第3章 1.2 空间两点间的距离公式（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（北师大版）

本讲义聚焦空间两点间的距离公式这一核心知识点，从平面两点距离公式入手，通过问题链引导学生推导空间原点到点、任意两点的距离公式，同步梳理中点坐标公式，构建从平面到空间的知识迁移支架。 该资料以问题驱动设计，借助长方体模型直观推导公式，培养空间观念（数学眼光）。例题结合坐标系建立与参数求解，提升推理能力（数学思维）。课时对点练分层设置，课中辅助教师引导探究，课后帮助学生巩固应用，强化模型观念（数学语言）。

1.2　空间两点间的距离公式 学习目标　1.了解推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点间的距离公式，求空间中两点间的距离. 导语 距离是几何中的基本度量，在平面解析几何中，已知P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，线段P1P2的中点P0(x0，y0)的坐标满足|P1P2|＝，那么在空间直角坐标系中，若P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，线段P1P2的中点坐标和长度与其坐标又有怎样的关系呢？ 一、空间中点坐标公式、空间两点间的距离公式 问题1　在空间直角坐标系中，点O(0，0，0)到点P(x0，y0，z0)的距离怎么求？ 提示　如图， |OP|＝， |OA|＝|x0|，|OB|＝|y0|， |OC|＝|z0|， 则|OP|＝. 问题2　空间任意两点P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)间的距离怎么求？ 提示　如图，作长方体使P，Q为其体对角线的顶点，长方体的棱都平行于坐标轴， 由已知得，C(x1，y2，z1)， B(x2，y2，z1)， ∵CB∥x轴， ∴|CB|＝|x2－x1|. 同理|PC|＝|y2－y1|， |BQ|＝|z2－z1|， 因此|PQ|2＝|CB|2＋|PC|2＋|BQ|2， 即|PQ|＝. 知识梳理 1.已知空间中两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点P的坐标为. 2.已知空间中P(x1，y1，z1)，Q(x2，y2，z2)两点，则P，Q两点间的距离为 |PQ|＝. 注意点： (1)两点间距离公式特征：同名坐标差的平方和的算术平方根. (2)在空间中，点P(x，y，z)到坐标原点O的距离|OP|＝. (3)x2＋y2＋z2＝1表示以原点为球心，半径为1的球的方程. 例1　(1)在空间直角坐标系中，已知点P(2，－1，3)，M(－1，2，3)，若PQ的中点为M，则点Q的坐标为(　　) A.(4，1，1) B.(－4，5，3) C.(4，－3，1) D.(－5，3，4) 答案　B 解析　设点Q的坐标为(a，b，c)， 则解得 ∴点Q的坐标为(－4，5，3). (2)如图，正方体DABC－D'A'B'C'的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC'|.求MN的长. 解　建立如图所示的空间直角坐标系， 过点M作MF垂直于BC于点F，连接NF， 显然MF垂直于平面ABCD， 所以MF⊥NF， 因为|BM|＝2|MC'|，所以|BF|＝2|FC|， 又|AN|＝2|CN|， 所以NF∥AB，所以|NF|＝|FC|＝|AB|＝， 同理|MF|＝|CC'|＝， 因此，点N的坐标为，点M的坐标为， 于是|MN|＝. 反思感悟　(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算，其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键. (2)若所给题目中未建立坐标系，需结合已知条件建立适当的坐标系，再利用空间两点间的距离公式计算. 跟踪训练1　如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度. 解　以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2， ∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)， 由中点坐标公式可得， D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)， ∴|DE|＝， |EF|＝. 二、利用距离公式求空间点的坐标或参数 例2　(课本例3)　给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4，1，2)的距离为. 解　设点P的坐标是(x，0，0)， 由题意，得|P0P|＝，即 ， 所以(x－4)2＝25. 解得x＝9或x＝－1. 所以点P的坐标为(9，0，0)或(－1，0，0). 例2　(1)在空间直角坐标系中，设A(1，2，a)，B(2，3，4)，若|AB|＝，则实数a的值是(　　) A.3或5 B.－3或－5 C.3或－5 D.－3或5 答案　A 解析　由已知得， 解得a＝3或a＝5. (2)设点P在x轴上，它到点P1(0，，3)的距离是到点P2(0，1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标. 解　因为点P在x轴上， 所以设点P坐标为(x，0，0)， 因为|PP1|＝2|PP2|， 所以 ＝2 解得x＝±1， 所以点P的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0). 