的序号有 ② ． 【考点】空间向量的概念及属性．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；平面向量及应用；数学运算． 【答案】②． 【分析】根据平面向量的相关概念逐项分析判断． 【解答】解：对于①：由共线向量的定义可知：方向相反的两个向量也是共线向量，故①错误； 对于②：长度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正确； 对于③：平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③错误； 对于④：若� → ≠ � → ，可能只是方向不相同，但模长相等，故④错误． 故答案为：②． 【点评】本题主要考查平面向量的相关概念，属于基础题． 10．下列关于空间向量的命题中，正确的命题的序号是 ① ． ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②若� → ≠ � → ，则|� → |≠|� → |； ③两个向量相等，则它们的起点与终点相同． 【考点】空间向量的概念及属性．菁优网版权所有 【专题】证明题；对应思想；综合法；空间向量及应用；逻辑推理． 【答案】①． 【分析】对于①，长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，故正确；对于②，若|� → |＝|� → |，而� → ，� → 的方向不同，则� → ≠ � → ，故错误；对于③，两个向量相等，只是大小相等，方向相同，但它们的起点与 终点可以不同，故错误． 【解答】解：对于①，长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，故正确； 对于②，若|� → |＝|� → |，而� → ，� → 的方向不同，则� → ≠ � → ，故错误； 对于③，两个向量相等，只是大小相等，方向相同，但它们的起点与终点可以不同，故错误． 故答案为：①． 【点评】本题考查了向量的概念的应用，是基础题．