精品解析：广东省广州市白云区2024-2025学年九年级上学期期中数学试题

2024-2025上学期初三中段教育教学评价 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号（即考号，9位数，靠右边填涂）、考试科目等按要求涂写在答题卡上． 2．第I卷的答案必须答在选择题答题卡上；第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔或钢笔按各题要求答在答题卡上． 3．考试结束时，将选择题答题卡和第Ⅱ卷答题卷一并交回，试卷和草稿纸自己带走． 第I卷（选择题，共30分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 下列图形中，既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 3. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为　　 A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 4. 关于二次函数，下列叙述正确的是（ ） A. 函数的图象开口向下 B. 对称轴是轴 C. 当时，有最大值 D. 当时，随的增大而增大 5. 将一元二次方程x2﹣4x+1＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（　　） A. ﹣1 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知，二次函数的图象上有三个点，，，则有（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（　　） A. （0，4） B. （1，1） C. （1，2） D. （2，1） 8. 若关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 9. 已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）与x轴的交点分别是(−1，0)，(3，0) ，下列结论：①4ac−b2>0；②3a+c=0；③当a<0时，若直线y=2与已知抛物线有交点，则a<-；④若关于x的方程ax2+bx+c−m=0（m>0，m为实数）的一个根为−3，则一定存在一个实数n(0<n<m)，使得关于x的方程ax2+bx+c−n=0有一个整数解为4．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 函数最大值是______． 12. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______． 13. 已知是关于的方程的一个根，则__________． 14. 小王去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现参会人共送出礼物20件，若有人参加聚会，根据题意可列出方程为_____________________． 15. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是_________． 16. 如图，为等腰直角三角形，，，D为线段的中点，在上任意取一点P，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，的最小值为___________． 三、解答题（本小题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解一元二次方程：． 18. 如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AB=1，∠B=60°，求CD的长． 19. 如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）分别写出点A的坐标 ，点B的坐标 . （2）作出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1； （3）已知点M的坐标为（1，4），请你在x轴上找一点P，使得|PM-PB|的值最大，并直接写出点P的坐标 . 20. 某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元． （1）求二月份的销售额； （2）求三、四月份销售额的平均增长率． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 22. 毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第二象限内的一个动点，连接，，设点的横坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）请用含的代数式表示的面积； （3）当的面积为时，求点的坐标． 24. （1）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，请直接写出线段之间的关系：_______． （2）如图2，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． （3）如图3，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 25. 已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． （1）当时，求出点A，B的坐标； （2）若抛物线顶点P在直线上，请求出点P坐标； （3）若且抛物线在时，有最小值，求实数m的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025上学期初三中段教育教学评价 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共120分，考试用时120分钟． 注意事项： 1．答第I卷前，考生务必将自己的班级、姓名、准考证号（即考号，9位数，靠右边填涂）、考试科目等按要求涂写在答题卡上． 2．第I卷的答案必须答在选择题答题卡上；第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔或钢笔按各题要求答在答题卡上． 3．考试结束时，将选择题答题卡和第Ⅱ卷答题卷一并交回，试卷和草稿纸自己带走． 第I卷（选择题，共30分） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 下列图形中，既不是轴对称图形也不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后可以和原图形重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列方程是一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】解：A、含有两个未知数，故本选项错误； B、不是整式方程，故本选项错误； C、，符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、，方程二次项系数可能为0，故本选项错误； 故选C. 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3. 已知关于的方程的一个根为，则实数的值为　　 A. 1 B. ﹣1 C. 2 D. ﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】利用方程解的定义就可以得到关于的方程，从而求得的值． 【详解】解：关于的方程的一个根为， ， 解得． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方程的解的定义．解题的关键是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 4. 关于二次函数，下列叙述正确的是（ ） A. 函数的图象开口向下 B. 对称轴是轴 C. 当时，有最大值 D. 当时，随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，根据二次项系数大于0可得开口向上，一次项系数为0，可得对称轴为轴，进而得到当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，则当时，有最小值，据此可得答案． 【详解】解；∵二次函数解析式为，， ∴二次函数开口向上，对称轴为y轴，故A说法错误，B说法正确， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故D说法错误， ∴当时，有最小值，故C说法错误， 故选B． 5. 将一元二次方程x2﹣4x+1＝0化成（x+h）2＝k的形式，则k等于（　　） A. ﹣1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】将方程配方，即可确定出k的值． 【详解】解：方程x2﹣4x+1＝0，配方得：x2﹣4x+4＝3，即（x﹣2）2＝3， 则k＝3， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程，涉及配方法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 6. 已知，二次函数的图象上有三个点，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数图象性质即可判定，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：∵， ∴的对称轴为，开口向上， ∴图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 7. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在方格线的格点上，将三角形ABC绕点P旋转90°，得到△A′B′C′，则点P的坐标为（　　） A. （0，4） B. （1，1） C. （1，2） D. （2，1） 【答案】C 【解析】 【分析】选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P． 【详解】解：选两组对应点，连接后作其中垂线，两中垂线的交点即为点P，由图知，旋转中心P的坐标为（1，2） 故选：C． 【点睛】本题主要考查坐标与图形的变化﹣旋转，解题的关键是掌握旋转变换的性质． 8. 若关于x的一元二次方程，有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义及判别式的意义得到且，然后解不等式与方程即可得到满足条件的a的值． 【详解】根据题意得，且， 解得且； 故选：B． 9. 已知一次函数y=x+c的图象如图，则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一次函数的图象判断出<0, c>0，再判断二次函数的图象特征，进而求解. 【详解】由一次函数的图象可得：<0, c>0，所以二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴=>0,与y轴的交点在正半轴，符合题意的只有A.故选A. 【点睛】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，解题的关键是根据一次函数的图象判断出<0, c>0. 10. 抛物线y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）与x轴的交点分别是(−1，0)，(3，0) ，下列结论：①4ac−b2>0；②3a+c=0；③当a<0时，若直线y=2与已知抛物线有交点，则a<-；④若关于x的方程ax2+bx+c−m=0（m>0，m为实数）的一个根为−3，则一定存在一个实数n(0<n<m)，使得关于x的方程ax2+bx+c−n=0有一个整数解为4．其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】①根据二次函数图象与一元二次方程的关系可知，根据根的判别式可得结论； ②把x=-1代入一元二次函数，并根据对称轴的公式可得出结论； ③当抛物线与直线y=2有交点时，把x=1代入抛物线，则y≥2即可； ④根据抛物线的对称性可得，ax2+bx+c-m=0（m＞0，m为实数）的另一个根5，画出图象可直接判断． 【详解】解：①y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）与x轴有两个交点， ∴ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根， ∴Δ=b2-4ac＞0， ∴4ac-b2＜0，故①不正确； ②∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）与x轴的交点分别是（-1，0），（3，0）， ∴对称轴的直线x=-=1， ∴b=-2a， 当x=-1时，y=0， ∴a-b+c=0， 把b=-2a代入得a-（-2a）+c=0，即3a+c=0，故②正确； ③∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）与x轴的交点分别是（-1，0），（3，0）， ∴y=ax2+bx+c=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a， 当x=1时，y=a-2a-3a=-4a， ∵a＜0， ∴-4a≥2，解得a≤-；故③不正确； ④若关于x的方程ax2+bx+c-m=0即ax2+bx+c=m的一个根为-3，则另一个根为5， 由0＜n＜m可知，a＞0，如图所示， 由图可知，关于x的方程ax2+bx+c-n=0有一个整数解为4． 