反思感悟　由空间两点间距离求点的坐标的方法 (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标. (2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解. 跟踪训练2　已知点P1，P2的坐标分别为(3，1，－1)，(2，－2，－3)，分别在x，y，z轴上取点A，B，C，使它们与P1，P2两点的距离相等，求A，B，C的坐标. 解　设A(x，0，0)，B(0，y，0)，C(0，0，z)， 由|AP1|＝|AP2|， 得， 所以x＝－3， 同理，由|BP1|＝|BP2|，得y＝－1， 由|CP1|＝|CP2|，得z＝－， 所以A(－3，0，0)，B(0，－1，0)，C. 三、空间距离的最值 例3　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝2，|AA1|＝3，M，N分别是AB，B1C1的中点，点P是DM上的点，|DP|＝a，当a为何值时，NP的长最小？ 解　如图，以点D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系. 则D(0，0，0)，N(1，2，3)， 设点P的坐标为(x，y，0)，则x＝2y(0≤y≤1). |NP|＝ ＝ ＝， 所以当y＝时，|NP|取得最小值，此时a＝，所以当a＝时，NP的长最小. 反思感悟　距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值. 跟踪训练3　在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.点P在线段BD1上，且满足3|BP|＝|BD1|. (1)试写出点P的坐标，并写出P关于y轴的对称点P'的坐标； (2)在线段C1D上找一点M，使得点M到点P的距离最小，求出点M的坐标. 解　(1)由题意知点P的坐标为， P关于y轴的对称点P'的坐标为. (2)设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)， 则有|MP|＝ ＝， 当m＝时，|MP|取到最小值， 所以点M的坐标为. 1.知识清单： (1)空间两点间的距离公式. (2)利用两点间距离公式求空间点的坐标. (3)距离中的最值问题. 2.方法归纳：函数法求最值. 3.常见误区：由于点的坐标寻找不正确，而导致距离求解错误. 1.点P(1，，)到原点O的距离是(　　) A.6 B. C.4 D. 答案　B 解析　|OP|＝. 2.已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且|AB|＝2，则实数x的值是(　　) A.－2 B.6 C.－2或6 D.4 答案　C 解析　由空间两点间的距离公式得 ＝2. 解得x＝6或x＝－2. 3.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD－A'B'C'D'，则A'C的中点E与AB的中点F的距离为　　　　. 答案　a 解析　由题意知A'(a，0，a)，C(0，a，0)，A(a，0，0)，B(a，a，0)， 则点E坐标为，点F坐标为， 所以|EF|＝a. 4.已知点A(1，a，－5)，B(2a，－7，－2)，则|AB|的最小值为　　　　. 答案　3 解析　由题意得|AB| ＝ ＝. 当a＝－1时，|AB|的值最小， 最小值为＝3. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.已知空间两点A(3，3，1)，B(－1，1，5)，则线段AB的长度为(　　) A.6 B.2 C.4 D.2 答案　A 解析　|AB|＝＝6. 2.已知A(－1，2，7)，B(－3，－10，－9)，则线段AB的中点关于原点对称的点的坐标是(　　) A.(4，8，2) B.(4，2，8) C.(4，2，1) D.(2，4，1) 答案　D 解析　由题意，得AB的中点坐标为(－2，－4，－1)， ∴关于原点对称的点的坐标为(2，4，1). 3.在空间直角坐标系中，一定点到三个坐标平面的距离都是2，那么该定点到原点的距离是(　　) A. B.2 C. D. 答案　B 解析　设该定点坐标为(x，y，z)， 因为在空间直角坐标系中，该定点到三个坐标平面的距离都是2，所以|x|＝2，|y|＝2，|z|＝2， 所以该定点到原点的距离是＝2. 4.在空间直角坐标系中，点M在z轴上，它到点A(1，0，2)的距离等于它到点B(1，－3，1)的距离，那么点M的坐标是(　　) A.(0，0，1) B.(0，0，2) C.(0，0，－3) D.(0，0，8) 答案　C 解析　设点M的坐标为(0，0，z)， 则|MA|＝， |MB|＝，又|MA|＝|MB|， 所以z2－4z＋5＝z2－2z＋11，解得z＝－3. 5.已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，△ABC的形状是(　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 答案　C 解析　由距离公式得， |AB|＝， |AC|＝， |BC|＝， ∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，∴△ABC为直角三角形. 6.(多选)已知点A(1，2，2)，B(1，－3，1)，点C在yOz平面上，且点C到点A，B的距离相等，则点C的坐标可以为(　　) A.(0，1，－1) B.(0，－1，4) C.(0，1，－6) D.(0，2，10) 答案　BC 解析　依题意，点C在yOz平面上，设C(0，y，z)， 由于|AC|＝|BC|，|AC|2＝|BC|2， 12＋(y－2)2＋(z－2)2＝12＋(y＋3)2＋(z－1)2， 整理得5y＋z＋1＝0，通过验证可知，(0，－1，4)、(0，1，－6)符合题意，所以BC选项正确. 7.(5分)已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为　　　　　　. 答案　 解析　∵|AB|＝ ＝， ∴当x＝－时，|AB|最小. 8.(5分)已知三角形的三个顶点为A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，则过B点的中线长为　　　　　. 答案　 解析　设AC的中点为G， ∵三角形的三个顶点为A(2，－1，4)，B(3，2，－6)，C(5，0，2)，∴G，∴|BG|＝. 9.(10分)已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，棱|AA1|＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点，求MN的长. 解　如图，以C为原点，以CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系C－xyz. ∵|CA|＝|CB|＝1，|AA1|＝2， ∴N(1，0，1)，M， 由两点间的距离公式得 |MN|＝. 10.(11分)已知A(3，3，1)，B(1，0，5)，求： (1)线段AB的中点坐标及AB的长度；(5分) (2)到A，B两点的距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件.(6分) 解　(1)设M(x1，y1，z1)是线段AB的中点， 则根据中点坐标公式得 x1＝＝2，y1＝，z1＝＝3. 所以AB的中点坐标为. 根据两点间的距离公式，得 |AB|＝， 所以|AB|的长度为. (2)因为点P(x，y，z)到A，B的距离相等， 所以 ＝， 化简得4x＋6y－8z＋7＝0. 即点P(x，y，z)的坐标满足的条件为 4x＋6y－8z＋7＝0. 11.在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，侧棱AA1与底面垂直，上、下底面均为矩形，|AB|＝1，|AD|＝|AA1|＝|A1B1|＝2，则下列各棱中，最长的是(　　) A.BB1 B.B1C1 C.CC1 D.DD1 答案　B 解析　由四棱台ABCD－A1B1C1D1可得，故A1D1＝4，因为AA1⊥平面A1B1C1D1，而A1D1，A1B1⊂平面A1B1C1D1，故AA1⊥A1D1，AA1⊥A1B1，而A1D1⊥A1B1，故可建立如图所示的空间直角坐标系，则 A1(0，0，0)，B1(0，2，0)，B(0，1，2)，C1(－4，2，0)，C(－2，1，2)，D(－2，0，2)，D1(－4，0，0)， 故|BB1|＝， |B1C1|＝4， |CC1|＝＝3，|DD1|＝＝2，故选B. 12.(多选)在空间直角坐标系中，下列说法正确的是(　　) A.方程z＝0 表示坐标平面xOy B.方程x2＋y2＋z2＝1 表示以坐标原点为球心，1为半径的球面 C.方程x2＋y2＝1 表示以坐标原点为圆心，1为半径的面 D.方程x2＋y2＝0 表示z轴 答案　ABD 解析　设空间一点的坐标为(x，y，z)，方程z＝0，说明点在坐标平面xOy内，故A正确； x2＋y2＋z2＝1可化为＝1，表示以坐标原点为球心，1为半径的球面，故B正确； 方程x2＋y2＝1可化为＝1，表示以z轴为轴，1为半径的圆柱面，故C不正确； 方程x2＋y2＝0可得x＝y＝0，所以表示z轴，故D正确. 13.(5分)已知正方体不在同一表面上的两个顶点A(－1，2，－1)，B(3，－2，3)，则正方体的体积是　　　　　　　. 答案　64 解析　由题意得|AB|＝ ＝4. 又因为A(－1，2，－1)，B(3，－2，3)不在同一表面上，所以A，B两点间的距离即为正方体的体对角线长. 设正方体的边长为a，则a＝4，即a＝4， 所以正方体的体积为64. 14.(5分)在空间直角坐标系中，已知点A(3，1，2)，B(－1，－2，1)及动点M(x，y，－1)，则|AM|＋|BM|的最小值为　　　　. 答案　5 解析　设点A(3，1，2)关于平面z＝－1对称的点为A1(3，1，－4)，则|AM|＋|BM|的最小值为线段A1B的长度， 而|A1B|＝＝5， 所以|AM|＋|BM|的最小值为5. 15.(5分)对于任意实数x，y，z，则的最小值为　　　　. 答案　 解析　设P(x，y，z)，M(－1，2，1)，O(0，0，0)， 则 ＝|PO|＋|PM|， 由于x，y，z是任意实数，即点P是空间任意一点， 则|PO|＋|PM|≥|OM|＝，当且仅当P，O，M三点共线时取等号， 则所求的最小值为. 16.(12分)已知正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0<a<).当a为何值时，MN的长最小？ 解　∵平面ABCD⊥平面ABEF， 平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AB⊥BE， ∴BE⊥平面ABCD，∴AB，BC，BE两两互相垂直. 过点M作MG⊥AB，MH⊥BC， 垂足分别为G，H，连接NG，易证NG⊥AB. ∵|CM|＝|BN|＝a， ∴|CH|＝|MH|＝|BG|＝|GN|＝a， ∴以B为原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系B－xyz， 则M， N. 则|MN|＝ ＝. ∴当a＝时，|MN|最小，最小为，这时M，N分别为AC，BF的中点. 学科网（北京）股份有限公司 $