精品解析：哈尔滨市第六十九中学校2024--2025学年八年级上学期期中数学考试题

哈尔滨市第六十九中学校2024—2025学年度（上）学期 八年级数学学科十月学科活动 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是( ) A. a+a＝a2 B. a3÷a＝a3 C. a2•a＝a3 D. (a2)3＝a5 2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，是高，若，，则的长是（ ）     A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 下列各式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 7. 如图，在纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 2 8. 如果是完全平方式，则k的值是（ ） A. 6 B. 9 C. D. 12 9. 下列说法正确的有：①如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③等腰三角形顶角的邻补角是底角的二倍；④等腰三角形两腰上的高线长相等．其中正确的共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 10. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 把多项式分解因式的结果是____________． 12. 计算：___________． 13. 计算：___________． 14. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点的周长是，则的长为_______ 15. 定义新运算：，则的运算结果是_____． 16. 如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________． 17. 如图，在中，，，则__________． 18. 已知：，，则_________． 19. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为_________． 20. 如图，在中，点D是的中点，点E是上一点，交于点F，，，，则_________． 三、解答题（共60分，其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分） 21. 先化简，再求值，其中x=． 22. 如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． （1）直接写出的面积为________； （2）画出关于y轴的对称的（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为________； （3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作出的高线（保留作图痕迹并写出理由）． 23. 我们知道，代数式的运算和多项式因式分解都属于不改变代数式值的恒等变形．探究下列关于x的代数式，并解决问题． （1）若计算的结果为，则_________； （2）若多项式分解因式的结果为，则_________，b=_________； （3）若计算的结果为，求m的值． 24. 已知在中，，且=．作，使得． （1）如图1，若与互余，则=______（用含的代数式表示）； （2）如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； （3）若与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论． 25. 春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元． （1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元； （2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？ 26. 已知：等边，点E在边上，点F在的延长线上，连接，与相交于点D，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，以EF为边作等边，EG交AF于K，连接AG，求证； （3）如图3，在（2）的条件下，，作于M，作于N，若，，用含有m、n的式子表示线段的长度． 27. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点A在y轴的正半轴上，，点C的坐标为． （1）如图1，设，的面积为s，求s于m的关系式；（不要求写出m的取值范围） （2）如图2，过点C作交的延长线于点D，交y轴于点E，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在上，过点F作直线，交于点N，交x轴负半轴于点M，交于点G，连接，，，连接，，若的面积为18，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨市第六十九中学校2024—2025学年度（上）学期 八年级数学学科十月学科活动 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列运算正确的是( ) A. a+a＝a2 B. a3÷a＝a3 C. a2•a＝a3 D. (a2)3＝a5 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．a+a=2a，故A错误； B．a3÷a=a2 ，故B错误； C．a2·a=a3 ，正确； D．(a2)3=a6，故D错误． 故选C． 2. 在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意； B．不是轴对称图形，故B不符合题意； C．不是轴对称图形，故C不符合题意； D．不是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3. 点关于轴对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于x轴对称的坐标特征，解题的关键是掌握点关于x轴对称时“横坐标不变，纵坐标互为相反数”的规律．根据点关于x轴对称时，横坐标不变，纵坐标互为相反数求解即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称， ∴横坐标不变，为；纵坐标变为相反数，为， ∴对称点为 故选：D． 4. 如图，在中，，是高，若，，则的长是（ ）     A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，能熟记直角三角形角所对的直角边为斜边的一半是解此题的关键． 根据直角三角形的两锐角互余求出，，然后根据含角的直角三角形的性质得出，，再把代入求出即可． 【详解】解：是高， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故选：B 5. 下列各式分解因式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查因式分解的判断，根据因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，进行判断即可． 【详解】解：A、因式分解不彻底，不符合题意； B、是因式分解，符合题意； C、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意； D、因式分解错误，左右不相等，不符合题意； 故选B． 6. 一个等腰三角形的两边长分别是4和9，则它的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为4和9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：（1）若4为腰长，9为底边长， 由于，则三角形不存在； （2）若9为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边． 所以这个三角形的周长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三条线段的长加起来，而应养成检验三条线段能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去． 7. 如图，在纸片中，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质； 根据折叠的性质得出，，，根据，求出，再根据，利用等角的补角相等及等角对等边，得出，即可得出结论； 【详解】解：由折叠的性质可得： ，，， ， ， ，，， ， ，， ， ， 故选：D． 8. 如果是完全平方式，则k的值是（ ） A. 6 B. 9 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方公式的特征判断即可得到k的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式，且， ∴， 故选：B． 9. 下列说法正确的有：①如果两个三角形全等，那么它们必是关于某条直线成轴对称的图形；②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；③等腰三角形顶角的邻补角是底角的二倍；④等腰三角形两腰上的高线长相等．其中正确的共有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是熟练掌握它们的基本性质． 根据轴对称图形的判定，全等三角形的性质，等腰三角形的性质一一判断即可． 【详解】①对于两个三角形全等的情况，它们只是形状和大小完全相同，但并不意味着它们一定是关于某条直线成轴对称的图形．例如，可以将两个全等的等边三角形一个放在另一个的上方，它们就不是轴对称的．故原说法错误； ②等腰三角形底边的高、中线、角平分线互相重合，故原说法错误； ③对于等腰三角形，设底角为，则顶角为，顶角的邻补角，即，这正好是底角的二倍，因此该说法正确； ④如图等腰三角形的顶点为A，底边为，两腰分别为和，且．过点B作上的高，过点C作上的高． ， 在和中 ， ， ，即等腰三角形两腰上的高线长相等，故该说法正确． 综上所述正确的有③④，共2个； 故选：C． 10. 如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 把多项式分解因式的结果是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因数2，然后在运用平方差公式即可. 【详解】解： = = = 故答案为. 【点睛】本题考查了分解因式，分解因式的一般步骤是：有公因式的先提取公因式，然后在考虑公式法. 12. 计算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要查了同底数幂相除．根据同底数幂除法法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 13. 计算：___________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，正确变形再求值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 如图，在中，，线段的垂直平分线交于点的周长是，则的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，理解垂直平分线的性质是解答关键． 根据垂直平分线的性质得到，再利用三角形的周长来求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ． ∵的周长是， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：4． 15. 定义新运算：，则的运算结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查定义新运算，整式的混合运算，根据定义新运算计算即可，解题的关键是掌握定义新运算的运算法则． 【详解】解：根据新定义可得： ， 故答案为：． 16. 如图1，在边长为的大正方形中，剪去一个边长为3的小正方形，将余下的部分按图中的虚线剪开后，拼成如图2所示的长方形．根据两个图形阴影部分面积相等的关系，可以列出的等式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用代数式分别表示图1，图2阴影部分面积即可解答． 【详解】解：由题可知，图1阴影部分面积为两个正方形的面积差，即， 图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， ∵两个图形阴影部分面积相等， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题关键是正确用代数式表示出两个图形中阴影部分面积． 17. 如图，在中，，，则__________． 【答案】##34度 【解析】 【分析】本题主要查了等腰三角形的性质．根据等腰三角形的性质解答，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 18. 已知：，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，整式化简，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式． 利用完全平方式，对所求的代数式变形，然后代入进行求解即可； 【详解】解： ， 将，代入得， ． 19. 已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则等腰三角形的顶角的度数为_________． 【答案】 或 【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，分情况讨论，一种情况等腰三角形为锐角三角形，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可得出结果． 本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解． 【详解】解：①如图1， 等腰三角形为锐角三角形， ∵， ∴， 即顶角的度数为． ②如图2， 等腰三角形为钝角三角形， ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 20. 如图，在中，点D是的中点，点E是上一点，交于点F，，，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，准确证明是解题的关键． 延长到G，使，连结，证明，可得，从而得到，，即可得到结果； 【详解】解：如图，延长到G，使，连结． ∵点D是的中点， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：2 三、解答题（共60分，其中21~22题各7分，23~24题各8分，25~27题各10分） 21. 先化简，再求值，其中x=． 【答案】﹣5x+1； 【解析】 【详解】试题分析：根据多项式乘以多项式先化简，再代入求值，即可解答． 试题解析：原式== =﹣5x+1 当x=时，原式=﹣5×+1=． 考点：多项式乘多项式． 22. 如图，在下列带有坐标系的网格中，的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上，，，． （1）直接写出的面积为________； （2）画出关于y轴的对称的（点D与点A对应，点E与点B对应），点E的坐标为________； （3）用无刻度的直尺，运用所学的知识作出的高线（保留作图痕迹并写出理由）． 【答案】（1） （2） 解：如图，即为所作， 由图可知 （3） 解：如图，即为所作． 理由：取点，，，连接，，，，延长交于点F， ∴，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴，即， ∴即为的高线． 【解析】 【分析】（1）利用长方形面积减去3个小三角形面积求解即可； （2）找出各顶点关于y轴的对称点，再顺次连接即可，结合图形即可得出点E的坐标； （3）取点，，，连接，，，，延长交于点F，证明，即得出，再结合对顶角相等和余角的性质即可证明，即即为的高线． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查利用网格求三角形面积，作图—轴对称，作图—作三角形的高，三角形全等的判定和性质，余角的性质等知识．利用数形结合的思想是解题关键． 23. 我们知道，代数式的运算和多项式因式分解都属于不改变代数式值的恒等变形．探究下列关于x的代数式，并解决问题． （1）若计算的结果为，则_________； （2）若多项式分解因式的结果为，则_________，b=_________； （3）若计算的结果为，求m的值． 【答案】（1） （2）1，2； （3） 【解析】 【分析】（1）根据等式的性质即可求解； （2）把展开，根据与相等列出二元一次方程组求解即可； （3）将展开，根据与相等列出二元一次方程组求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：， 故答案为：1，2； 【小问3详解】 解：， ， ， 解得：； ． 【点睛】本题考查了等式的性质，代数式，解题的关键是根据等式列出二元一次方程求解． 24. 已知在中，，且=．作，使得． （1）如图1，若与互余，则=______（用含的代数式表示）； （2）如图2，若与互补，过点C作于点H，求证：； （3）若与的面积相等，则与满足什么关系？请直接写出你的结论． 【答案】（1）； （2） 证明：如图，过点作于E点， 中，，， ， 中， ， ， ,=， ． 在和中，,,， ∴， ∴， ∴． （3）与相等或互补 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等得，根据与互余得 ，由即可求出的度数； （2）作根据AAS证明,则，由等腰三角形三线合一可得，因此，问题得证； （3）由与的面积相等得高相等.情况①：作于,于,根据可得≌，则可得=；情况②:是钝角三角形，作于，作垂直于的延长线于，根据可得≌，则可得，由于与互补，因此与互补． 【小问1详解】 解：中，，且=, ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①如图，作于，于， ∵与的面积相等， ∴， 又∵ , ∴ ∴ 即= ②如图，作于，作垂直于的延长线于． 则． ∵，， ∴， ∵与的面积相等， ∴． ∴． ∴． ， ∴， 综上，与相等或互补． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，同底等高的两个三角形面积相等，综合能力较强，有一定难度.熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元． （1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元； （2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？ 【答案】（1）每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元；（2）最多可以购买35个A型放大镜． 【解析】 【详解】分析：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，列出方程组即可解决问题； （2）由题意列出不等式求出即可解决问题． 详解：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，可得： ， 解得：， 答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元； （2）设购买A型放大镜m个，根据题意可得：20m+12×（75-m）≤1180， 解得：m≤35， 答：最多可以购买35个A型放大镜． 点睛：本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识，解题的关键是理解题意，列出方程组和不等式解答． 26. 已知：等边，点E在边上，点F在的延长线上，连接，与相交于点D，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，以EF为边作等边，EG交AF于K，连接AG，求证； （3）如图3，在（2）的条件下，，作于M，作于N，若，，用含有m、n的式子表示线段的长度． 【答案】（1） 证明：过点F作，交的延长线于点G， ∴． ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2） 证明：如图所示． 作，交的延长线于点H， ∵，是等边三角形， ∴，， ∴， 即． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）过点F作，交的延长线于点G，根据“两直线平行内错角相等”得，进而得出，再根据“角角边”证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）作，交的延长线于点H，可知，再根据“角边角”证明，可得，进而得出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出答案； （3）设，可表示，，，则，，作，先证明，可得，再根据直角三角形的性质得，即可得，然后证明，根据，可求出，再结合，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设，可表示，，，则，， 过点G作，交延长线于点K， 由（2）知， ∴． ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴， 即， 解得， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，直角三角形的性质等，构造全等三角形是解题的关键． 27. 已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点B在x轴负半轴上，点A在y轴的正半轴上，，点C的坐标为． （1）如图1，设，的面积为s，求s于m的关系式；（不要求写出m的取值范围） （2）如图2，过点C作交的延长线于点D，交y轴于点E，若，求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，点F在上，过点F作直线，交于点N，交x轴负半轴于点M，交于点G，连接，，，连接，，若的面积为18，连接，求的面积． 【答案】（1） （2） ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据，可知，再结合点C的坐标可得答案； （2）由得，再根据，可知，即可解答； （3）根据平行线的性质可知，再根据，可知，得出，再证明，可知，然后根据三角形的面积公式求出m，可求，作，证明，可得，即可求出答案． 【小问1详解】 ∵，， ∴． ∵点， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴， ∴． 作，交于点P， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，平行线的性质等，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $