浙江省浙北六校联考2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年浙江省浙北六校八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 2.下列各组长度的线段能构成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是(    ) A. 两点之间线段最短 B. 长方形的四个角都是直角 C. 长方形是轴对称图形 D. 三角形具有稳定性 4.能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是(    ) A. ， B. ， C. ， D. ， 5.如图，这是一个平分角的仪器，，，将点放在一个角的顶点，使、分别与这个角的两边重合，可证≌，从而得到就是这个角的平分线．其中证明≌的数学依据是(    ) A. B. C. D. 6.如图，的周长为，的垂直平分线交于点，垂足为，若，则的周长是(    ) A. B. C. D. 7.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知，是网格上两个格点，如果点也是图中的格点，那个使得为等腰三角形的格点有个． A. B. C. D. 8.如图，的面积为，平分，于点，连接，则的面积为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，点沿折叠后与点重合，则的度数是(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，，的平分线分别交、于点、，、相交于点，连接下列结论：；；；点到三边的距离相等；其中错误的结论有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11.写出命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题：          ． 12.如图，已知，请你添加一个条件：______，使得≌． 13.已知一个等腰三角形的两条边长分别为和，则此等腰三角形的周长为______． 14.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动，若，则的度数是______． 15.如图，三角形的面积为，与交于点，且，，则图中阴影部分的面积为______． 16.如图，已知，是内一点，，、分别是、上的动点，则的周长的最小值是______． 三、解答题：本题共8小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在中，，，是的一条角平分线，求的度数． 18.本小题分 如图，点，，，在一条直线上，，，． 求证：≌； 若，，求的长． 19.本小题分 已知：如图，，，求证：． 小桐的证明方法如下框： 证明：连结 在和中， ≌ 小桐的证明是否正确？若正确，请写出这两个三角形全等的理由；若错误，请写出你的证明过程． 20.本小题分 如图，在中，． 作的角平分线尺规作图，保留作图痕迹，不写作法； 若，，求的面积． 21.本小题分 如图是等边三角形，是中线，延长到，使． 求的度数． 求证：． 22.本小题分 如图，在与中，，，，连接，，且点在上． 求证：； 和有何位置关系？请说明理由． 23.本小题分 在中，，，，点在上，且，过点作射线与在同侧，若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点运动时间为秒．连接、． 如图，当时，求证：≌； 如图，当于点时，求此时的值． 24.本小题分 定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”． 三角形内角度数如图所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； 图是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数； 在中，其最小的内角，过顶点的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：选项A、、的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2.【答案】  【解析】解：根据三角形的三边关系，得 A、，不能组成三角形，故此选项错误； B、，不能组成三角形，故此选项错误； C、，能够组成三角形，故此选项正确； D、，不能组成三角形，故此选项错误． 故选：． 根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可． 此题主要考查了三角形三边关系，判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 3.【答案】  【解析】解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形常常钉上两根木条，这样做的依据是三角形具有稳定性， 故选：． 根据三角形具有稳定性进行解答． 此题主要考查了三角形的稳定性，是需要识记的内容． 4.【答案】  【解析】解：、，是锐角，故本选项不符合题意； B、不是钝角，故本选项不符合题意； C、，是锐角，故本选项不符合题意； D、，是钝角，故本选项符合题意； 故选：． 根据题意举出一个反例为一个钝角与一个锐角的差不是锐角，进行判断即可． 本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 5.【答案】  【解析】解：在和中， ， ≌． 故选：． 利用证明≌，可得答案． 本题主要考查了全等三角形的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即、、、，直角三角形可用定理，但、，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 6.【答案】  【解析】解：的垂直平分线交于点，垂足为， ，， ， 的周长， ， 的周长， 故选：． 根据中垂线的性质，得到，，根据三角形的周长求出的长，再根据，推出的周长等于，即可． 本题考查线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：以为腰的等腰三角形：以点为圆心，为半径作圆形成的等腰三角形有个，以点为圆心，为半径作圆形成的等腰三角形有个； 以为底边的格点不存在． 故使得为等腰三角形的格点有个． 故选：． 根据题意，结合图形，分两种情况讨论：为等腰；为底边． 本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 8.【答案】  【解析】解：延长交于点，如图所示， 平分，， ，， ， ， ， ， ，， ， 的面积为， 的面积为， 故选：． 延长交于点，先根据已知条件可得，再根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形中线的性质可得，，进一步可得的面积． 本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形中线的性质，熟练掌握这些知识是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：如图，连接， ，为的平分线， ． 又， ． 是的垂直平分线， ， ， ． 为的平分线，， 直线垂直平分， ， ， 将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合， ． ； 在中，， ． 故选：． 连接，先求出，进而求出，求出，最后根据等腰三角形的性质，问题即可解决． 本题考查的是翻折变换及线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：，只有在是等边三角形时才成立，现有条件无法证明是等边三角形， 错误； ， ， 平分，平分， ，， ， ， 正确； 平分， 当时，， 而原不确定， 错误； ，的平分线分别交、于点，，、相交于点， 为三角形的内心， 点到三边的距离相等正确． 正确； 如图，在上截取， 平分， ， 在和中， ， ≌， ． ， ， ， 又平分， ， ， 在和中， ， ≌． ， ， ， 正确． 个正确， 故选：． 当是等边三角形时才成立； 利用三角形的内角和，角平分线的性质可得，所以， 当时，，所以错误； 根据角平分线上的点到角两边的距离相等可作判断； 作辅助线，证明两对三角形全等：≌，≌，可得结论． 本题考查三角形的角平分线，三角形的内心；全等三角形的判断．特别是全等三角形的判定是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．并且注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形相等关系． 11.【答案】内错角相等，两直线平行  【解析】【分析】 本题考查学生对逆命题的定义的理解及运用． 将原命题的条件与结论互换即得到其逆命题． 【解答】 解：原命题的条件为：两直线平行，结论为：内错角相等 其逆命题为：内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 12.【答案】答案不唯一  【解析】解：添加， 在和中， ， ≌， 故答案为：答案不唯一． 要判定≌，已知，，具备了一组边对应相等，一组对应角相等，故添加后可根据判定≌． 本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、． 注意：判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 13.【答案】或  【解析】解：等腰三角形的两条边长分别为和， 有以下两种情况： 当为该等腰三角形的腰时，此时该等腰三角形的三边分别为：，，， ，符合构成三角形的条件， 该三角形的周长为：； 当为该等腰三角形的腰时，此时该等腰三角形的三边分别为：，，， ，符合构成三角形的条件， 该三角形的周长为：， 综上所述：该等腰三角形的周长为或． 故答案为：或． 依题意分两种情况讨论如下：当为该等腰三角形的腰时，当为该等腰三角形的腰时，对于每一种情况，分别求出三边，并用三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，进而再求出周长即可． 此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形三边之间的关系是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 14.【答案】  【解析】解：设， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， ． 故答案为：． 设，根据，则，再根据得，则，由此解出，则，进而可得的度数． 此题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的外角性质，准确识图，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的外角性质是解决问题的关键． 15.【答案】  【解析】解：如图，连接， 设，， ， ，， ， ， ， ， 三角形的面积为， ， ， ， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 连接，设，，根据三角形中线的性质得出，，再表示出的面积，根据表示出的面积，最后根据三角形的面积为即可求出的值． 本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：作点关于，的对称点，，连接交于，交于，连接，，则此时的周长的最小值， ，，，，， ， ， 是等边三角形． 的周长， ． 的周长的最小值是， 故答案为：． 分别作点关于，的对称点，，连接交于，交于，的周长，然后证明是等边三角形，即可求解． 本题考查了轴对称最短路线问题，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明是等边三角形是关键． 17.【答案】解：，是的角平分线， ． ， ．  【解析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是是解答此题的关键． 先根据角平分线的定义求出的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． 18.【答案】证明：， ， 在和中 ， ≌两角及其夹边对应相等的两个三角形全等； 解：≌， 全等三角形的对应边相等， ， ．  【解析】利用证明≌即可； 根据全等三角形的性质，推出，再根据线段的和差关系进行求解即可． 本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键． 19.【答案】解：小桐的证明是利用证明三角形全等，而不能判定三角形全等，故小桐的证明不正确； 连接， ， ， ， ， ．  【解析】根据不能判定三角形全等，可知，小桐的证明是错误的，连接，等边对等角，得到，根据，得到，等角对等边，得到即可． 本题考查全等三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定． 20.【答案】解：如图所示，即为所求； 设点到的距离为， 是的角平分线， ， ．  【解析】根据尺规作角平分线的方法，作图即可； 根据角平分线的性质，得到点到边的距离等于的长，再利用面积公式进行计算即可． 本题考查尺规作图作角平分线，角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质和尺规作图． 21.【答案】解：三角形是等边， ， 又， ， 又， ； 证明：等边中，是的中点， ， 由知， ， ．  【解析】根据等边三角形的性质得到，，证明，结合三角形的外角的性质可得答案； 根据角之间的关系求得，根据等角对等边即可得到． 此题主要考查等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到是正确解答本题的关键． 22.【答案】证明：， ， ， 在和中， ， ≌， ； 解：，理由如下： 如图，交于点， 由得≌， ， ，，， ， ．  【解析】根据等腰直角三角形的性质，然后证明≌，即可得到结论； 根据全等三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出，根据垂直定义即可得解． 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握三角形全等的证明是解题的关键． 23.【答案】证明：如图，， ， ， 又， ， ， 又， ， ， 又，， ， 在和中， ≌； 解：如图，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ≌， ， ， ， ．  【解析】由、可推出，即可根据判定≌； 由，可推出，即可根据判定≌，再由全等三角形的性质即可得解． 此题考查了全等三角形的判定与性质，根据判定≌、根据判定≌是解题的关键． 24.【答案】解：如图，即为所求： 如图，即为所求： 如图， 当，时，， ， ， ； 当，时，， ， ； 当时，， ， ， ； 当，时，，， ， ， 此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意； 综上所述，的度数为或或．  【解析】在上取一点，连接，使得，线段即为所求； 取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解； 分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可． 本题考查了等腰三角形的定义和性质，三角形的内角和与三角形的外角性质，解题的关键是数形结合、分类讨论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$