故④正确； 综上，正确的有②④． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，关键是掌握对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由Δ决定：Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 第II卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 函数最大值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二次函数的顶点式确定顶点坐标是，即可确定函数的最大值． 【详解】解：∵， ∴此函数的顶点坐标是， 又∵， 即当时，函数有最大值2． 故答案是：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，掌握二次函数顶点式并会根据顶点式求最值是解题关键． 12. 将抛物线向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线y=2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为， 故答案为： 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 13. 已知是关于的方程的一个根，则__________． 【答案】15 【解析】 【分析】求代数式的值，用整体代入即可． 【详解】∵m是一元二次方程x2 −2x−5=0的一个根， ∴m2-2m-5=0 ∴m2-2m=5 ∴3m2−6m=15 故答案为：15． 【点睛】本题考查了整体代入的方法，做题的关键是求出m2-2m=5，计算即可． 14. 小王去参加聚会，每两人都互相赠送礼物，他发现参会人共送出礼物20件，若有人参加聚会，根据题意可列出方程为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】设有人参加聚会，则每人送出件礼物，根据“共送礼物20件”，列出方程即可． 【详解】解：设有人参加聚会，则每人送出件礼物， 由题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出一元二次方程，是解题的关键． 15. 如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可知抛物线的对称轴为直线，与轴一个交点为，则另一个交点为，然后根据图象即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可知抛物线的对称轴为直线，与轴一个交点为， ∴抛物线与轴另一个交点为， ∴不等式的解集是， 故答案为：． 16. 如图，为等腰直角三角形，，，D为线段的中点，在上任意取一点P，连接，将线段绕点A逆时针旋转得到，的最小值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】取的中点，连接，，利用旋转的性质以及中点的定义得到，，，即可根据“边角边”得到从而得到，根据点到直线的距离可得，时，最小． 【详解】解：取的中点，连接，，如下图： 由旋转的性质可得， ∴ ∵，分别为、的中点， ∴ ∴ ∴，的最小值就是的最小值， ∵点P在上 ∴点时，最小，此时为等腰直角三角形 设，由勾股定理可得， 解得（负值舍去） 即的最小值为1 故答案为：1 【点睛】此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，得到的最小值就是的最小值． 三、解答题（本小题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可． 【详解】解： 或 解得， 18. 如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AB=1，∠B=60°，求CD的长． 【答案】1 【解析】 【分析】利用含30度的直角三角形三边的关系得到BC=2AB=2，再根据旋转的性质得AD=AB，则可判断△ABD为等边三角形，所以BD=AB=1，然后计算BC-BD即可． 【详解】∵∠BAC=90°，∠B=60°， ∴BC=2AB=2， 根据旋转的性质得：AD=AB， 而∠B=60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴BD=AB=1， ∴CD=BC-BD=2-1=1． ∴CD的长为1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，含30度的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质．证明△ABD是等边三角形是本题的关键． 19. 如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，在所给直角坐标系中解答下列问题： （1）分别写出点A的坐标 ，点B的坐标 . （2）作出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1； （3）已知点M的坐标为（1，4），请你在x轴上找一点P，使得|PM-PB|的值最大，并直接写出点P的坐标 . 【答案】（1）A（-1，0），B（-2，-2） （2）作图如图1， （3）作图如图2， P（-5，0）. 【解析】 【分析】（1）直接根据图形写出点A与点B的坐标； （2）分别作出点A、点B和点C关于原点的对称点A1、B1、C1顺次连接各点即可得到图形； （3）作M点关于x轴对称点N（1，-4），连接BN，交x轴与点P，此时|PM-PB|的值最大，求出直线NB的解析式，即可求出P点坐标． 【详解】（1）A（-1，0），B（-2，-2）； （2）略 （3）作M点关于x轴对称点N（1，-4）， 连接BN，交x轴与点P，此时|PM-PB|的值最大， 根据点N（1，-4），点B（-2，-2）， 则直线NB解析式为y=-x-， 令y=0，x=-5， 则P（-5，0）． 【点睛】本题主要考查了作图旋转变换的知识，利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，此题有一定的难度． 20. 某商场一月份的销售额为125万元，二月份的销售额下降了20%，商场从三月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，四月份的销售额达到了144万元． （1）求二月份的销售额； （2）求三、四月份销售额的平均增长率． 【答案】（1）100万元 （2） 【解析】 【分析】（1）利用二月份的销售额一月份的销售额，即可求出结论； （2）设三、四月份销售额的平均增长率为，利用四月份的销售额二月份的销售额平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：（万元）． 答：二月份的销售额为100万元． 【小问2详解】 设三、四月份销售额的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：三、四月份销售额的平均增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值． 【答案】（1）证明：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证； （2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 22. 毛泽东故居景区有一商店销售一种纪念品，这种商品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于20元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （2）求每天的销售利润W（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解可得关于y与x的函数解析式； （2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得． 【小问1详解】 解：设y与x的函数解析式为， 将、代入，得： 解得：， 所以y与x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：根据题意知，， ， 当时，W随x的增大而增大， ， 当时，W取得最大值，最大值为200， 答：每件销售价为20元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线在第二象限内的一个动点，连接，，设点的横坐标为． （1）求抛物线的函数表达式； （2）请用含的代数式表示的面积； （3）当的面积为时，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数，解一元二次方程，二次函数的图像及性质，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）连接，设，当时，求得（），从而根据面积公式即可求解； （3）由的面积为构建方程，求解得再根据点在第二象限，得，从而即可得解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于（），（）两点， 解得 ∴抛物线的函数表达式 【小问2详解】 解：连接，设， ∵抛物线与轴交于点， ∴当时，， ∴（）， ∵在第二象限， ， 【小问3详解】 解：由（）得，当的面积为时， ， 解得 ∵点在第二象限， ∴， ∴， ， ∴点的坐标为 24. （1）如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，请直接写出线段之间的关系：_______． （2）如图2，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出之间的关系，并说明理由． （3）如图3，在中，，，点D，E在边上，且，当，时，求的长． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证出结果； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知， ，在中，，可求得，所以，证出，利用得到结论； （3）同（2）方法，把绕点顺时针旋转得到，连接，，可证明，在中，，过点作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出即可得出答案． 【详解】（1），理由如下： 由旋转可得， ∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， （2），理由如下： 把绕点顺时针旋转得到，连接， 如下图： ， ， ， ， ， 即， ， 又， ∴， ， 即， 在和中 ， ， （3）把绕点顺时针旋转得到，连接， 如下图： ， ， ， ， 即， 又， ， 在和中 ， ， 过点作，垂足为， ， ， ， ， 【点睛】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是利用旋转转化线段关系，将分散的条件集中到同一个三角形求解． 25. 已知在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B（点A在点B左侧），与y轴相交于点C． （1）当时，求出点A，B的坐标； （2）若抛物线顶点P在直线上，请求出点P坐标； （3）若且抛物线在时，有最小值，求实数m的值． 【答案】（1），． （2）顶点坐标为：或顶点坐标为：． （3）的值为：． 【解析】 【分析】（1）把代入抛物线可得解析式为：，令，可得，再解方程可得答案； （2）先利用公式表示抛物线的顶点坐标为，再代入一次函数的解析式，再解方程可得答案； （3）抛物线的对称轴为直线，当时，如图，则，此时当时，函数取得最小值，当时，即，如图，此时当时，取得最小值，再建立方程求解即可，由，可得，当时，不符合题意舍去，从而可得答案． 【小问1详解】 解：当时，抛物线为：， 当时，则， ∴，即， 解得：，， ∵点A在点B左侧， ∴，． 【小问2详解】 ∵的顶点坐标为，即， ∵抛物线顶点P在直线上， ∴， 解得：，，经检验符合题意； 当时， ∴，， ∴顶点坐标为：． 当时， ∴，， ∴顶点坐标为：． 【小问3详解】 ∵抛物线的对称轴为直线，当时， 如图，则， 此时当时，函数取得最小值， ∴， 解得：， 当时，即，如图， 此时当时，取得最小值， ∴， 解得：，经检验不符合题意舍去； ∵，∴， 当时，不符合题意舍去， 综上：的值为：． 【点睛】本题考查的是求解二次函数与x轴的交点坐标，二次函数的顶点坐标，二次函数的增减性的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $