精品解析：河北省衡水市第三中学2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试题 一．选择题（共12小题，36分） 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义：y＝（k≠0）进行判断可得答案． 【详解】A选项：不是反比例函数，故A错误； B选项：y=x-1即为y=,故是反比例函数，故B正确； C选项：y不是x反比例函数，故C错误； D选项：不是反比例函数，故D错误； 故选B． 【点睛】考查了反比例函数的定义，重点是将一般式y＝（k≠0）转化为y=kx-1（k≠0）的形式． 2. 如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为80米，那么这两根标杆在坡面上的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出，进而得出答案． 【详解】解：由题意得：， 则， 故选：C． 3. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，锐角三角函数，取格点，连接，，则共线，根据勾股定理及其逆定理得到，所以，再利用正弦定义求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，连接，， 根据网格特点，共线， 因为每个小正方形的边长均为， 所以由勾股定理得：，，， ∴， ∴， 在中，， 故选：． 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A. （―1，2） B. （―9，18） C. （―9，18）或（9，―18） D. （―1，2）或（1，―2） 【答案】D 【解析】 【详解】解：方法一：∵△ABO和△A′B′O关于原点位似 ∴△ ABO∽△A′B′O且＝ .∴＝＝ ∴A′E＝AD＝2 OE＝OD＝1 ∴A′（-1,2） 同理可得A′′（1,-2） 方法二：∵点A（-3，6）且相似比为 ∴点A的对应点A′的坐标是（-3×，6×）， ∴A′（-1,2） ∵点A′′和点A′（-1,2）关于原点O对称 ∴A′′（1,-2） 故选：D． 5. 如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，二次根式有意义的条件．由一元二次方程的定义可得，根据二次根式成立的条件列不等式，再根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，即列出不等式，再分别解不等式，联立求出k的范围即可． 【详解】解：由题意知：， ∴ 且 ． 故答案为：D． 6. 如图，P是反比例函数的图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点M，N，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，反比例函数的应用，三角形的面积公式，分别求得点M、N的坐标是解决本题的关键． 设点P的坐标为，则点N的坐标为，点的坐标为，即可求得，，再根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：设点P的坐标为， 轴，轴， ， 点N的坐标为，点的坐标为纵坐标为， ，解得， 点的坐标为， ，， ， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把P(，)代入两解析式得出和的值，整体代入即可求解C 【详解】∵函数与的图像交于点P(，)， ∴，，即，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了代数式的求值以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标同时满足两个函数的解析式． 8. 如图，在反比例函数的图像上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，若，则的值为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，由题意可分别得四点的坐标，则可表示三个阴影部分的面积，再由面积和为3建立关于k的方程，解方程即可求得k的值． 【详解】解：∵点，，，在反比例函数的图象上，且它们的横坐标依次为1，2，3，4， ∴，，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， 故选：C． 9. 如图，矩形内接于扇形，顶点P在上，且不与M，N重合，当点P在上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的值（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆的认识，矩形的性质．四边形是扇形的内接矩形，根据矩形的性质半径，所以长度不变． 【详解】解：连接， ∵四边形是扇形的内接矩形， ∴半径， ∴， ∴当点P在上移动时，的值保持不变， 故选：C． 10. 如图，中，，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴，利用AA定理和平行证得△COE∽△OBF∽△AOD，然后根据相似三角形的性质求得，，根据反比例函数比例系数的几何意义求得，从而求得，从而求得k的值． 【详解】解：过点A作AD⊥x轴，过点C作CE⊥x轴，过点B作BF⊥x轴 ∴CE∥AD，∠CEO=∠BFO=90° ∵ ∴∠COE+∠FOB=90°，∠ECO+∠COE=90° ∴∠ECO=∠FOB ∴△COE∽△OBF∽△AOD 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵点在反比例函数的图象上 ∴ ∴ ∴，解得k=±8 又∵反比例函数位于第二象限， ∴k=-8 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数的性质和相似三角形的判定和性质，正确添加辅助线证明三角形相似，利用数形结合思想解题是关键． 11. 如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设DE=x，则AD=8-x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△BCF的比例线段求得结果即可． 【详解】过点C作CF⊥BG于F，如图所示： 设DE=x，则AD=8-x， 根据题意得：（8-x+8）×3×3=3×3×6， 解得：x=4， ∴DE=4， ∵∠E=90°， 由勾股定理得：CD=， ∵∠BCE=∠DCF=90°， ∴∠DCE=∠BCF， ∵∠DEC=∠BFC=90°， ∴△CDE∽△BCF， ∴， 即， ∴CF=． 故选A． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，是反比例函数图像上的一个动点，连接，，当的面积为定值时，相应的点有且只有个，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，解题的关键是理解题意并掌握相关知识．过点作于点，根据题意可得：此时点到的距离是点在下方反比例函数图像上点到的最大距离，即点位于点或或处（点，，到直线的距离相等），当为的中点时，即为所求，先求出，，进而求出，再将直线向左平移个单位，得到直线，使得该直线与反比例函数图像只有一个交点，则直线的解析式为，与反比例函数联立可得，然后利用判别式求出，进而求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 当的面积为定值时，相应的点有且只有个， 此时点到的距离是点在下方反比例函数图像上点到的最大距离，即点位于点或或处（点，，到直线的距离相等）， 由图可知，当为的中点时，即为所求， 联立：， 解得：或， ，， 此时， 将直线向左平移个单位，得到直线，使得该直线与反比例函数图像只有一个交点， 直线的解析式为， 与反比例函数联立可得：， 整理得：， 反比例函数与直线只有一个交点， ， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 解得：， ， ， 故选：B． 二．填空题（共4小题，12分） 13. 已知一组数据：，，，…，的平均数是2，则另一组数据：，，…，的平均数是______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据数据：，，，…，的平均数是2，得出数据，，…，的平均数是，再根据每个数据都减2，即可作答． 【详解】解：∵数据，，，…，的平均数是2， ∴数据，，…，的平均数是， ∴数据，，…，的平均数． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是算术平均数的求法．一般地设有n个数据，，，…，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化． 14. 如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键． 过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可． 【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示： ， ， ∵点A在双曲线上，点B在， ，， ， ， ， ， ，轴， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：4． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点、、…在轴上，、、…在直线上，若，且、…都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为、、…．则可表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】直线与轴的成角，可得，，，，，；根据等腰三角形的性质可知，，，，；根据勾股定理可得，，，，再由面积公式即可求解． 【详解】解：△、△△都是等边三角形， ，， 直线与轴的成角，， ， ， ∵， ， 同理，，， ，，，， ，， ， 同理，，， ，，，， ，，，； 故答案是：． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，等边三角形和直角三角形的性质；能够判断阴影三角形是直角三角形，并求出每边长、应用相似三角形规律求解是解题的关键． 16. 如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时． （1）当时，则______； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是______． 【答案】 ①. ## ②. 4 【解析】 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ， 即， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵P为线段的中点， ∴， ∴， ∵， ， ， ∴的值最小时，的值最小，此时的值最小， ∵，，， ∴， 根据垂线段最短可知，当时，此时， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边上的中线的性质、勾股定理等知识，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 三．解答题（共10道题） 17. 解方程和计算 （1） （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，特殊角的三角函数值的运算，掌握解一元二次方程的方程，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）将特殊角的三角函数值代入，计算即可． 【小问1详解】 解： ， ∴； 【小问2详解】 原式 ． 18. 某校从九年级男生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 （1）甲组成绩的众数____________乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； （2）求乙组的平均成绩； （3）这40个学生成绩的中位数是____________； （4）经计算甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，请你判断哪个小组的成绩比较整齐． 【答案】（1） （2）8.5分 （3）8分 （4）乙组 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和统计表、众数、中位数、平均数以及方差，从统计图中获取有用数据是解答的关键． （1）根据众数是所给数据中出现次数最多的数据分别求解甲乙两组的众数即可解答； （2）根据平均数的求解方法求解即可； （3）将40个数据从小到大排列，第20个和21个数据的平均数即为中位数； （4）根据方差越小，数据越稳定，成绩越整齐求解即可． 【小问1详解】 解：根据统计图和统计表数据，甲组成绩的众数为8分，乙组成绩的众数为8分， ∴甲组成绩的众数乙组成绩的众数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：乙组的平均成绩为（分）； 【小问3详解】 解：将甲乙两组成绩的40个数据从小到大排列，其中，7分的有3人，8分的有18人，9分的有11人，10分的有8人， ∴第20个和21个数据都是8分， ∴这40个学生成绩的中位数是（分）； 【小问4详解】 解：∵甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，， ∴乙组的成绩比较整齐． 19. 配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值． 例如：求代数式的最值． 解： （分离常数项） （提二次项系数） （配方） 当时，代数式取得最小值是3 运用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式的最值； （2）关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1）代数式取得最大值是5 （2） 证明： 无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的判别式． （1）根据非负数得性质得，所以当时，式子有最大值5； （2）由题意得，整理得，即可判断，进而得证结论． 【小问1详解】 解： 当时，代数式取得最大值是5； 【小问2详解】 略 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，且与轴，轴交于点，． （1）填空：___________；___________；在第一象限内，当时，的取值范围为___________； （2）连接，，求的面积； （3）点在线段上，过点作轴的垂线，交反比例函数图像于点，若，求点的坐标． 【答案】（1）6；1； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先把代入可求出，再把代入，求得，再结合图象可判断出的取值范围； （2）根据可求解； （3）设设点E的坐标为 ，则点F的坐标为，可得，求出a的值即可 【小问1详解】 把代入得， ∴ ∴反比例函数解析式为 把代入，得 ∴ 由图象得，在第一象限内，当时，的取值范围为 故答案为：6；1； 【小问2详解】 把和代入中， 得解得 ∴直线的表达式为， 当时， ∴， ∴； 【小问3详解】 设点E的坐标为，则点F的坐标为， ∴， 又， ∴，解得， ∴点F的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法函数的解析式，三角形的面积的计算，正确地求出一次函数的解析式是解题的关键． 21. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到的距离为米，到地面的距离为1.2米，求点到地面的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1）点到地面的距离的长为0.2米 （2） 轿车能驶入小区 理由：当，米时 ∵， 米 （米）， 在中，（米）， （米）， 轿车能驶入小区． 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，理解题意，构建直角三角形解题是关键； （1）过点作，垂足为，证明，在中，米，，再进一步可得答案； （2）当，米时，可得，求解米，在中，求解米，再进一步可得答案． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为， 结合题意得：，， ， 在中，米， （米）， 米， （米）， 点到地面的距离的长为0.2米； 【小问2详解】 略 22. 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）①；②50 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为a，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）①根据“上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个”，列式即可求解；②根据月销售利润每个头盔的利润月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，即可求出结论． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为a， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：① ②依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为50元， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 23. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点在轴的正半轴上，且，求的面积； （3）若点在轴上，且为锐角，直接写出的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的表达式为 （2）的面积为 （3）的取值范围是：或 【解析】 【分析】（1）将点，可求出点坐标，代入，求出值，即可求解， （2）根据反比例函数的对称性，可得点坐标，由直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可求的长度，进而求出，即可求解， （3）找到为直角时的临界点点，分两种情况讨论，即可求解， 本题考查了，反比例函数与一次函数交点，求反比例函数解析式，反比例函数的对称性，直角三角形斜边中线等于斜边一半，解题的关键是：熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半，及其逆应用． 【小问1详解】 解：将得：， ， ， 将点代入得：， ， 故答案为：反比例函数的表达式为， 【小问2详解】 解：依题意可得：点和点关于原点对称，则有点是的中点， 点， ， ， ， ， 则点， ， 故答案为：的面积为， 【小问3详解】 解：由（2）知：， ①当点在轴负半轴上时，当时，， 当为锐角时，，即：， ②当点在轴正半轴上时，当时，， 当为锐角时，，即：， 故答案为：的取值范围是：或． 24. 如图，在中，，，．点在边上，过点作交折线于点．点为上一点，且，以为边向其右侧作正方形． （1）当点与点重合时，的长为__________． （2）当点在边上时，求正方形边长． （3）当点是直角边的中点时，求的长． （4）设正边形的边与边的交点为，当点将边分成两部分时，直接写出长的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】（1）首先根据勾股定理解得，当点与点重合时，利用面积法解得的值，然后在中，利用勾股定理计算的值即可； （2）过点作于点，交于点，易知四边形为正方形，设，则，证明，利用相似三角形的性质解得的值，即可获得答案； （3）当点是直角边的中点时，易知，利用三角函数可解得的值；当点是直角边的中点时，则有，利用三角函数可解得的值，然后计算的值即可； （4）分两种情况讨论：当点在上时，延长交于点，设与交于点，设，则，可推导此时仅有，利用三角形函数解得的值，即可求得的值；当点在上时，结合三角形函数可得，即当点在上时，点将边分成两部分，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 如下图， 当点与点重合时， ∵， ∴，即， 解得， ∴在中，可有． 故答案为：； 【小问2详解】 如下图，过点作于点，交于点， 由（1）可知，， ∵四边形为正方形， ∴，， 设，则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，即正方形边长为； 【小问3详解】 当点是直角边的中点时，如下图， 则， ∵， ∴； 当点是直角边的中点时，如下图， 则， ∵， ∴， ∴． 综上所述，的长为或； 【小问4详解】 当点在上时，如下图，延长交于点，设与交于点， 设，则， 此时， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 故此时可有， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，解得， ∴； 当点在上时，如下图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即当点在上时，点将边分成两部分， 此时． 综上所述，长的取值范围为或． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、解直角三角形等知识，解题关键是结合题意作出图形，并灵活运用分类讨论的思想分析问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上学期九年级期中考试数学试题 一．选择题（共12小题，36分） 1. 下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，某登山队在攀登一座坡角为的山，每爬上一段山坡就会插一根标杆作为标记，每相邻两根标杆之间的水平距离为80米，那么这两根标杆在坡面上的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为．若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（―3，6）、B（―9，一3），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（ ） A. （―1，2） B. （―9，18） C. （―9，18）或（9，―18） D. （―1，2）或（1，―2） 5. 如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（　　） A. B. 且 C. 且 D. 且 6. 如图，P是反比例函数的图象上一点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交反比例函数的图象于点M，N，则的面积为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在反比例函数的图像上，有点，，，，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，若，则的值为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 无法确定 9. 如图，矩形内接于扇形，顶点P在上，且不与M，N重合，当点P在上移动时，矩形的形状、大小随之变化，则的值（ ） A. 变大 B. 变小 C. 不变 D. 不能确定 10. 如图，中，，，点在反比例函数的图象上，交反比例函数的图象于点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 如图1，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱长进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于，两点，是反比例函数图像上的一个动点，连接，，当的面积为定值时，相应的点有且只有个，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共4小题，12分） 13. 已知一组数据：，，，…，的平均数是2，则另一组数据：，，…，的平均数是______． 14. 如图，点在双曲线上，连接并延长，交双曲线于点，点为轴上一点，且，连接，若的面积是6，则的值为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点、、…在轴上，、、…在直线上，若，且、…都是等边三角形，从左到右的小三角形（阴影部分）的面积分别记为、、…．则可表示为______． 16. 如图，，，，，点在线段上运动，当点从点运动到点时． （1）当时，则______； （2）设为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是______． 三．解答题（共10道题） 17. 解方程和计算 （1） （2）． 18. 某校从九年级男生中任意选取40人，随机分成甲、乙两个小组进行“引体向上”体能测试，根据测试成绩绘制出统计表和如图所示的统计图（成绩均为整数，满分为10分）． 甲组成绩统计表 成绩/分 7 8 9 10 人数/人 1 9 5 5 （1）甲组成绩的众数____________乙组成绩的众数（填“”“”或“”）； （2）求乙组的平均成绩； （3）这40个学生成绩的中位数是____________； （4）经计算甲组成绩的方差为0.81，乙组成绩的方差为0.75，请你判断哪个小组的成绩比较整齐． 19. 配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值． 例如：求代数式的最值． 解： （分离常数项） （提二次项系数） （配方） 当时，代数式取得最小值是3 运用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式的最值； （2）关于的方程．求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根． 20. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，且与轴，轴交于点，． （1）填空：___________；___________；在第一象限内，当时，的取值范围为___________； （2）连接，，求的面积； （3）点在线段上，过点作轴的垂线，交反比例函数图像于点，若，求点的坐标． 21. 某小区门口安装了汽车出入道闸．道闸关闭时，如图1，四边形为矩形，长3米，长1米，与水平地面垂直．道闸打开的过程中，边固定，连杆，分别绕点，转动，且边始终与边平行． （1）如图2，当道闸打开至时，边上一点到的距离为米，到地面的距离为1.2米，求点到地面的距离的长． （2）一辆轿车过道闸，已知轿车宽1.8米，高1.6米．当道闸打开至时，轿车能否驶入小区？请说明理由．（参考数据：，，） 22. 公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔每个进价为30元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为40元时，月销售量为600个，在此基础上售价每涨价1元，则月销售量将减少10个．设该品牌头盔售价为x元，月销售量为y． ①直接写出y关于x的函数关系式； ②为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？ 23. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点和点． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点在轴的正半轴上，且，求的面积； （3）若点在轴上，且为锐角，直接写出的取值范围． 24. 如图，在中，，，．点在边上，过点作交折线于点．点为上一点，且，以为边向其右侧作正方形． （1）当点与点重合时，的长为__________． （2）当点在边上时，求正方形边长． （3）当点是直角边的中点时，求的长． （4）设正边形的边与边的交点为，当点将边分成两部分时，直接写出长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $