精品解析：广东省江门市 鹤山市2024-2025学年上学期九年级数学期中试题

2024-2025学年度第一学期阶段性自查 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分：120分，请把答案填涂在答题卡上） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A B. C. D. 2. 把抛物线向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数的图像如图，则一次函数y＝ax+c的大致图像可能是（　　　） A. B. C. D. 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数图象经过点 D. 当时，y随x的增大而减小 5. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 6. 如图，一块含角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到，当在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ） A. B. C. D. 7. 已知三角形两边的长分别为3和6，第三边的长为方程的根，则该三角形的周长为（ ） A 14 B. 16 C. 16或14 D. 以上都不对 8. 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（ ） A. 25元 B. 20元 C. 30元 D. 40元 9. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 12. 已知二次函数有最小值，则的取值范围是______． 13. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为______． 14. 若鸟卵孵化后，雏鸟为雄鸟与雌鸟的概率相同，若两枚鸟卵全部成功孵化，则两只鸟中至少有一只是雌鸟的概率是___________． 15. 如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为_____． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16 解方程：． 17. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，． 求a的取值范围； 是否存在实数a，使方程两个实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由． 18. 心理学家发现，在一定时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强． (1)当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内学生的接受能力逐步减弱？ (2)若用10分钟提出概念，学生的接受能力y的值是多少？ (3)如果用8分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在方格网中已知格点和点P，请仅用无刻度直尺完成以下作图． （1）画出，使得和关于点P成中心对称； （2）请在方格网中标出所有使以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形的D点． 20 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 21. 如图，是经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： （1）请按顺序写出点A，E，C的对应点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； 与D ；B 与；与F ；对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均 ； （2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 【数学活动】建立二次函数模型解决数字乘积问题 活动1：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，并说明理由． ，，，，，， 解题思路：的积最大，理由如下： 设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为， 根据题意，得： ， ，当 时，y有最大值，所以的值最大． 活动2：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是7，后两位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个积最大，并说明理由； ，，，，， 【问题解决】 （1）对于活动1，请你在横线上补全“解题思路”； （2）对于活动2，请你参照上述方法，提出猜想，并尝试用建立二次函数模型的方法证明你的猜想． 23. 综合与实践： 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； （3）小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期阶段性自查 九年级数学 （考试时间：120分钟，满分：120分，请把答案填涂在答题卡上） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．，是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意， B．若，不是一元二次方程，故本选项不符合题意， C．，方程是一元二次方程，故本选项符合题意； D．整理为：，不一元二次方程，故本选项不符合题意， 故选：C． 2. 把抛物线向右平移2个单位，然后向下平移1个单位，则平移后得到的抛物线解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】由“左加右减”的原则可知，抛物线向右平移2个单位所得抛物线是； 由“上加下减”的原则可知，抛物线向下平移1个单位所得抛物线是． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”的原则是解题的关键． 3. 已知二次函数的图像如图，则一次函数y＝ax+c的大致图像可能是（　　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据二次函数图像得出a，c的值，进而利用一次函数性质得出图像经过的象限． 【详解】解：根据二次函数开口向上则a＞0，根据c是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出c＜0， 故一次函数y＝ax+c的大致图像经过一、三、四象限， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图像以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的符号是解题关键． 4. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为 B. 顶点坐标为 C. 函数图象经过点 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象及性质进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数 ∴对称轴为，故A错误； ∴顶点坐标为，故B错误； 当时，，故C正确； ∵ ∴二次函数图象开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大，故D错误； 故选：C． 5. 关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解的概念和一元二次方程的定义，将代入方程可得：，解之求得a的值，再根据一元二次方程的定义求解可得． 【详解】解：根据题意将代入方程可得：， 解得：或， ∵一元二次方程， ∴，即， ∴， 故选：B． 6. 如图，一块含角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到，当在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案． 【详解】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C， ∴BC与B'C是对应边， ∴旋转角∠BCB'=180°-30°=150°． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键． 7. 已知三角形两边的长分别为3和6，第三边的长为方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 14 B. 16 C. 16或14 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程,先利用因式分解法解方程得，，再根据三角形三边的关系得到第三边为7或5，然后计算三角形周长，熟练解方程是解题的关键． 【详解】解：由得， 解得，， 三角形两边的长分别是3和6， 第三边为7或5， 三角形周长为或． 故选：C． 8. 童装专卖店销售一种童装，若这种童装每天获利y（元）与销售单价x（元）满足关系，若要想获得最大利润，则销售单价x为（ ） A. 25元 B. 20元 C. 30元 D. 40元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的最值问题是解题的关键，根据二次函数的性质可知，二次函数的最值是它的顶点的纵坐标，将写成顶点式的形式即可得到答案． 【详解】解：将写为顶点式的形式得：， ∴当时，取最大值， ∴要想获得最大利润，则销售单价为元， 故选：A． 9. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称性求出二次函数与与x轴的另一个交点坐标为，再根据二次函数与x轴两个交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的两个解即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，二次函数的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与与x轴的另一个交点坐标为， ∴关于的一元二次方程的解为， 故选：A． 10. 已知二次函数的图象经过点和．若，则的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，熟悉掌握二次函数的图像性质是解题的关键． 先判断函数的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性，则可求得的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴图象的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵二次函数的图象经过点和，且， ∴或， 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标 ：求关于原点对称的点的坐标．关于原点对称的两个点的纵坐标互为相反数，横坐标也互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 12. 已知二次函数有最小值，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．利用二次函数，当时，开口向上，有最小值，即可解答． 【详解】解：∵有最小值， ∴二次函数的图象开口向上， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为______． 【答案】16 【解析】 【分析】求出当时x的值即可得出答案． 【详解】解：由题意，当时，， 解得， ∴点A、B的分别为， ∴， 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，求出抛物线时，x的值是解题的关键． 14. 若鸟卵孵化后，雏鸟为雄鸟与雌鸟的概率相同，若两枚鸟卵全部成功孵化，则两只鸟中至少有一只是雌鸟的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，画出树状图列举出所有等可能的结果数，以及至少有一只是雌鸟的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有4种情况，至少有一只是雌鸟的有3种情况， 所以，至少有一只是雌鸟的概率是． 故答案为：． 15. 如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形和旋转的性质以及勾股定理等知识，利用正方形和旋转的性质得出，进而利用勾股定理得出的长，进而得出的长即可． 【详解】解：由题意可得出：， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ∴在中， 故答案为： 三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，理解一元二次方程的解法是解答关键．利用因式分解来解方程即可． 【详解】解：整理得， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 17. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，． 求a的取值范围； 是否存在实数a，使方程的两个实数根互为相反数？如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由． 【答案】（1）a＜ 且a≠0；（2）不存在. 【解析】 【分析】（1）根据题意，应满足两个条件：△＞0，二次项系数不等于0，由此求解即可；（2）利用根与系数的关系求得字母的值后（注意检验原方程是否有实数根），结合（1）的取值范围解答即可． 【详解】（1）已知方程有两个不相等实数根，则方程首先满足是一元二次方程， ∴a2≠0且满足△=（2a-1）2-4a2＞0， ∴a＜且a≠0； （2）不存在这样的a． ∵方程的两个实数根x1，x2互为相反数， 则x1+x2=- ， 解得a=， 经检验a=是方程的根． ∵（1）中求得方程有两个不相等实数根， a的取值范围是a＜且a≠0， 而a=＞（不符合题意）． 所以不存在这样的a值，使方程的两个实数根互为相反数． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的定义、根的判别式、解分式方程．解决问题时，只要是一元二次方程或说方程有两个实数根，则二次项系数不得为0；凡是利用根与系数的关系求得未知字母的值时，一定要注意代入原方程，看是否有实数根． 18. 心理学家发现，在一定时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位：分)之间满足函数关系y＝－0.1x2＋2.6x＋43(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强． (1)当x在什么范围内时，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内学生的接受能力逐步减弱？ (2)若用10分钟提出概念，学生的接受能力y的值是多少？ (3)如果用8分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比，学生的接受能力是增强了还是减弱了？通过计算来回答． 【答案】(1)在0≤x≤13时学生的接受能力逐步增强，在13<x≤30时学生的接受能力逐步减弱；(2)59　(3)学生的接受能力减弱了． 【解析】 【分析】（1）根据配方法，也可用公式法，将二次函数写成顶点式的形式，再利用函数性质求最值； （2）根据已知的函数关系，把x=10代入关系式； （3）把x=10代入关系式，比较函数值即可得出答案． 【详解】（1）∵y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1（x-13）2+59.9， ∴当0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强， 当13≤x≤30时，学生的接受能力逐步减弱； （2）当x=10时，y=-0.1×102+2.6×10+43=59， ∴第10分钟时，学生的接受能力是59， （3）当x=8时，y=-0.1×82+2.6×8+43=57.4， ∵57.4<59， ∴学生的接受能力减弱了. 【点睛】此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程、最值问题等，常用配方法结合图象解答问题将实际问题转化为求函数最值问题是关键． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，在方格网中已知格点和点P，请仅用无刻度直尺完成以下作图． （1）画出，使得和关于点P成中心对称； （2）请在方格网中标出所有使以点A，B，P，D为顶点的四边形是平行四边形的D点． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可． （2）分以，为对角线两种情况，结合平行四边形的判定确定点即可． 本题考查中心对称、平行四边形的判定，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：如图， 即为所求． 【小问2详解】 解：如图，当以为对角线时，四边形为平行四边形； 当以为对角线时，四边形为平行四边形． 则点和均为满足题意的点． 20. 如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，闭合开关或同时闭合开关，，都可使小灯泡发光． （1）求任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率． （2）求任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，列表法或画树状图法求随机事件的概率， （1）根据图示，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮，根据概率公式计算即可求解； （2）运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解 【小问1详解】 解：共有四个开关，，，， 当闭合一个开关时，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯不亮，单独闭合时小灯亮， ∴任意闭合其中一个开关小灯泡发光的概率是； 【小问2详解】 解：闭合其中两个开关时，出现等可能得结果如图所示， 共有中等可能结果，其中小灯泡发光的是共种， ∴任意闭合其中两个开关小灯泡发光的概率是． 21. 如图，是经过某种变换得到的图形，点A与点D，点B与点E，点C与点F分别是对应点，观察点与点的坐标之间的关系，解答下列问题： （1）请按顺序写出点A，E，C对应点的坐标，并说说对应点的坐标有哪些特征； 与D ；B 与；与F ；对应点坐标的特征是横坐标、纵坐标均 ； （2）若点与点也是通过上述变换得到的对应点，求a，b的值． 【答案】（1），，，互为相反数 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是几何变换的类型，熟知关于原点对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）根据各点在坐标系中位置写出各点坐标即可； （2）根据（1）中各对应点的坐标特点得出关于a，b的方程，求出a，b的值即可． 【小问1详解】 解：由图可知，， ，，， 对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数． 故答案为：，，，互为相反数； 【小问2详解】 由（1）知对应点坐标的特征：横坐标、纵坐标均互为相反数， ∵点与点也是通过上述变换得到的对应点， ，， ． 五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分） 22. 数学活动】建立二次函数模型解决数字乘积问题 活动1：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，并说明理由． ，，，，，， 解题思路：的积最大，理由如下： 设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为， 根据题意，得： ， ，当 时，y有最大值，所以的值最大． 活动2：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是7，后两位上的数组成的数的和等于100），猜想其中哪个积最大，并说明理由； ，，，，， 【问题解决】 （1）对于活动1，请你在横线上补全“解题思路”； （2）对于活动2，请你参照上述方法，提出猜想，并尝试用建立二次函数模型的方法证明你的猜想． 【答案】（1），，5 （2）的积最大，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，会把实际问题转化为二次函数问题是解决问题的关键． （1）由，求得抛物线的对称轴，从而得到抛物线的顶点横坐标，即可求得函数最大值； （2）设两个乘数的积为w，其中一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为a，则一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为， 从而可得关系式为：，再求解抛物线的对称轴，利用二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为， 根据题意，得：， ， ∴当时，y有最大值，所以的值最大， 故答案为：，，5； 【小问2详解】 的积最大，理由如下： 设两个乘数的积为w，其中一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为a，则一个乘数的十位上的数与个位上的数组成的数为， 由题意得：， ∴抛物线对称轴为：a=50， ∴当时，w的最大值， ∴当时，的积最大． 23. 综合与实践： 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连结，点在抛物线上． （1）求抛物线的解析式； （2）小明探究点位置时发现：如图1，点在第一象限内的抛物线上，连结，，面积存在最大值，请帮助小明求出面积的最大值； （3）小明进一步探究点位置时发现：点在抛物线上移动，连结，存在，请帮助小明求出时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点和点代入得到关于、的二元一次方程组，求解即可； （2）先确定直线的解析式，设点，则点，根据三角形的面积公式列出函数解析式求解即可； （3）分两种情况求解：当点在轴上方时和当点在轴下方时． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点和点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 如图1，过点作轴交线段于点，垂足为点， ∵抛物线与轴交于点， 当时，， ∴， 设直线的表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，的面积有最大值，面积的最大值为； 【小问3详解】 如图2，当点在直线的上方的抛物线上时， ∵， ∴， ∴点，的纵坐标相等，即点的纵坐标为， 当时，则， 解得，，， ∴， 如图3，当点在直线的下方的抛物线上时， 设交轴于点， ∵， ∴， 设， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴， 设直线的解析式为，过点，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：， ， ∴， 综上所述，点D的坐标为或． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数与坐标轴的交点，平行线的判定，勾股定理，等腰三角形的判定，二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$