精品解析：河北省邢台市威县2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

八年级上学期期中综合测试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题有四个选项，其中只有一个选项符合题意） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 如果一个三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的值不可能是（ ） A. 4 B. 9 C. 12 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形三边关系得出a的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：根据题意，得，即， 故选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 3. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，先标注图形，再根据“边角边”证明 ，可得，则答案可得． 【详解】解：如图所示，， ∴， ∴． ∵, ∴． 故选：B． 4. 如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质．解题的关键是掌握三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． 根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：由图可知，， ， ． 故选：C． 5. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据SSS，SAS，AAS逐一判定，其中SSA不一定符合要求． 【详解】A. ．根据SSS一定符合要求； B. ．根据SAS一定符合要求； C. ．不一定符合要求； D. ．根据AAS一定符合要求． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定，解决问题的关键是熟练掌握判定三角形全等的SSS，SAS，AAS三个判定定理． 6. 如图，在五边形中，若，分别平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了多边形内角和定理，三角形内角和定理．根据多边形内角和定理，可得，再由角平分线的定义，可得，然后根据三角形内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∵分别平分，， ∴， ∴， ∴． 故选：B 7. 从边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个边形分成个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了对角线分成的三角形个数问题，解一元一次方程等知识点，根据多边形过一个顶点的对角线条数与分成的三角形个数之间的关系列方程求解是解题的关键． 经过边形的一个顶点的所有对角线把这个边形分成个三角形，据此关系列方程求解即可． 【详解】解： 经过边形的一个顶点的所有对角线把这个边形分成个三角形， ， 解得：， 故选：． 8. 已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题侧重考查关于x轴、y轴对称的点的坐标，解一元一次不等式组， 首先根据关于x轴对称的点的坐标的关系得到点P关于x轴对称的点的坐标为，根据点在第一象限可得不等式组，解之即可． 【详解】解：∵点关于x轴的对称点为，且在第一象限， ∴， 解得：． 故选B． 9. 如图，在中，，点D，P分别是图中所作直线和射线与的交点，根据图中尺规作图的痕迹判断，以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了基本作图：作角平分线及作线段的垂直平分线，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的性质等知识，掌握基本尺规作图是解题的关键． 利用基本作图得到平分，利用基本作图可得到D点为的垂直平分线与的交点，则根据线段垂直平分线的性质得到，所以可对B选项进行判断；再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，则，接着利用得到，可对A、C选项进行判断；根据三角形内角和定理计算出，则可对D选项进行判断． 【详解】解：由作图痕迹得到平分，D点为的垂直平分线与的交点， ∴，所以B选项不符合题意； ∵， ∴， ∵平分， ∴； ∴， ∴， 所以A选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， 所以C选项不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 10. 下列语句：①角的对称轴是角的平分线；②两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的两侧；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个能全等的图形一定能关于某条直线对称，其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的相关知识点，掌握相关结论即可. 【详解】解：角的对称轴是角的平分线所在的直线，故①错误； 两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的两侧或在对称轴上，故②错误； 一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，故③正确； 两个能全等的图形不一定能关于某条直线对称，跟全等图形的摆放位置有关，故④错误； 故选：A 11. 已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(　 　) A. 2a＋2b－2c B. 2a＋2b C. 2c D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】∵a、b、c为△ABC的三条边长， ∴a+b-c＞0，c-a-b＜0， ∴原式=a+b-c+（c-a-b） =0． 故选：D． 【点睛】考点：三角形三边关系． 12. 如图，AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上，且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，则下列结论错误的是（　　） A. △EBM≌△DCM B. 若S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点 C. MA平分∠EMD D. 若E是AB的中点，则BM+AC＜EM+BD 【答案】D 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质分别证明△ABD≌△ACE，△EBM≌△DCM，△AEM≌△ADM即可判断选项A、B、C，延长ME至N，使得EN =EM，连接AN，证明△ANE≌△BME，得到AN=BM，由CE=BD和三角形三边关系可判断选项D． 【详解】解：∵AB=AC，∠BAD＝∠CAE，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠B＝∠C，BD=CE， ∵AB=AC，AE＝AD， ∴AB－AE=AC－AD， ∴BE=CD，又∠B＝∠C，∠EMB＝∠DMC， ∴△EBM≌△DCM（AAS），故选项A正确，不符合题意； ∴ME=MD，又AE=AD，AM=AM， ∴△AEM≌△ADM（SSS）， ∴∠AME＝∠AMD，S△AEM=S△ADM， ∴MA平分∠EMD，故选项C正确，不符合题意； 若S△BEM＝S△ADM，则S△BEM＝S△AEM， ∴ME为△AMB的中线， ∴点E为AB的中点，故选项B正确，不符合题意； 延长ME至N，使得EN =EM，连接AN， 若E是AB的中点，则AE=BE， 又EN =EM，∠AEN＝∠BEM， ∴△ANE≌△BME(SAS)， ∴AN=BM，又BD=CE， ∴BM+AC=AN+AC＞CN=EN+CE=EM+BD， 即BM+AC＞EM+BD，故选项D错误，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、三角形的中线性质、角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并能灵活的运用是解答的关键． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，自行车的车架上常常会焊接一条横梁，运用的数学原理是________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】根据三角形具有稳定性即可作答． 【详解】解：焊接一条横梁之后，在自行车的中部就形成了一个三角形， 三角形具有稳定性，能让整个自行车结构更加稳定， 故答案为：三角形具有稳定性． 【点睛】本题考查了三角形的性质，掌握三角形具有稳定性是解答本题的关键． 14. 如图，平面直角坐标系中，，若A点的坐标为，B，C两点的纵坐标均为，D，E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为___________个单位． 【答案】5 【解析】 【分析】如图，作于，于，根据全等三角形的性质得到，，推出（AAS），根据全等三角形的性质得到，根据点的坐标为，轴，，两点的纵坐标均为，得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，作于，于， ∵， ∴，，， 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵点的坐标为，轴，，两点的纵坐标均为， ∴， ∴， ∴点到轴的距离为5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了坐标与图象的性质的运用，垂直的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 15. 如图，C处在B处的北偏西方向，C处在A处的北偏西方向，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据方向角是视线与正南或正北方向的夹角，因而可以过，，两点分别作出正南正北方向的线，就可得到一组平行线，根据平行线的性质和三角形内角和的性质即可求解． 【详解】解：如图，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，方向角的定义，熟练掌握方向角的问题与平行线、三角形内角和的性质的综合应用是解此题的关键． 16. 如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是____． 【答案】16 【解析】 【分析】由四边形ABCD为正方形可以得到∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，又∠ABE＝∠D＝90°，而∠EAF＝90°由此可以推出∠DAF+∠BAF＝90°，∠BAE+∠BAF＝90°，进一步得到∠DAF＝∠BAE，所以可以证明△AEB≌△AFD，所以S△AEB＝S△AFD，那么它们都加上四边形ABCF的面积，即可四边形AECF的面积＝正方形的面积，从而求出其面积． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠D=∠ABC=90°，AD=AB， ∴∠ABE=∠D=90°， ∵∠EAF=90°， ∴∠DAF+∠BAF=90°，∠BAE+∠BAF=90°， ∴∠DAF=∠BAE， ∴△AEB≌△AFD， ∴S△AEB=S△AFD， ∴它们都加上四边形ABCF的面积， 可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=4×4=16； 故答案为：16． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质、正方形的面积公式，正方形的性质，关键在于求证△AEB≌△AFD． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17. 已知n边形的内角和． （1）嘉嘉同学说，能取；琪琪同学说，也能取．嘉嘉、琪琪的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，请说明理由； （2）若n边形变为边形，发现内角和增加了，用列方程的方法确定x． 【答案】（1） 嘉嘉的说法对，琪琪的说法不对． ∵， ∴， 解得， ∵， ∴， 解得， ∵n为整数， ∴不能取， 故嘉嘉的说法对，琪琪的说法不对； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查多边形的内角和的计算，解题的关键是： （1）首先根据题意列出方程，求解n的值，再根据n值是正整数，来确定是否从在； （2）根据题意列方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）请以轴为对称轴，画出与对称的，并直接写出点，，的坐标； （2）求的面积； （3）点与点关于轴对称，求，的值． 【答案】（1） 如图，即为所求作： ，， （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）分别作出点，，的关于轴的对称点，再顺次连接即可，然后根据图形直接写出点，，的坐标； （2）直接根据三角形的面积公式列式计算即可； （3）根据关于轴对称的点的横坐标相等、纵坐标互为相反数列方程求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知：，，； 【小问2详解】 解：的面积是：； 【小问3详解】 解：点与点关于轴对称， ， 解得：，． 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，写出直角坐标系中点的坐标，三角形的面积公式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称变换的定义和性质是解题的关键． 19. 已知：．求作：的平分线． 作法：（I）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （Ⅱ）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C． （Ⅲ）画射线，射线即为所求． 问题1： 小亮按照上面做法画出了图形，如图1.请问就是的角平分线的依据是_______． 问题2： 课后老师留了一道思考题，还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）？ 下面是一位同学给出的方法： 如图2，在已知的上，分别取，再分别过点M，N连续放置三角板画出直角边，交点为P，画射线，则平分．请你帮这位同学证明：平分． 问题3连接，求证 【答案】（1）； （2）∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线； （3）如图2， 由（2）知， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上， 又∵， ∴点O在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴ ． 【解析】 【分析】本题主要考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定，线段的垂直平分线的判定等知识点，掌握基本作图以及全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据边边边证明，根据全等三角形的性质得出，即可得证； （2）证明，根据全等三角形的性质得出，即可得证； （3）由（2）知，根据全等三角形的性质得出，得出点P在线段的垂直平分线上，由得出点O在线段的垂直平分线上，进而即可得解． 【详解】（1）如图1，连接、, 根据作图的过程知， 在与中， ， ∴， ∴， ∴为的平分线， 故答案为：； （2）略 （3）略 20. 如图①，将一块等腰直角三角板的直角顶点C置于直线l上，其，，图②是由①抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别是D、E． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ， ∴（AAS）； （2）9 【解析】 【分析】（1）观察图形，结合已知条件，根据AAS即可证明； （2）由（1）知，根据全等三角形的对应边相等，得出，，进而可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴，， ∵ ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，余角的性质，关键是根据AAS证明三角形全等． 21. 定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； （2）如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 【答案】（1） （2）①是“准互余三角形”；②的度数是或 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，理解新定义，运用分类讨论思想是解题的关键； （1）根据“准互余三角形”可知，，即可得解； （2）①根据角平分线的定义可得，再根据直角三角形的性质可得，符合定义，即可得解； ②分两种情况讨论，和，分别求出，再根据直角三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：是“准互余三角形”，， ， ； 【小问2详解】 解：①是“准互余三角形”，理由如下：如下图， 是的平分线， ， ， ， ， 是“准互余三角形”； ②如图， 由题意得：， 是“准互余三角形”， 当时， ， ， ； 当时， ， ， ； 综上所述，的度数是或． 22. 情景再现：数学课上老师带领同学们探究角平分线的性质 问题情境：已知是的平分线，P是射线上的一点，点C，D分别在射线，上，连接，． （1）初步探究：如图1，当，时，与的数量关系是_______． （2）性质运用：如图2，若，点C，D分别在射线，上运动，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由． 【答案】（1） （2） 还成立，理由如下： 如图，过点P作，，垂足分别为E，F， ∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，四边形内角和，能够在图中构造适合的辅助线是解决本题的关键． （1）利用证明，根据全等的性质即可得出； （2）过点P点作于E，于F，由角平分线的性质得出，证明，可得出． 【小问1详解】 解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 略 23. 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，在中，为边上一点，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形的三边关系等知识； （1）利用三角形的中线的性质即可解决问题； （2）延长至，使，连接证明，推出A，利用三角形的三边关系即可解决问题； 【详解】（1）解：过点作垂直于， ∵与是积等三角形， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接 ∵与为积等三角形， 在与中， ∴ ∴ 在中 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵为正整数， ∴或3； 24. 如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． （1）求证：． （2）动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①当时，__________（用含的代数式表示）；点是线段上的一点（不与点重合），设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵是边上的高，是边上的高， ∴， ∵，，， ∴， 在和中， ∴； （2）①或；或． ②或 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，四边形的内角和，高线的定义，熟练掌握三角形全等的判定与性质，采用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据高线的定义及等角的余角相等得出，利用即可得证； （2）①根据题干中的条件可得出依题意，或化简即可；根据，得到，结合图形即可得出； ②分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：∵， ∴， 由（1）可得， ∴， 当时，点在线段上，如图， 此时，，； 当时，点在射线上且在右边，如图， 此时，，； 故答案为：或；或． ②解：存在， 如图2，当时， 在和中， ， ∴， ∵，，∴， ； 如图3，当时， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级上学期期中综合测试卷 时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题有四个选项，其中只有一个选项符合题意） 1. 