3.1.2空间两点间的距离公式同步个性化分层作业-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第 1页（共 9页） 2024-2025 学年上学期高中数学北师大新版高二同步个性化分层作业 3.1.2 空间两点间的距离公式 一．选择题（共 4 小题） 1．在空间直角坐标系中，A（1，2，0），B（5，0，1），C（1，2，3），若 M为 BC的中点，则|AM|＝（ ） A． 3 B．3 C．2 3 D．3 2 2．空间内有三点 A（3，4，4），B（1，5，2），C（3，7，0），则点 A到 BC的中点 P的距离为（ ） A．2 3 B． 13 C． 14 D．4 3．已知△ABC的三个顶点分别为 A（1，0，0），B（0，2，0），C（2，0，2），则 BC边上的中线长为 （ ） A．1 B． 2 C． 3 D．2 4．在空间直角坐标系 O﹣xyz中，点（2，﹣1，2）到坐标原点 O的距离为（ ） A． 5 B．2 2 C．3 D． 6 二．多选题（共 2 小题） （多选）5．空间直角坐标系中，坐标原点到下列各点的距离不大于 5的是（ ） A．（1，1，1） B．（1，2，2） C．（2，﹣3，5） D．（3，0，4） （多选）6．空间中三点 A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），O是坐标原点，则（ ） A．|�� → | = 5 B．�� → ⊥ �� → C．点 C关于平面 Oxy对称的点为（1，﹣3，1） D．�� → 与�� → 夹角的余弦值是 55 11 三．填空题（共 2 小题） 7．在空间直角坐标系 Oxyz中，已知 A（2，0，2），B（1，2，﹣1），则|�� → + �� → |＝ ． 8．已知空间直角坐标系中的点 A（1，1，1），B（0，1，0），C（1，2，3），则点 C到直线 AB的距离 为 ． 四．解答题（共 2 小题） 9．下列两点间的距离： （1）A（﹣3，2，5），B（1，5，﹣1）； （2）C（2，﹣3，1），D（2，0，3）． 第 2页（共 9页） 10．设 m为实数，已知 A（m，1+m，2+m），B（1﹣m，3﹣2m，3m）是空间两个动点，求|AB|的最小值． 第 3页（共 9页） （学困生篇）2024-2025 学年上学期高中数学北师大新版高二同步个性化 分层作业 3.1.2 空间两点间的距离公式 参考答案与试题解析 一．选择题（共 4 小题） 1．在空间直角坐标系中，A（1，2，0），B（5，0，1），C（1，2，3），若 M为 BC的中点，则|AM|＝（ ） A． 3 B．3 C．2 3 D．3 2 【考点】空间两点间的距离公式．菁优网版权所有 【专题】计算题；对应思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算． 【答案】B 【分析】先根据中点坐标公式得到 M的坐标，再利用两点间距离公式求解即可． 【解答】解：因为 A（1，2，0），B（5，0，1），C（1，2，3），M为 BC的中点， 所以 M的坐标为( 5+12 ， 0+2 2 ， 1+3 2 )，即 M（3，1，2）， 所以|��| = (3 − 1)2 + (1 − 2)2 + (2 − 0)2 = 3． 故选：B． 【点评】本题考查了中点坐标公式以及两点间距离公式的应用，属于基础题． 2．空间内有三点 A（3，4，4），B（1，5，2），C（3，7，0），则点 A到 BC的中点 P的距离为（ ） A．2 3 B． 13 C． 14 D．4 【考点】空间两点间的距离公式．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算． 【答案】C 【分析】结合中点坐标公式，求出点 P，再结合空间两点之间的距离公式，即可求解． 【解答】解：B（1，5，2），C（3，7，0）， 则 BC的中点 P（2，6，1）， A（3，4，4）， 则|AP|= (2 − 3)2 + (4 − 6)2 + (4 − 1)2 = 14． 故选：C． 【点评】本题主要考查空间两点间的距离公式，属于基础题． 3．已知△ABC的三个顶点分别为 A（1，0，0），B（0，2，0），C（2，0，2），则 BC边上的中线长为 （ ） 第 4页（共 9页） A．1 B． 2 C． 3 D．2 【考点】空间两点间的距离公式．菁优网版权所有 【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；数学运算． 【答案】B 【分析】根据题设，求出 BC边上的中线所在向量，利用模长公式求解即可． 【解答】解：设 BC的中点为 D，则 D（1，1，1）， 故�� → = (0，1，1)，则|�� → |= 2， 即 BC边上的中线长为 2． 故选：B． 【点评】本题考查空间两点间距离求法，属基础题． 4．在空间直角坐标系 O﹣xyz中，点（2，﹣1，2）到坐标原点 O的距离为（ ） A． 5 B．2 2 C．3 D． 6 【考点】空间两点间的距离公式．菁优网版权所有 【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算． 【答案】C 【分析】根据题意，由空间中两点间距离公式计算可得答案． 【解答】解：根据题意，点（2，﹣1，2）到坐标原点 O的距离为 (2 − 0)2 + ( − 1 − 0)2 + (2 − 0)2 = 3． 故选：C． 【点评】本题考查空间两点间距离的计算，注意两点间距离公式，属于基础题． 二．多选题（共 2 小题） （多选）5．空间直角坐标系中，坐标原点到下列各点的距离不大于 5的是（ ） A．（1，1，1） B．（1，2，2） C．（2，﹣3，5） D．（3，0，4） 【考点】空间两点间的距离公式．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算． 【答案】ABD 【分析】根据空间两点的距离公式计算可得． 【解答】解：因为 12 + 12 + 12 = 3＜5，故 A正确； 12 + 22 + 22 = 3＜5，故 B正确； 32 + 02 + 42 = 5，故 D正确； 第 5页（共 9页） 22 + ( − 3)2 + 52 = 38＞5，故 C错误． 故选：ABD． 【点评】本题主要考查空间两点的距离公式，属于基础题． （多选）6．空间中三点 A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1），O是坐标原点，则（ ） A．|�� → | = 5 B．�� → ⊥ �� → C．点 C关于平面 Oxy对称的点为（1，﹣3，1） D．�� → 与�� → 夹角的余弦值是 55 11 【考点】空间两点间的距离公式；空间向量的数量积判断向量的共线与垂直；空间中的点的坐标．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算． 【答案】AB 【分析】根据向量的模判断 A，由向量的数量积判断 B，根据点关于面的对称判断 C，由向量夹角的余 弦公式判断 D． 【解答】解：A（0，1，0），B（2，2，0），C（﹣1，3，1）， 则�� → = (2，1，0)，�� → = ( − 1，2，1)．�� → = ( − 3，1，1)， 故|�� → | = 22 + 12 + 02 = 5，故 A正确； �� → ⋅ �� → = 2 × ( − 1) + 1 × 2 + 0 × 1 = 0， 故�� → ⊥ �� → ，故 B正确； 点 C关于平面 Oxy对称的点为（﹣1，3，﹣1），故 C错误； ���＜�� → ，�� → ＞ = �� → ⋅�� → |�� → ||�� → | =− 5511 ，故 D错误． 故选：AB． 【点评】本题主要考查向量的坐标运算，以及向量的数量积公式，向量垂直的性质，属于基础题． 三．填空题（共 2 小题） 7．在空间直角坐标系 Oxyz中，已知 A（2，0，2），B（1，2，﹣1），则|�� → + �� → |＝ 14 ． 【考点】空间两点间的距离公式．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；空间位置关系与距离；数学运算． 第 6页（共 9页） 【答案】 14． 【分析】结合向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解． 【解答】解：A（2，0，2），B（1，2，﹣1）， 所以�� → = (2，0，2)，�� → = (1，2， − 1)， 故�� → + �� → = (3，2，1)，|�� → + �� → | = 32 + 22 + 12 = 14． 故答案为： 14． 【点评】本题主要考查空间向量模公式，属于基础题． 8．已知空间直角坐标系中的点 A（1，1，1），B（0，1，0），C（1，2，3），则点 C到直线 AB的距离为 3 ． 【考点】空间两点间的距离公式．菁优网版权所有 【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；数学运算． 【答案】 3． 【分析】根据已知条件，结合投影数量的公式，以及勾股定理，即可求解． 【解答】解：A（1，1，1），B（0，1，0），C（1，2，3）， 则�� → = ( − 1，0， − 1)，�� → = (0，1，2)， 故�� → ⋅ �� → =− 2，|�� → | = 2，|�� → | = 5， 所以�� → 在�� → 方向上的投影数量 d= �� → ⋅�� → |�� → | =− 2， 故点 C到直线 AB的距离为 |�� → |2 − �2 = 3． 故答案为： 3． 【点评】本题主要考查空间向量的应用，属于基础题． 四．解答题（共 2 小题） 9．下列两点间的距离： （1）A（﹣3，2，5），B（1，5，﹣1）； （2）C（2，﹣3，1），D（2，0，3）． 【考点】空间两点间的距离公式．菁优网版权所有 【专题】整体思想；综合法；空间位置关系与距离；数学运算． 【答案】（1） 61；（2） 13． 【分析】由已知结合空间两点间距离公式即可求解． 第 7页（共 9页） 【解答】解：因为（1）A（﹣3，2，5），B（1，5，﹣1）， 所以|AB|= ( − 3 − 1)2 + (2 − 5)2 + (5 + 1)2 = 61； （2）因为 C（2，﹣3，1），D（2，0，3）， 所以|CD|= (2 − 2)2 + ( − 3 − 0)2 + (1 − 3)2 = 13． 【点评】本题主要考查了空间两点距离公式的应用，属于基础题． 10．设 m为实数，已知 A（m，1+m，2+m），B（1﹣m，3﹣2m，3m）是空间两个动点，求|AB|的最小值． 【考点】空间两点间的距离公式．菁优网版权所有 【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；数学运算． 【答案】 3 17 17 ． 【分析】利用空间两点的距离公式，结合二次函数的性质，算出|AB|的最小值． 【解答】解：根据题意，可得�� → = (1 − 2�，2 − 3�，2� − 2)， 所以|AB|= |�� → | = (1 − 2�)2 + (2 − 3�)2 + (2� − 2)2 = 17�2 − 24� + 9 = 17(� − 1217 ) 2 + 917， 可知：当� = 1217时，|AB|的最小值为 9 17 = 3 17 17 ． 【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算、两点的距离公式与二次函数的性质等知识，考查了计算能 力，属于基础题． 第 8页（共 9页） 考点卡片 1．空间中的点的坐标 【知识点的认识】 1、在 x、y、z轴上的点分别可以表示为（a，0，0），（0，b，0），（0，0，c）， 在坐标平面 xOy，xOz，yOz内的点分别可以表示为（a，b，0），（a，0，c），（0，b，c）． 2、点 P（a，b，c）关于 x轴的对称点的坐标为（a，﹣b，﹣c，） 点 P（a，b，c）关于 y轴的对称点的坐标为（﹣a，b，﹣c，）； 点 P（a，b，c）关于 z轴的对称点的坐标为（﹣a，﹣b，c，）； 点 P（a，b，c）关于坐标平面 xOy的对称点为（a，b，﹣c，）； 点 P（a，b，c）关于坐标平面 xOz的对称点为（a，﹣b，c，）； 点 P（a，b，c）关于坐标平面 yOz的对称点为（﹣a，b，c，）； 点 P（a，b，c）关于原点的对称点（﹣a，﹣b，﹣c，）． 3、已知空间两点 P1（x1，y1，z1），P2（x2，y2，z2）则线段 P1P2的中点坐标为（ �1+�2 2 ， �1+�2 2 ， �1+�2 2 ） 2．空间两点间的距离公式 【知识点的认识】 空间两点间的距离公式： 已知空间两点 P（x1，y1，z1），Q（x2，y2，z2）， 则两点的距离为 ， 特殊地，点 A（x，y，z）到原点 O的距离为 ． 3．空间向量的数量积判断向量的共线与垂直 【知识点的认识】 一、空间向量及其有关概念 语言描述 共线向量（平行向 量） 表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合． 共面向量 平行于同一平面的向量． 第 9页（共 9页） 共线向量定理 对空间任意两个向量� → ，� → （� → ≠0），� → ∥� → ⇔存在λ∈R，使� → =λ� → ． 共面向量定理 若两个向量� → ，� → 不共线，则向量� → 与向量� → ，b共面⇔存在唯一的有序实数对 （x，y），使� → =x� → +y� → ． 空间向量基本定 理 （1）定理：如果三个向量� → 、� → 、c不共面，那么对空间任一向量� → ，存在有 序实数组{x，y，z}使得� → =x� → +y� → +z� → ． （2）推论：设 O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点 P都存在唯一 的三个有序实数 x、y、z使＝x+y+z 且 x+y+z＝1． 二、数量积及坐标运算 1．两个向量的数量积 （1）� → •� → ＝|� → ||� → |cos＜� → ，� → ＞； （2）� → ⊥� → ⇔� → •� → =0（� → ，� → 为非零向量）； （3）|� → |2= � →2，|� → |= �2 + �2 + �2． 2．向量的坐标运算 � → =（a1，a2，a3），� → =（b1，b2，b3） 向量和 � → + � → =（a1+b1，a2+b2，a3+b3） 向量差 � → − � → =（a1﹣b1，a2﹣b2，a3﹣b3） 数量积 � → •� → =a1b1+a2b2+a3b3 共线 � → ∥� → ⇒a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R） 垂直 � → ⊥� → ⇔a1b1+a2b2+a3b3＝0 夹角 公式 cos＜� → ，� → ＞ = 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期： 2024/7/23 0:12:12；用户：组卷 38；邮箱：zyb038@xyh.com；学号： 41419001