四川省成都市成飞中学2024-2025学年高二上学期十月月考数学试题

成都市石室成飞中学 2024-2025学年上期十月月考 高2023级数学参考答案 一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B D A B B C ABD ACD 题号 11 答案 BC 二．填空题： 12．10 13． 14． 三．解答题： 15．（1）试验的样本空间，共12个样本点，设标号和为奇数为事件 B，则 B包含的样本点为，共8个，所以 （2） 试验的样本空间共有16个，设标号和为奇数为事件C，事件C包含的样本点为，，，，，，，，共8个,故所求概率为,即甲胜的概率为，则乙胜的概率为,所以甲、乙获胜的概率是公平的. 16． （1）设AC与BD相交于点O，连接FO， ∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD， 且O为AC中点，，， 又，平面BDEF，∴平面BDEF． （2）连接DF，∵四边形BDEF为菱形，且， 为等边三角形， ∵O为BD中点，∴，又，平面ABCD， 平面ABCD．故OA，OB，OF两两垂直， ∴建立空间直角坐标系O﹣xyz，如图所示， 设，∵四边形ABCD为菱形，，． 为等边三角形，∴． ， ∴，， 设平面ABF的法向量为，则 令，解得， 设AD与平面ABF所成角为，则AD与平面ABF所成角的正弦值为：． 所以，AD与平面ABF所成角的正弦值为 17．（1）由题意可知，，得， 前3组的频率和为，前4组的频率和为， 所以第85百分位数在第4组，设为，则，解得：， 所以这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数为85； （2）的人数有：的人数有： 平均阅读时间为 （3）由于，和的频率之比为， 故抽取的5人中，和分别为1人，2人，2人， 记的1人为，的2人为，的2人为， 故随机抽取2人的所有样本点为， ，共包含10个样本点， 其中至少有1人每天阅读时间位于的样本点为， ，共包含7个样本点， 故至少有1人每天阅读时间位于概率. 18．（1）由题意可知：， 所以的外接圆的半径. （2）若，则 , 所以， 在中， 分别由余弦定理得：， ，， 三式相加整理得， 因为，所以. （3）由（2）得，所以, 由， 所以， 又由余弦定理可得， 所以， 所以，所以， 由正弦定理可得. 19．（1）由题可知，直线的一个方向向量坐标为，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则有，所以， 直线与平面所成角的余弦值为. （2）由题可知平面的法向量为，且过点， 因为,所以，所以点到平面的距离为. （3）（i）建立空间直角坐标系， 先分别画平面 ， 然后得到几何体为 几何体是底面边长为的正方形，高为的长方体， 故几何体的体积为， （ii）由（i）可知，的图象是一个完全对称的图像，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时， 得， 画出第一卦限图像， 计算平面得二面角， 所以两个平面的法向量分别为， 所以两个平面夹角的余弦值为，所以二面角为 试卷第4页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 成都市石室成飞中学 2024-2025学年上期十月月考 高2023级数学试卷 注意事项: 01.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，或将条形码贴在答题卡规定的位置上. 02.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂他答案标号. 03.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 04.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 05.考试结束后，只将答题卡交回. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。) 1．已知点关于y轴的对称点为B，则等于（    ） A． B． C．2 D． 2．向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（ ） A． B． C． D． 4．某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短期；乙，两全保险；丙，理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险．各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得到如图所示的统计图表．则下列说法中错误的是（    ）    A．丁险种参保人数超过五成 B．41岁以上参保人数超过总参保人数的五成 C．18－29周岁人群参保的总费用最少 D．人均参保费用不超过5000元 5．某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（    ） A． B． C． D． 6．抛掷一红一绿两颗质地均匀的骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为6；事件；事件.则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件为互斥事件 B．事件与事件为互斥事件 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立 7．已知棱长为1的正方体的底面上有一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．有5张未刮码的卡片，其中n张是“中奖”卡，其它的是“未中奖”卡，现从这5张卡片随机抽取2张.你有资金100元，每次在对一张卡片刮码前，下注已有资金的一半.若刮码结果为“中奖”，则赢得与下注金额相同的另一笔钱，若刮码结果是“未中奖”，则输掉下注的资金.抽取的2张卡片全部刮完后，要使资金增加的概率大于资金减少的概率，则n至少为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 10．在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入决赛（比赛采用三局两胜制，即率先获得两局胜利者赢得比赛，随即比赛结束）。假设每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4。某同学利用计算机产生1～5之间的随机数，当出现1，2或3时，表示甲获胜，当出现4或5时，表示乙获胜，以每3个随机数为一组进行冠军模拟预测，如果产生如下20组随机数： 423  123  423  344  114  453  525  332  152  342 534  443  512  541  125  432  334  151  314  354， 根据频率估计概率的思想，下列说法正确的有（    ） A．甲获得冠军的概率近似值为0.65 B．甲以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.5 C．比赛总共打满三局的概率近似值为0.6 D．乙以2：0的比分获得冠军的概率近似值为0.15 11．如图，正方体的棱长为2，为的中点，为棱上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（    ） A．存在点，使 B．存在点，使 C．四面体的体积为定值 D．点到直线的距离的取值范围为 三、填空题(共3小题，每小题5分，共计15分) 12．某校高一年级共有学生200人，其中1班60人，2班40人，3班50人，4班50人．该校要了解高一学生对食堂菜品的看法，准备从高一年级学生中随机抽取50人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，则应从高一2班抽取的人数是 ． 13．已知单位向量两两的夹角均为60°，且，则实数 ． 14．已知四棱锥的底面为边长为2的正方形，分别为和的中点，则平面上任意一点到底面中心距离的最小值为 . 四、解答题(共5小题，共计77分) 15．（13分）袋中有形状、大小都相同的个小球，标号分别为. (1)从袋中每次摸出一球，不放回地摸两次，求两次标号和为奇数的概率; (2)从袋中每次摸出一球，有放回地摸两次.甲、乙约定：若摸出的两个球标号和为奇数，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平?说明你的理由. 16．（15分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且． (1)求证：平面BDEF； (2)求直线AD与平面ABF所成角的正弦值． 17．（15分）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示． (1)根据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的第85百分位数； (2)根据频率分布直方图，估计阅读时间在[50,70)的当地年轻人的平均阅读时间；（结果保留分数） (3)为进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层随机抽样的方法从每天阅读时间位于分组，和的年轻人中抽取5人，再从中任选2人进行调查，求其中至少有1人每天阅读时间位于的概率． 18．（17分）如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角． (1)若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径； (2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：； (3)在中，记的布罗卡尔角为，若，求证：． 19． （17分）在空间直角坐标系中，已知向量，点.若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为. (1)已知直线的标准式方程为，平面的点法式方程可表示为，求直线与平面所成角的余弦值； (2)已知平面的点法式方程可表示为，平面外一点，点到平面的距离； (3)（i）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积； （ii）若集合.记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）的夹角的大小. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$