下列手机中的图标是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果一个三角形的三边长分别为5，8，a，那么a的值不可能是（ ） A. 4 B. 9 C. 12 D. 13 3. 如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（　　） A. B. C. D. 4. 如图是一副三角尺拼成的图案，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块．小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为，提供了下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在五边形中，若，分别平分，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 从边形的一个顶点出发作对角线，可以把这个边形分成个三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 已知点关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，点D，P分别是图中所作直线和射线与的交点，根据图中尺规作图的痕迹判断，以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列语句：①角的对称轴是角的平分线；②两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的两侧；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个能全等的图形一定能关于某条直线对称，其中正确的个数有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 11. 已知a、b、c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为(　 　) A. 2a＋2b－2c B. 2a＋2b C. 2c D. 0 12. 如图，AB＝AC，点D、E分别在AC、AB上，且AE＝AD，连接EC，BD，EC交BD于点M，连接AM，过点A分别作AF⊥CE，AG⊥BD，垂足分别为F、G，则下列结论错误的是（　　） A. △EBM≌△DCM B. 若S△BEM＝S△ADM，则E是AB的中点 C. MA平分∠EMD D. 若E是AB的中点，则BM+AC＜EM+BD 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，自行车的车架上常常会焊接一条横梁，运用的数学原理是________． 14. 如图，平面直角坐标系中，，若A点的坐标为，B，C两点的纵坐标均为，D，E两点在y轴上，则点F到y轴的距离为___________个单位． 15. 如图，C处在B处的北偏西方向，C处在A处的北偏西方向，则的度数为__________． 16. 如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边分别与CD交于点F，与CB延长线交于点E．则四边形AECF的面积是____． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17. 已知n边形的内角和． （1）嘉嘉同学说，能取；琪琪同学说，也能取．嘉嘉、琪琪的说法对吗？若对，求出边数n．若不对，请说明理由； （2）若n边形变为边形，发现内角和增加了，用列方程的方法确定x． 18. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为． （1）请以轴为对称轴，画出与对称的，并直接写出点，，的坐标； （2）求的面积； （3）点与点关于轴对称，求，的值． 19. 已知：．求作：的平分线． 作法：（I）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N． （Ⅱ）分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C． （Ⅲ）画射线，射线即为所求． 问题1： 小亮按照上面做法画出了图形，如图1.请问就是的角平分线的依据是_______． 问题2： 课后老师留了一道思考题，还有没有其他作角平分线的方法（不限于圆规和直尺）？ 下面是一位同学给出的方法： 如图2，在已知的上，分别取，再分别过点M，N连续放置三角板画出直角边，交点为P，画射线，则平分．请你帮这位同学证明：平分． 问题3连接，求证 20. 如图①，将一块等腰直角三角板的直角顶点C置于直线l上，其，，图②是由①抽象出的几何图形，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别是D、E． （1）证明：； （2）若，，求的长． 21. 定义：如果一个三角形的两个内角与满足：．那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”． （1）若是“准互余三角形”，，则的度数为__________； （2）如图，是直角三角形，． ①若是的平分线，则是“准互余三角形”吗？并说明理由； ②若点是边上一点，是“准互余三角形”，，求的度数． 22. 情景再现：数学课上老师带领同学们探究角平分线的性质 问题情境：已知是的平分线，P是射线上的一点，点C，D分别在射线，上，连接，． （1）初步探究：如图1，当，时，与的数量关系是_______． （2）性质运用：如图2，若，点C，D分别在射线，上运动，当时，与在（1）中的数量关系还成立吗？请说明理由． 23. 新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 （1）如图1，在中，，，为边上一点，若与是积等三角形，求的长； 【理解运用】 （2）如图2，在中，为边上一点，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 24. 如图，在中，，是边上的高，是边上的高，、相交于点，且． （1）求证：． （2）动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，、两点同时出发，当点到达点时，、两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①当时，__________（用含的代数式表示）；点是线段上的一点（不与点重合），设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $