导数的概念及运算专项训练-2025届高三数学一轮专题复习

2025高考数学一轮复习-3.1-导数的概念及运算-专项训练模拟练习 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝( ) A．－ B．－ C．－ D．－ 2．函数f(x)＝x(ex－1)＋ln x的图象在点(1，f(1))处的切线方程是( ) A．y＝2ex－e－1 B．y＝2ex－e＋1 C．y＝2ex＋e－1 D．y＝2ex＋e＋1 3．函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为( ) 4．设a∈R，函数f(x)＝ex＋是偶函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为( ) A．a B．e C．ln 2 D．1 5．已知直线y＝ax是曲线y＝ln x的切线，则实数a＝( ) A． B． C． D． 6．函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( ) A．2f′(2)<f(4)－f(2)<2f′(4) B．2f′(4)<2f′(2)<f(4)－f(2) C．2f′(2)<2f′(4)<f(4)－f(2) D．f(4)－f(2)<2f′(4)<2f′(2) 7．若曲线y＝aln x＋x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝( ) A． B． C． D． 8．若直线l与曲线f(x)＝－相切，则直线l的斜率的最大值为( ) A． B．1－ C． D．ln 2 二、多选题 9．下列求导运算不正确的是( ) A．′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3x·log3e D．(x2cos x)′＝－2xsin x 10．若直线y＝x＋b是函数f(x)图象的一条切线，则函数f(x)可以是( ) A．f(x)＝ B．f(x)＝x4 C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex 11．已知定义在R上的奇函数f(x)的部分图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结论中正确的是( ) A．f(2)＝－1 B．f(1)·f(2)>4 C．f′(1)·f′(2)<0 D．方程f′(x)＝0无解 12．已知函数f(x)＝xln(1＋x)，则( ) A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)有两个零点 C．曲线y＝f(x)在点处的切线的斜率为－1－ln 2 D．f(x)是偶函数 三、填空题 13．(1)已知函数f(x)＝exln x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为_e__； (2)若f(x)＝sin4x－cos4x则y′＝____________. 14．曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_____________. 15．若曲线y＝ln x在点P(e,1)处的切线与曲线y＝eax相切，则a＝____________. 16．请你举出与函数f(x)＝e2x－1在(0,0)处具有相同切线的一个函数：____________. 【B级　能力提升】 1．y＝ln 的导函数为( ) A．y′＝－ B．y′＝ C．y′＝ln x D．y′＝－ln(－x) 2．如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是( ) 3．已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( ) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 4．已知曲线C：y＝xex过点A(a,0)的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－4)∪(0，＋∞) B．(0，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1) 5．(多选题)若两曲线y＝x2－1与y＝aln x－1存在公切线，则正实数a的取值可能是( ) A．1.2 B．4 C．5.6 D．2e 6．阅读材料： 求函数y＝ex的导函数． 解：因为y＝ex，所以x＝ln y，所以x′＝(ln y)′，所以1＝·y′，所以y′＝y＝ex. 借助上述思路，曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈在点(1,1)处的切线方程为( ) A．y＝4x－3 B．y＝4x＋3 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋3 参考答案 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．( C )[解析]　f(π)＝，f′(x)＝，f′＝－，∴f(π)＋f′＝－.故选C． 2．( A )[解析]　由函数f(x)＝x(ex－1)＋ln x知f(1)＝e－1，f′(x)＝ex－1＋xex＋，所以切线的斜率k＝f′(1)＝2e，在点(1，f(1))处的切线方程是y－(e－1)＝2e(x－1)，化简得y＝2ex－e－1.故选A． 3．( B )[解析]　由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)<0. 4．( C )[解析]　由f(x)为偶函数，易得a＝1. ∴f(x)＝ex＋e－x，f′(x)＝ex－e－x， 设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝ex0－e－x0＝，解得x0＝ln 2. 5．( C )[解析]　设切点坐标为(x0，ln x0)，由y＝ln x的导函数为y′＝知切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，即y＝＋ln x0－1.由题意可知解得a＝. 6．( A )[解析]　先由f(x)的图象，确定f(x)的单调性，再根据图象斜率的变化情况，判断f′(x)的单调性，最后由函数的凹凸性进行判断，即可得到答案．由函数f(x)的图象可知，当x≥0时，f(x)单调递增，所以f′(2)>0，f′(4)>0，f(4)－f(2)>0，由此可知，f′(x)在(0，＋∞)上恒大于0，因为直线的斜率逐渐增大，所以f′(x)单调递增，所以f′(2)<f′(4)，则2f′(2)<2f′(4)，因为f′(2)<<f′(4)，所以2f′(2)<f(4)－f(2)<2f′(4)．故选A． 7．( B )[解析]　因为y＝aln x＋x2(a>0)，所以y′＝＋2x≥2，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥，因为＝2，所以a＝. 8．( C )[解析]　由f(x)＝－， 可得f′(x)＝＝. 因为ex＋＋4≥2＋4＝8，当且仅当ex＝，即ex＝2，x＝ln 2时等号成立，所以0<f′(x)≤，所以直线l的斜率的最大值为. 二、多选题 9．( ACD )[解析]　因为′＝1－，所以选项A不正确；因为(log2x)′＝，所以选项B正确；因为(3x)′＝3xln 3，所以选项C不正确；因为(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，所以选项D不正确．故选ACD． 10．( BCD )[解析]　直线y＝x＋b的斜率k＝，f(x)＝的导数为f′(x)＝－，即切线的斜率小于0，故A不正确；f(x)＝x4的导数为f′(x)＝4x3，令4x3＝，解得x＝，故B正确；f(x)＝sin x的导数为f′(x)＝cos x，而cos x＝有解，故C正确；f(x)＝ex的导数为f′(x)＝ex，令ex＝，解得x＝－ln 2，故D正确．故选BCD． 11．( BC )[解析]　结合函数图象及奇函数性质分别判断各选项即可．由图可知f(－1)＝2，f(－2)>2，又∵函数f(x)是奇函数，∴f(1)＝－2，f(2)<－2，∴f(1)·f(2)>4，∴B对；由f(x)是奇函数，结合图象可知f′(1)<0，f′(2)>0，∴f′(1)·f′(2)<0，∴C对；由图象可知f(2)＝－f(－2)<－2，f′(x)＝0有解，∴A、D错误．故选BC． 12．( AC )[解析]　f(x)＝xln(x＋1)，所以当x>0时，f′(x)＝ln(x＋1)＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以A正确； 令xln(x＋1)＝0，所以x＝0或ln(x＋1)＝0，所以x＝0，故f(x)只有1个零点0，所以B不正确； f′(x)＝ln(x＋1)＋，所以f′＝ln－1＝－1－ln 2，所以C正确； 定义域不关于原点对称，所以f(x)不是偶函数，所以D不正确．故选AC． 三、填空题 13．[解析]　(1)∵f(x)＝exln x， ∴f′(x)＝ex， ∴f′(1)＝e1×(ln 1＋1)＝e. (2)∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)·(sin2x－cos2x)＝－cos 2x，∴y′＝(－cos 2x)′＝－(－sin 2x)·(2x)′＝2sin 2x. 14．[解析]　设该切线的切点坐标为(x0，y0)，由y＝ln x＋x＋1得y′＝＋1，则在该切点处的切线斜率k＝＋1，即＋1＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln 1＋1＋1＝2，即切点坐标为(1,2)，∴该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x. 15．[解析]　因为y＝ln x，所以y′＝，则y′|x＝e＝，所以曲线y＝ln x在点P(e,1)处的切线方程为y＝x.设y＝x与y＝eax相切于点(x0，eax0)，因为(eax)′＝aeax，所以 则aeax0＝，a＝，可得x0＝e2，从而a＝e－2. 16．[解析]　函数f(x)＝e2x－1的导数为f′(x)＝2e2x，可得在(0,0)处的切线的斜率为2，切线的方程为y＝2x，可取y＝x2＋2x，其导数为y′＝2x＋2，满足在(0,0)处的切线的斜率为2；y＝sin 2x，其导数为y′＝2cos 2x，满足在(0,0)处的切线的斜率为2；y＝2ex－2，其导数为y′＝2ex，满足在(0,0)处的切线的斜率为2. 【B级　能力提升】 1．( A )[解析]　∵y＝ln ＝－ln x，∴y′＝－. 2．( D )[解析]　由y＝f′(x)的图象知，y＝f′(x)在(0，＋∞)上单调递减，说明函数y＝f(x)的切线的斜率在(0，＋∞)上也单调递减，故可排除A，C．又由图象知y＝f′(x)与y＝g′(x)的图象在x＝x0处相交，说明y＝f(x)与y＝g(x)的图象在x＝x0处的切线的斜率相同，故可排除B． 3．( C )[解析]　设f′(3)，f(3)－f(2)＝，f′(2)分别表示直线n，m，l的斜率，数形结合知0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)，故选C． 4．( A )[解析]　对函数y＝xex求导得y′＝ex＋x·ex＝(1＋x)·ex.设切点坐标为(x0，x0ex0)，则曲线y＝xex过点A(a,0)的切线的斜率k＝(1＋x0)ex0＝，化简得x－ax0－a＝0.依题意知，上述关于x0的二次方程有两个不相等的实数根．所以Δ＝(－a)2－4×1×(－a)>0.解得a<－4或a>0. 5．( ABD )[解析]　设公切线与两曲线的切点，利用导数求得过切点的切线方程，再由斜率相等、直线在y轴上的截距相等列式，可得a＝－4x(ln x2－1)，令g(x)＝－4x2(ln x－1)(x>0)，再由导数求最值得答案．切线与两曲线y＝x2－1与y＝aln x－1的切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由y＝x2－1，得y′＝2x，由y＝aln x－1，得y′＝，则两切线方程分别为y－(x－1)＝2x1(x－x1)与y－(aln x2－1)＝(x－x2)，化简得y＝2x1x－1－x，y＝x＋aln x2－a－1，又两条切线为同一条，可得得a＝－4x(ln x2－1)，令g(x)＝－4x2(ln x－1)(x>0)，得g′(x)＝4x(1－2ln x)，当x∈(0，)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x∈(，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，∴g(x)max＝g()＝2e，∴a∈(0,2e]．结合选项可得，正实数a的取值可能是ABD．故选ABD． 6．( A )[解析]　解法一：因为y＝(2x－1)x＋1，所以ln y＝(x＋1)ln(2x－1)，所以·y′＝ln(2x－1)＋，所以y′＝(2x－1)x＋1，当x＝1时，y′＝4，所以曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈在点(1,1)处的切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 解法二：观察过点(1,1)的切线只有A选项，所以选A． 学科网（北京）股份有限公司 $$