精品解析：上海市格致中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

格致中学二〇二四学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获. 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利. 一、填空题：（每小题3分，满分36分） 1. 根式写成指数幂形式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由指数幂的定义改写，注意化简． 【详解】， 故答案为：. 2. 函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据幂函数恒过定点求解. 【详解】由幂函数的性质可知，恒过定点， 故答案为： 3. 设集合，集合，则______. 【答案】 【解析】 【分析】解绝对值不等式，根据交集运算求解. 【详解】由可得， 解得，即， 所以， 故答案为： 4. 已知方程的两个根为，则=__________. 【答案】3 【解析】 【分析】将所求式子适当变形结合韦达定理即可求解. 【详解】由题意结合韦达定理有，所以. 故答案为：3. 5. 下列命题中所有真命题的序号是______. ①“”是“”的充分条件； ②“”是“”的必要条件； ③“”是“”的充要条件. 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件及充要条件的概念逐个判断即可. 【详解】对于命题①，取，，则，且，， 则“”不是“”的充分条件，错误； 对于命题②，由，可得，故有， 故“”是“”的必要条件，正确； 对于命题③，在不等式两边同时加上得， 另一方面，在不等式两边同时减去得， 故“”是“”的充要条件，正确. 故真命题的序号是②③. 故答案为：②③ 6. 不等式的解集为________. 【答案】 【解析】 【分析】将因式分解后即可求出解集，要注意隐藏条件. 【详解】不等式可化为， . 故答案为：. 7. 已知，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】条件等式两边平方可求，结合立方和公式求，由此可得结论. 【详解】因为， 所以，故， 故， 又， 所以， 所以. 故答案为：. 8. 若实数，且，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据换底公式及对数式与指数式的转化即可得解. 【详解】因为，所以， 由， 解得或（舍去）， 所以，即， 所以， 故答案为：1 9. 设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为______. 【答案】且 【解析】 【分析】由题意方程组消元后所得方程无解即可. 【详解】因为方程组的解集为， 所以消元后无解， 所以且， 解得且. 故答案为：且 10. 已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围_________. 【答案】 【解析】 【分析】结合开口方向以及判别式求得的取值范围. 【详解】当恒成立， 当时，且， 解得：， 当时,成立， 所以， 命题“，不等式恒成立”是假命题 所以的取值范围为：或． 故答案为： 11. 若方程有唯一解，则实数的所有可能值所组成的集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】考虑分式方程转化为一元一次方程或一元二次方程的情况求解. 【详解】由可得， 当或时，方程有唯一解或0，符合题意， 当时，由原方程可得， 由可得，此时方程有唯一解，符合题意. 故实数的所有可能值所组成的集合为. 故答案为： 12. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据真子集的定义，推断出中有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数，由此进行分类讨论求实数的取值范围. 【详解】若集合有15个真子集，则中有4个元素，又，可知，即，且区间中有4个整数， 当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数； 当时，，其中含有共4个整数，符合题意； 当时，的区间长度大于3， 若的区间长度，即， 若是整数，则区间中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间中含有四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，其中含有五个整数，不符合题意； 若时，的区间长度， 此时中有这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 二、选择题：（每小题4分，满分16分） 13. 已知集合且，则集合中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据，判断的值可能为即可. 【详解】因，，故的值可能为， 故，集合有4个元素. 故选：C 14. 农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1800倍. A. 129 B. 150 C. 197 D. 199 【答案】A 【解析】 【分析】设经过天后蝗虫数量达到原来的倍，列出方程，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】由题意可知，蝗虫最初有只且日增长率为， 设经过天后蝗虫数量达到原来的倍， 则， ，， ，大约经过天能达到最初的倍． 故选：A 15. 不等式，对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于在不等式中出现两个变量，对其进行变形令则转化为含参数的不等式，在上恒成立的问题，然后进行分离参数求最值即可. 【详解】由，则不等式两边同时乘以不等式可化为：， 令，则不等式转化为：，在上恒成立，由可得即， 又，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值， 故可得. 故选：A． 16. 设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据取整函数的定义，分别求出满足条件，， ，，的的范围，研究它们的交集即可确定的最大值. 【详解】，，，， 当时，，， 因为，所以，即 当时，，，， 因为，所以， 当时，，，，， 因为，所以，所以若则，此时，，故不存在满足，， ，，同时成立， 正整数的最大值为4， 故选：A． 三、解答题：（共4大题，满分44分） 17. 已知幂函数经过点． （1）当时，求函数的值； （2）是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，， 【解析】 【分析】（1）由待定系数法求出幂函数的表达式，再代入即可求解； （2）首先得出，进一步结合函数单调性列出方程组即可求解. 【小问1详解】 设幂函数为，∴，∴， ∴，∴当时，． 【小问2详解】 存在． 理由：由（1）得，∴，∴． 因为函数在上是严格增函数， 所以函数在上是严格增函数， 所以当时，函数取最小值，当时，函数取最大值， 解得，． 故存在，满足题意． 18. （1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 【答案】（1）证明：假设都是非负数， 因为，，所以， 又， 故，与题设矛盾，故假设不成立，原命题成立； （2） 【解析】 【分析】（1）假设都是非负数，利用反证法推出可得答案； （2）根据题意可得是的真子集，分类讨论、两种情况即可得解. 【详解】（1）略 （2）若的充分非必要条件为，则是的真子集， 若，则，解得； 若，则，解得， 综上所述，的取值范围是. 19. 已知，． （1）者，求的最小值； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，求的最大值． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）消元，借助二次函数求出最小值. （2）将给定不等式分离参数，消元并利用基本不等式求出最大值及取得最大值的条件求出范围. （3）利用基本不等式，结合配凑方法求出最大值. 【小问1详解】 由，得， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 【小问2详解】 由，得，而， ， 当且仅当，即时取等号，而，因此，则， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 由，得，，当且仅当时取得等号， 因此， 所以的最大值为. 20. 若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数. （1）若，求的取值范围； （2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，最小值为9， 【解析】 【分析】（1）根据题意，分类讨论的取值范围解绝对值不等式即可得解； （2）根据题意，利用三角绝对值不等式即可得解； （3）根据题意，利用绝对值的几何意义分析得绝对值的最小值，从而得解. 【小问1详解】 依题意，得， 当时，，解得，故； 当时，，故； 当时，，解得，故； 综上：. 【小问2详解】 依题意，得对一切实数恒成立， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 故，实数的取值范围为. 【小问3详解】 其中的几何意义为： 在数轴上一点到的距离之和， 要想距离之和最小，其中时，取得最小值， 当时，取得最小值，当时，取得最小值， 综上：当时，取得最小值， 最小值为， 故的最小值为9. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 格致中学二〇二四学年度第一学期期中考试 高一年级数学试卷 （测试90分钟内完成，总分100分，试后交答题卷） 友情提示：昨天，你既然经历了艰苦的学习，今天，你必将赢得可喜的收获. 祝你：诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强，去迎接胜利. 一、填空题：（每小题3分，满分36分） 1. 根式写成指数幂形式为_________． 2. 函数（是有理数）的图象过一定点，则的坐标为______. 3. 设集合，集合，则______. 4. 已知方程的两个根为，则=__________. 5. 下列命题中所有真命题的序号是______. ①“”是“”的充分条件； ②“”是“”的必要条件； ③“”是“”的充要条件. 6. 不等式的解集为________. 7. 已知，则______. 8. 若实数，且，则______. 9. 设是实数，若关于的方程组的解集为，则实数所满足的条件为______. 10. 已知函数，.若命题“，不等式恒成立”是假命题，则实数的取值范围_________. 11. 若方程有唯一解，则实数的所有可能值所组成的集合为______. 12. 已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为________. 二、选择题：（每小题4分，满分16分） 13. 已知集合且，则集合中的元素个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 14. 农业农村部于2021年2月3日发布信息：全国按照主动预防、内外结合、分类施策、有效处置的总体要求，全面排查蝗灾隐患.为了做好蝗虫防控工作，完善应急预案演练，专家假设蝗虫的日增长率为，最初有只，则大约经过（ ）天能达到最初的1800倍. A. 129 B. 150 C. 197 D. 199 15. 不等式，对于任意及恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 设，表示不超过的最大整数，若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 三、解答题：（共4大题，满分44分） 17. 已知幂函数经过点． （1）当时，求函数的值； （2）是否存在实数、，使得该函数在区间上的最小值为，最大值为，若存在，求出、的值；若不存在，请说明理由． 18. （1）已知为实数且满足，，．求证：这四个数中至少有一个是负数．（用反证法证明） （2）已知集合，．若的充分非必要条件为，则的取值范围是？ 19. 已知，． （1）者，求的最小值； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，求的最大值． 20. 若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成，其中为正整数. （1）若，求的取值范围； （2）若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $