2.6对数与对数函数专项训-2025届高三数学一轮专题复习

2025高考数学一轮复习-2.6-对数与对数函数-专项训练模拟练习 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)＝( ) A．0 B．1 C．9 D．13 2．函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是( ) A. B． C. D． 3．函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为( ) A．(0，＋∞) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，－2) 4．若函数y＝a|x|(a>0，且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝loga|x|的图象大致是( ) 5．设a＝log30.5，b＝log0.20.3，c＝20.3，则a，b，c的大小关系是( ) A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a 6．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，这次会议是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会，相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步．假设在2022年以后，我国每年的GDP(国内生产总值)比上一年平均增加8%，那么最有可能实现GDP翻两番的目标的年份为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( ) A．2 032 B．2 035 C．2 038 D．2 040 7．已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝2x的图象关于直线y＝x对称，g(x)为奇函数，且当x>0时，g(x)＝f(x)－x，则g(－8)等于( ) A．－5 B．－6 C．5 D．6 8．已知函数f(x)＝|lg x|,0<a<b，且f(a)>f(b)，则( ) A．ab>1 B．0<ab<1 C．ab＝1 D．(a－1)(b－1)>0 二、多选题 9．下列运算错误的是( ) A．2log10＋log0.25＝2 B．log427×log258×log95＝ C．lg 2＋lg 50＝10 D．log(2＋)(2－)－(log2)2＝－ 10．函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图象过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 11．已知0<a<b<1，下列不等式成立的是( ) A.a>b B．a>b C．loga>logb D．loga>logb 12．关于函数f(x)＝ln ，下列说法中正确的有( ) A．f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．f(x)为奇函数 C．f(x)在定义域上是增函数 D．对任意x1，x2∈(－1,1)，都有f(x1)＋f(x2)＝f 三、填空题 13．若a＝(a>0)，则loga＝________. 14．f(x)＝(loga)x在R上为减函数，则实数a的取值范围是________. 15．已知函数f(x)＝ln＋sin x＋1，则f＋f＝_________. 16．函数f(x)＝log2·log(2x)的最小值为________. 四、解答题 17．已知函数f(x)＝loga(1＋x)－loga(1－x)，其中a>0且a≠1. (1)求函数f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由； (3)若f＝2，求使f(x)>0成立的x的集合． 18．已知函数f(x)＝log3(9x＋1)－x. (1)证明：函数f(x)为偶函数； (2)若f(m)>f(2－m)，求实数m的取值范围． 【B级　能力提升】 1．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝logbx的图象可能是( ) 2．(多选题)若10a＝4,10b＝25，则( ) A．a＋b＝2 B．b－a＝1 C．ab>8lg22 D．b－a>lg 6 3．已知函数f(x)＝|lg x|，若a＝f，b＝f，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为( ) A．a>b>c B．b>c>a C．a>c>b D．c>a>b 4．若函数f(x)＝loga(a>0，且a≠1)在区间内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( ) A．(0，＋∞) B．(2，＋∞) C．(1，＋∞) D． 5．(多选题)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则( ) A．f(x)在(2,6)上单调递减 B．f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2 C．f(x)在(2,6)上无最小值 D．f(x)的图象关于直线x＝4对称 6．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0，且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a＝ 　；若函数g(x)＝ax＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为________. 7．已知函数f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)． (1)若f(1)＝1，求f(x)的单调区间； (2)是否存在实数a，使f(x)的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 8．已知函数f(x)＝a(log2x)2－2alog2x＋b－1(a>0)在区间[4,8]上的最大值为2，最小值为－1. (1)求实数a，b的值； (2)若对任意的x∈[1,4]，f(x)≤klog2x恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案 【A级　基础巩固】 一、单选题 1．( D )[解析]　原式＝(log253＋log2252＋log235)·(log52＋log5222＋log5323)＝·(log52＋log52＋log52)＝log25×3log52＝13.故选D. 2．( C )[解析]　函数f(x)＝＋lg(5－3x)的定义域是，即. 3．( D )[解析]　函数y＝f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y＝f(x)是由y＝logt与t＝g(x)＝x2－4复合而成，又y＝logt在(0，＋∞)上单调递减，g(x)在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y＝f(x)在(－∞，－2)上单调递增．选D. 4．( B )[解析]　由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝logax在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝loga|x|的图象关于y轴对称．因此y＝loga|x|的图象应大致为选项B. 5．( A )[解析]　因为对数函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，所以log30.5<log31＝0.因为对数函数y＝log0.2x在(0，＋∞)上单调递减，所以0＝log0.21<log0.20.3<log0.20.2＝1.因为指数函数y＝2x在R上单调递增，所以20.3>20＝1.综上可知，a<b<c. 6．( D )[解析]　由题意，建立方程，根据对数运算性质，可得答案．设2022年我国GDP(国内生产总值)为a，在2022年以后，每年的GDP(国内生产总值)比上一年平均增加8%，则经过n年以后的GDP(国内生产总值)为a(1＋8%)n，由题意，经过n年以后的GDP(国内生产总值)实现翻两番的目标，则a(1＋8%)n＝4a，lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1，则n＝＝＝＝＝＝＝≈18，故到2040年GDP基本实现翻两番的目标．故选D. 7．( C )[解析]　由已知，函数y＝f(x)与函数y＝2x互为反函数，则f(x)＝log2x.由题设，当x>0时，g(x)＝log2x－x，则g(8)＝log28－8＝3－8＝－5.因为g(x)为奇函数，所以g(－8)＝－g(8)＝5. 8．( B )[解析]　由题意得0<a<b<1或0<a<1<b.当0<a<b<1时，显然0<ab<1；当0<a<1<b时，由f(a)>f(b)得－lg a>lg b，∴lg a＋lg b＝lg(ab)<0，∴0<ab<1.综上可知，0<ab<1. 二、多选题 9．( ABC )[解析]　对于A,2log10＋log0.25＝log(102×0.25)＝log52＝－2，A错误； 对于B，log427×log258×log95＝××＝＝，B错误； 对于C，lg 2＋lg 50＝lg 100＝2，C错误； 对于D，log(2＋)(2－)－(log2)2＝－1－2＝－，D正确．故选ABC. 10．( BCD )[解析]　作出函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的大致图象如图所示，则函数f(x)的图象过第二、第三、第四象限．故选BCD. 11．( AC )[解析]　因为a>b，b>b，所以a>b，故A正确； 因为a<b，b<b，所以a<b，故B错误；因为loga>logb，logb>logb，所以loga>logb，故C正确； 因为loga<loga，loga<logb， 所以loga<logb，故D错误．故选AC. 12．( BD )[解析]　函数f(x)＝ln ＝ln， 其定义域满足(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1， ∴定义域为{x|－1<x<1}，∴A不对． 由f(－x)＝ln ＝ln－1＝－ln ＝－f(x)，是奇函数，∴B对． 函数y＝－1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性，同增异减， ∴f(x)在定义域内是减函数，C不对． f(x1)＋f(x2)＝ln ＋ln ＝ln＝f，∴D对． 三、填空题 13．[解析]　∵a＝＝3(a>0)，∴a＝， ∴a＝4，∴loga＝4. 14．[解析]　∵f(x)＝(loga)x在R上为减函数， ∴0<loga<1，即log1<loga<log. ∴<a<1. 15．[解析]　令g(x)＝ln＋sin x，则函数g(x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称， 又g(－x)＝ln＋sin(－x)＝ln－1－sin x＝－ln－sin x＝－g(x)， 所以函数g(x)为奇函数，所以g＋g＝0， 所以f＋f＝＋＝g＋g＋2＝2. 16．[解析]　依题意得f(x)＝log2x·(2＋2log2x)＝(log2x)2＋log2x＝2－≥－，当log2x＝－，即x＝时等号成立，所以函数f(x)的最小值为－. 四、解答题 17．[解析]　(1)要使函数有意义，则 解得－1<x<1， 即函数f(x)的定义域为(－1,1)． (2)∵f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x)＝－[loga(x＋1)－loga(1－x)]＝－f(x)， ∴f(x)是奇函数． (3)若f＝2， ∴loga－loga＝loga4＝2， 解得：a＝2， ∴f(x)＝log2(1＋x)－log2(1－x)， 若f(x)>0，则log2(x＋1)>log2(1－x)， ∴x＋1>1－x>0， 解得0<x<1， 故不等式的解集为(0,1)． 18．[解析]　(1)证明：由解析式知：函数定义域为R， f(－x)＝log3(9－x＋1)＋x＝log3(1＋9x)－log332x＋x＝log3(9x＋1)－x＝f(x)，所以f(x)为偶函数． (2)由f(x)＝log3(9x＋1)－x＝log3，令t＝3x∈(0，＋∞)且递增， 令v＝t＋，则t∈(0,1)上递减，t∈(1，＋∞)上递增，又y＝log3v递增， 所以x∈(－∞，0)上f(x)递减，x∈(0，＋∞)上f(x)递增，又f(x)为偶函数， 由f(m)>f(2－m)，可得|m|>|2－m|，即－|m|<2－m<|m|， 当m<0时，m<2－m<－m无解；当m>0时，－m<2－m<m，可得m>1； 综上，m>1. 【B级　能力提升】 1．( C )[解析]　由lg a＋lg b＝0，得ab＝1. ∴f(x)＝a－x＝－x＝bx， 因此f(x)＝bx与g(x)＝logbx单调性相同． A，B，D中的函数单调性相反，只有C的函数单调性相同． 2．( ACD )[解析]　由10a＝4,10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，则a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A正确； b－a＝lg 25－lg 4＝lg >lg 6且lg <1，故B错误，D正确； ab＝lg 4·lg 25＝4lg 2·lg 5>4lg 2·lg 4＝8lg22，故C正确．故选ACD. 3．( C )[解析]　∵a＝＝|－lg 4|＝lg 4，b＝＝|－lg 2|＝lg 2，c＝|lg 3|＝lg 3，且f(x)＝lg x在(0，＋∞)上单调递增，∴lg 4>lg 3>lg 2，即a>c>b.故选C. 4．( A )[解析]　令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)>0，所以a>1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝2－，因为M的单调递增区间为.又x2＋x>0，所以x>0或x<－，所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)． 5．( BCD )[解析]　f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，由得函数的定义域为(2,6)，令t＝(x－2)·(6－x)，因为二次函数t＝(x－2)(6－x)＝－x2＋8x－12在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，且当x＝4时，t＝4，所以t＝(x－2)(6－x)∈(0,4]，又函数y＝ln t在t∈(0,4]上单调递增，所以由复合函数的单调性可得f(x)在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，故A错误；因为t∈(0,4]，所以y＝ln t∈(－∞，2ln 2]，即f(x)∈(－∞，2ln 2]，所以f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2，无最小值，故B、C正确；因为f(4－x)＝ln(4－x－2)＋ln(6－4＋x)＝ln(2－x)＋ln(2＋x)，f(4＋x)＝ln(4＋x－2)＋ln(6－4－x)＝ln(2＋x)＋ln(2－x)，所以f(4－x)＝f(4＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，故D正确． 6．[解析]　当a>1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上单调递减， ∴无解；当0<a<1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上单调递增，∴解得a＝.∵g(x)＝x＋m－3的图象不经过第一象限，∴g(0)＝m－3≤0，解得m≥－1，即实数m的取值范围是[－1，＋∞)． 7．[解析]　(1)因为f(1)＝1，所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，即a＝－1， 此时f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋2x＋3>0，得－1<x<3， 即函数f(x)的定义域为(－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3，则g(x)在(－1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减． 又y＝log4x在(0，＋∞)上单调递增， 所以f(x)的单调递增区间是(－1,1)，单调递减区间是(1,3)． (2)假设存在实数a，使f(x)的最小值为0，则h(x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1，因此应有解得a＝.故存在实数a＝，使f(x)的最小值为0. 8．[解析]　(1)令t＝log2x，x∈[4,8]，则t∈[2,3]，设m(t)＝at2－2at＋b－1(a>0)， 因为a>0，m(t)图象的对称轴为直线t＝1，所以m(t)在[2,3]上单调递增， 则即解得 所以实数a的值为1，b的值为0. (2)由f(x)≤klog2x，得(log2x)2－2log2x－1≤klog2x， 令t＝log2x，x∈[1,4]，则t∈[0,2]，t2－2t－1≤kt， 当t＝0时，－1≤0恒成立，即k∈R； 当t∈(0,2]时，t2－2t－1≤kt⇔k≥＝t－－2， 令g(t)＝t－－2，则只需k≥g(t)max， 由于y＝t，y＝－均在(0,2]上单调递增，所以g(t)＝t－－2在(0,2]上单调递增， 所以g(t)max＝g(2)＝2－－2＝－，所以k≥－. 综上，实数k的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$