精品解析：河南省安阳市林州市湘豫名校联考2024-2025学年高三上学期11月期中数学试题

湘豫名校联考 2024年11月高三一轮复习诊断考试 数学 注意事项： 1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，使得成立，则下列说法正确的是（ ） A. ，为假命题 B. ，为假命题 C. ，为真命题 D. ，为真命题 【答案】B 【解析】 【分析】先写出存在量词命题的否定，然后判断真假性，从而确定正确答案. 【详解】命题是真命题， ，是假命题. 故选：B 2. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据函数定义域的求法可求得集合，由集合相等定义、交集的概念以及集合包含关系可确定结果. 【分析】由得：且，即； 由得：，即； ，，AB错误； ，，C错误，D正确. 故选：D. 3. 若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算得出复数即对应的共轭复数，再由复数的几何意义得到结果. 【详解】因为， 所以， 所以在复平面内对应点的坐标为， 位于第三象限. 故选：C. 4. 设非零向量的夹角为，若，则“为钝角”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积和模长关系分析可知等价于，进而结合充分、必要条件分析判断. 【详解】因为， 则，解得， 即等价于， 若为钝角，则，即充分性成立； 若，则为钝角或平角，即必要性不成立； 综上所述：“为钝角”是“”的充分不必要条件. 故选：C. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系及同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】因为，所以.所以. 故选：B. 6. 当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系和基本不等式求最值. 【详解】因为，所以. 由，得. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以实数的最小值为16. 故选：D. 7. 已知数列的前项和为，对任意正整数，总满足，若，则的前项和（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由前项和与的关系得到，证明数列是等差数列，得出和通项公式，从而得到的前项和. 【详解】令，依题意得，即，则 即， 所以数列是以1为首项､1为公差的等差数列. 所以. ∴ 所以. 故选：A. 8. 已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先研究函数的单调性，得到最大值，最小值.再结合换元，转化为二次函数零点问题，分类讨论，得到答案. 【详解】函数在上单调递增，在上单调递减，所以取得最大值；取得最小值. 令，则可化为有两个零点，，且. 当时，即时，则需，即，解得； 当时，，满足题意 当时，，即当4时，，满足题意； 当时，，不满足题意， 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为实数，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】由不等式的基本性质即可判断选项AB，不等式的基本性质结合指数函数的性质即可判断C选项，不等式的基本性质结合对数函数的性质即可判断D选项. 【详解】A选项，当时结论不成立，A错误； B选项，由不等式的性质可知B正确； C选项，由，得，当时，结论不成立，C错误； D选项，由，得，由不等式的性质可知，D正确. 故选：BD. 10. 已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（ ） A. 点是中线的中点 B. 点在中线上但不是的中点 C. 与的面积之比为1 D. 与的面积之比为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平面向量的线性运算得到，则AB可判断，利用三角形中线的性质得，则CD可判断. 【详解】因为的中点为，所以. 又，所以， 所以，即为的中点，A正确，B错误. 由A正确可知，，所以C，D正确. 故选：ACD. 11. 已知是函数的图象上的两点，对坐标平面内的任一点图象上的点都满足，若，则下列结论正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于点中心对称 C. 若，则实数的取值范围为 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】利用指数函数单调性及复合函数的单调性判断A；利用对称性定义判断B；利用对称性及单调性解不等式判断C；利用倒数相加求和判断D. 【分析】对于A，函数，由在上单调递减，得函数在上单调递增，A错误； 对于B，由，得是线段的中点，由，得， 又点在的图象上，则，即， 设是的图象上任意一点，点关于点的对称点为， 由，得，又， 即有，因此点在的图象上，即的图象上的任一点关于点的 对称点也在的图象上，函数的图象关于点中心对称，B正确； 对于C，当时，有，即当时，， 由，得，又在上单调递增， 因此，解得或，C正确； 对于D，令，则， 得 ，因此，D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角的对边分别为，若0，则的最长边是__________.（用题中字母表示） 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理、余弦定理以及大边对大角即可得解. 【详解】根据正弦定理，得. 由余弦定理，得，所以角是钝角. 所以的最长边是. 故答案为：. 13. 已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集，结合韦达定理可得，，然后代入目标不等式化简即可得解. 【详解】不等式的解集为， 则，且分别为方程的两根， 由根与系数的关系，得即. 将代入不等式， 化简得，即. 容易判断或时，均不符合题意，所以. 所以原不等式即为， 依题意应有且，所以. 故答案为： 14. 已知函数是定义在上的连续可导函数，为其导函数，且恒成立.若当时，，且，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】构建，分析可知，结合导数可得，再构建，利用导数判断其单调性，结合单调性解不等式即可. 【详解】设， 因为恒成立，则. 因为，当时，， 可知在上单调递增，则， 所以对都有，且，可得， 由，可得. 令，则， 可知在上单调递减. 由，可化为， 即，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是构建两个函数，，进而利用导数判断其单调性，分析求解即可. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数在复平面内对应的点分别为是坐标原点，点是复平面内一点，且. （1）若，求与的关系； （2）若不共线，三点共线，求的值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示即可求解； （2）由三点共线，得，再结合平面向量基本定理即可求解. 【小问1详解】 由题意，得， 则. 所以. 又，所以， 即， . 因为，所以与的关系为. 【小问2详解】 若三点共线，则有且或1. 所以有， 即.① 又由，得， 即.② 由①②知解得且或1. 所以的值为1. 16. 已知函数是偶函数，且其图象上相邻的最高点与最低点间的距离为. （1）求的单调递增区间； （2）在中，其内角的对边分别为，已知2，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）又辅助角公式化简函数，由函数为偶函数得出的值，相邻最高点和最低点的距离得到的值，得到解析式并求出单调递增区间. （2）由正弦定理和和差角公式得到，由特殊函数值得到并用余弦定理求出边长从而得出三角形面积. 【小问1详解】 ， 所以由函数为偶函数，知. 又，所以，即有. 因为，所以有. 所以. 又其图象上相邻的最高点与最低点间的距离为，且， 所以有，解得. 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由正弦定理，及， 得， 化简可得，即. 又，所以. 由，及余弦定理， 得，解得或（舍去），所以. 又因为，所以. 所以. 17. 等差数列中，已知，其前项和为，且对任意正整数都成立. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用已知，可求得等差数列的首项以及公差，即可求解； （2）将等差数列带入到，可求出数列是首项为，公比为的等比数列，根据等比数列前项和即可求解. 【小问1详解】 设数列的公差为，则在中分别取， 得即 由①得或. 因为，所以. 代入②，得或. 当时，，与矛盾，舍去； 当时，. 所以的通项公式为. 【小问2详解】 方法一：由（1）知， 所以. 所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以数列的前项和为 . 方法二：由（1）知， 所以 . 所以 . 所以. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若在其定义域内不存在极值，求实数的值. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为. （2）. 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数，求得导函数的零点，由表得出函数的单调区间； （2）分类讨论的取值，①时，导函数只有一个零点，且零点左右区间导函数值符号相反，函数不单调；②或由（1）知函数不单调；③时，导函数恒小于0，单调递减，可得结论. 【小问1详解】 函数的定义域为， . 因为，所以由， 得或. 又， 所以随的变化情况如下表： 0 - 0 + 0 - 减函数 极小值 增函数 极大值 减函数 由上表可知，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知， 当时，，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，存在极值，不符合题意； 当时，由（1）可得存在极值，不符合题意 当时，恒有不存在极值，符合题意； 当时，由（1）可知令时，得或. ∵， ∴的单调递减区间为，单调递增区间为， 存在极值，不符合题意. 综上所述，. 19. 已知函数，当的值能使在区间上取得最大值时，我们就称函数为“关于的界函数”. （1）若为“关于的界函数”，求实数的取值范围； （2）在数列中，已知，且，判断时，是不是“关于的界函数”？若是，请证明：当时，的值不小于“关于的界函数”；若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，求证：. 【答案】（1） （2）是，证明：因为，由（1）可知，当时，为“关于的界函数”. 当时，.（*） 要证当时，的值不小于“关于的界函数”， 即证. 又，得， 所以. 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以，即有. 检验知时，结论也成立，故. 所以. 所以由（*）式知，. 所以当时，的值不小于“关于的界函数”. （3）证明：由（2）知，当时，，有成立， 所以 . 由（1）可知时，上式取得最大值， 所以. 所以. 所以原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）通过求导函数来研究函数的单调性和最值，可知当时，取得最大值，再结合为“关于的界函数” 可得实数的取值范围； （2）由和（1）可判断时，是“关于的界函数”，构造等比数列可得，进而得，再结合界函数的定义即可证明； （3）由（2）可知当时，，有成立，从而得，再结合（1）可得时，上式有最大值，进而可证. 【小问1详解】 由， 得. 因为，所以当时，在上单调递减，无最值，不符合题意. 当时，时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，取得最大值. 故若为“关于的界函数”，则实数的取值范围是. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题通过函数与数列知识的交汇，考查导数的应用､数列的递推､等比数列及不等式的证明等有关知识，学生运用所学知识分析问题､解决问题的能力，以及逻辑推理能力和计算能力是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘豫名校联考 2024年11月高三一轮复习诊断考试 数学 注意事项： 1.本试卷共6页.时间120分钟，满分150分.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号填写在试卷指定位置，并将姓名､考场号､座位号､准考证号填写在答题卡上，然后认真核对条形码上的信息，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.作答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将试卷和答题卡一并收回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，使得成立，则下列说法正确的是（ ） A. ，为假命题 B. ，为假命题 C. ，为真命题 D. ，为真命题 2. 已知集合，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若复数满足，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 设非零向量的夹角为，若，则“为钝角”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（ ） A. 6 B. 10 C. 12 D. 16 7. 已知数列的前项和为，对任意正整数，总满足，若，则的前项和（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数有4个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为实数，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知中，点是边的中点，点是所在平面内一点且满足，则下列结论正确的有（ ） A. 点是中线的中点 B. 点在中线上但不是的中点 C. 与的面积之比为1 D. 与的面积之比为 11. 已知是函数的图象上的两点，对坐标平面内的任一点图象上的点都满足，若，则下列结论正确的有（ ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于点中心对称 C. 若，则实数的取值范围为 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，角的对边分别为，若0，则的最长边是__________.（用题中字母表示） 13. 已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 14. 已知函数是定义在上的连续可导函数，为其导函数，且恒成立.若当时，，且，则不等式的解集为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知复数在复平面内对应的点分别为是坐标原点，点是复平面内一点，且. （1）若，求与的关系； （2）若不共线，三点共线，求的值. 16. 已知函数是偶函数，且其图象上相邻的最高点与最低点间的距离为. （1）求的单调递增区间； （2）在中，其内角的对边分别为，已知2，且，求的面积. 17. 等差数列中，已知，其前项和为，且对任意正整数都成立. （1）求的通项公式； （2）令，求数列的前项和. 18. 已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）若在其定义域内不存在极值，求实数的值. 19. 已知函数，当的值能使在区间上取得最大值时，我们就称函数为“关于的界函数”. （1）若为“关于的界函数”，求实数的取值范围； （2）在数列中，已知，且，判断时，是不是“关于的界函数”？若是，请证明：当时，的值不小于“关于的界函数”；若不是，请说明理由； （3）在（2）的条件下，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $