第二十讲　解直角三角形 2025年九年级中考数学人教版一轮复习专题练习（山东）

第二十讲　解直角三角形 A层·基础过关 1.(2024·潍坊寿光市二模)已知∠A是锐角,sin A=,则tan A的值是 ( ) A. B. C. D. 2.(2024·东营垦利区二模)如图,一辆自行车竖直摆放在水平地面上,右边是它的部分示意图,现测得∠A=88°,∠C=42°,AB=60,则点A到BC的距离为 ( ) A.60sin 50° B. C.60cos 50° D.60tan 50° 3.(2024·泸州中考)宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图,把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点B'处,AB'交CD于点E,则sin∠DAE的值为 ( ) A. B. C. D. 4.(2024·淄博高青县模拟)在△ABC中,若|sin A-|+(-cos B)2=0,则∠C的度数是 .  5.(2024·绥化中考)如图,用热气球的探测器测一栋楼的高度,从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°,测得底部点B的俯角为45°,点A与楼BC的水平距离AD=50 m,则这栋楼的高度为 m(结果保留根号).  6. (2024·赤峰中考)综合实践课上,航模小组用无人机测量古树AB的高度.如图,点C处与古树底部A处在同一水平面上,且AC=10米,无人机从C处竖直上升到达D处,测得古树顶部B的俯角为45°,古树底部A的俯角为65°,则古树AB的高度约为 米(结果精确到0.1米;参考数据:sin 65°≈0.906,cos 65°≈0.423,tan 65° ≈2.145).  7.(2024·浙江中考)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,AB=10,AD=6,tan∠ACB=1. (1)求BC的长; (2)求sin∠DAE的值. B层·能力提升 8.(2024·深圳中考)如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°,小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°,则电子厂AB的高度为 ( ) (参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈) A.22.7 m B.22.4 m C.21.2 m D.23.0 m 9.(2024·包头中考)如图,在矩形ABCD中,E,F是边BC上两点,且BE=EF=FC,连接DE,AF,DE与AF相交于点G,连接BG.若AB=4,BC=6,则sin∠GBF的值为 ( ) A. B. C. D. 10. (2024·盐城中考)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升到距地面30 m的点P处,测得教学楼底端点A的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处,测得教学楼顶端点B的俯角为45°,则教学楼AB的高度约为 m.(精确到1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)  11.(2024·上海中考)在平行四边形ABCD中,∠ABC是锐角,将CD沿直线l翻折至AB所在直线,对应点分别为C',D',若AC'∶AB∶BC=1∶3∶7,则cos∠ABC= .  C层·素养挑战 12.(2024·广元中考)小明从科普读物中了解到,光从真空射入介质发生折射时,入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”,简称“折射率”.它表示光在介质中传播时,介质对光作用的一种特征. (1)若光从真空射入某介质,入射角为α,折射角为β,且cos α=,β=30°,求该介质的折射率; (2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质,如图①所示,点A,B,C,D分别是长方体棱的中点,若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入,其折射光线恰好从点C处射出.如图②,已知α=60°,CD=10 cm,求截面ABCD的面积. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十讲　解直角三角形 A层·基础过关 1.(2024·潍坊寿光市二模)已知∠A是锐角,sin A=,则tan A的值是 (B) A. B. C. D. 2.(2024·东营垦利区二模)如图,一辆自行车竖直摆放在水平地面上,右边是它的部分示意图,现测得∠A=88°,∠C=42°,AB=60,则点A到BC的距离为 (A) A.60sin 50° B. C.60cos 50° D.60tan 50° 3.(2024·泸州中考)宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形,黄金矩形给我们以协调、匀称的美感.如图,把黄金矩形ABCD沿对角线AC翻折,点B落在点B'处,AB'交CD于点E,则sin∠DAE的值为 (A) A. B. C. D. 4.(2024·淄博高青县模拟)在△ABC中,若|sin A-|+(-cos B)2=0,则∠C的度数是　105°　.  5.(2024·绥化中考)如图,用热气球的探测器测一栋楼的高度,从热气球上的点A测得该楼顶部点C的仰角为60°,测得底部点B的俯角为45°,点A与楼BC的水平距离AD=50 m,则这栋楼的高度为　(50+50)　m(结果保留根号).  6. (2024·赤峰中考)综合实践课上,航模小组用无人机测量古树AB的高度.如图,点C处与古树底部A处在同一水平面上,且AC=10米,无人机从C处竖直上升到达D处,测得古树顶部B的俯角为45°,古树底部A的俯角为65°,则古树AB的高度约为　11.5　米(结果精确到0.1米;参考数据:sin 65°≈0.906,cos 65°≈0.423,tan 65° ≈2.145).  7.(2024·浙江中考)如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE是BC边上的中线,AB=10,AD=6,tan∠ACB=1. (1)求BC的长; (2)求sin∠DAE的值. 【解析】(1)∵AD⊥BC,AB=10,AD=6, ∴BD===8; ∵tan∠ACB=1,∴CD=AD=6, ∴BC=BD+CD=8+6=14; (2)∵AE是BC边上的中线,∴CE=BC=7,∴DE=CE-CD=7-6=1,∵AD⊥BC, ∴AE===, ∴sin∠DAE===. B层·能力提升 8.(2024·深圳中考)如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°,小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°,则电子厂AB的高度为 (A) (参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈) A.22.7 m B.22.4 m C.21.2 m D.23.0 m 9.(2024·包头中考)如图,在矩形ABCD中,E,F是边BC上两点,且BE=EF=FC,连接DE,AF,DE与AF相交于点G,连接BG.若AB=4,BC=6,则sin∠GBF的值为 (A) A. B. C. D. 10. (2024·盐城中考)如图,小明用无人机测量教学楼的高度,将无人机垂直上升到距地面30 m的点P处,测得教学楼底端点A的俯角为37°,再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6 m至点Q处,测得教学楼顶端点B的俯角为45°,则教学楼AB的高度约为　17　m.(精确到1 m,参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)  11.(2024·上海中考)在平行四边形ABCD中,∠ABC是锐角,将CD沿直线l翻折至AB所在直线,对应点分别为C',D',若AC'∶AB∶BC=1∶3∶7,则cos∠ABC= 或　.  C层·素养挑战 12.(2024·广元中考)小明从科普读物中了解到,光从真空射入介质发生折射时,入射角α的正弦值与折射角β的正弦值的比值叫做介质的“绝对折射率”,简称“折射率”.它表示光在介质中传播时,介质对光作用的一种特征. (1)若光从真空射入某介质,入射角为α,折射角为β,且cos α=,β=30°,求该介质的折射率; (2)现有一块与(1)中折射率相同的长方体介质,如图①所示,点A,B,C,D分别是长方体棱的中点,若光线经真空从矩形A1D1D2A2对角线交点O处射入,其折射光线恰好从点C处射出.如图②,已知α=60°,CD=10 cm,求截面ABCD的面积. 【解析】(1)∵cos α=, ∴如图, 设b=x,则c=4x,由勾股定理得,a==3x, ∴sin α===,又∵β=30°, ∴sin β=sin 30°=, ∴折射率为==. (2)根据折射率与(1)的材料相同,可得折射率为, ∵α=60°, ∴==,∴sin β=. ∵四边形ABCD是矩形,点O是AD中点, ∴AD=2OD,∠D=90°, 又∵∠OCD=β, ∴sin∠OCD=sin β=, 在Rt△ODC中,设OD=x,OC=3x, 由勾股定理得,CD==x, ∴tan β===. 又∵CD=10 cm, ∴=, ∴OD=5 cm, ∴AD=10 cm,∴截面ABCD的面积为:10×10=100 cm2. 学科网（北京）股份有限公司 $$