北京市第一六一中学2024～2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

2024北京一六一中初三(上)期中 数 学 2024年11月 班级_姓名_学号_ 考 生 须 知 1.本试卷共3页,满分100分,考试时间120分钟。 2.试卷答案一律填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。 3.答题卡上选择题用2B铅笔作答,其他题用黑色字迹钢笔或签字笔作答。 4.考试结束后,将答题卡交回。 一、选择题 (共16分,每题2分) 1. 抛物线的顶点坐标为 A. B. C. D. 2. 如果2m=3n(n≠0),那么下列比例式中正确的是 A. B. C. D. 3. 将抛物线平移,得到抛物线,下列平移正确的是 A.先向左平移2个单位,再向上平移1个单位 B.先向左平移2个单位,再向下平移1个单位 C.先向右平移2个单位,再向上平移1个单位 D.先向右平移2个单位,再向下平移1个单位 4. 如图,点D、E分别在 ABC的AB、AC边上,下列条件中: ①∠ADE=∠C;②;③. 使 ADE与 ACB一定相似的是 A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 5. 已知关于x的方程,如果m<0 ,那么此方程的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定 6. 如图, ABC的顶点都在方格纸的格点上,那么sinA的值为 A. B. C. D. 7. 如图,在中,点E在边AD上,AC与BE交于点O,,则 AOE与 COB的面积之比为 A. B. C. D. 8. 已知二次函数,当时,函数取得最大值;当时,函数取得最小值,则t的取值范围是 A. B. C. D. 二、填空题 (共16分,每题2分) 9. 如果,那么锐角_. 10. 如图,在 ABC中,点D,E分别是边AB,AC上的点, DE∥BC,AD=1,BD=AE=2,则EC的长为_. 11. 将二次函数用配方法化成的形式为_. 12. 点A(0,y1),B(5,y2)在二次函数的图象上,y1与y2的大小关系是_. 13. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除捷法》中记录了这样一个问题:“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?”其大意是:矩形面积是864平方步,其中长与宽和为60步,问长比宽多多少步?若设长为x步,则可列方程为_. 14. 如图,矩形纸片ABCD中,AB>AD,E,F分别是AB,DC的中点,将矩形ABCD沿EF所在直线对折,若得到的两个小矩形都和矩形ABCD相似,则用等式表示AB与AD的数量关系为_. 15. 函数满足以下条件:当时,它的图象位于x轴的下方;当时,它的图象位于x轴的上方,则m的值为_. 16. 如图,已知 ABC是等边三角形,,点在上,,点在的延长线上,将线段绕逆时针旋转得到线段,连接,若,则的长是_. 三、解答题 (共68分,第17题4分,第18题8分,第19-20题,每题4分,第21-22题,每题5分,第23-26题每6分,第27-28题每题7分) 17. 计算:. 18. 解方程:(1); (2). 19. 若是关于的一元二次方程的根,求代数式的值. 20. 如图,AD与BC交于O点,∠A=∠C,AO=4,CO=2,CD=3,求AB的长. 21. 已知关于的一元二次方程. (1)求证:该方程总有两个实数根; (2)若该方程恰有一个实数根为非负数,求的取值范围. 22. 如图,在等腰 ABC中,,,是上一点,将点绕点逆时针旋转到,连接、. (1)求证: ABE ACD; (2)若,求的度数. 23. 已知二次函数,它的图象过点,并且与x轴负半轴交于点B. (1)求二次函数的解析式和点B坐标; (2)当时,结合函数图象,直接写出 函数值y的取值范围; (3)若直线经过A,B两点,直接写出 关于x的不等式的解集. 24. 如图,在菱形ABCD中,AC,BD交于点O,延长CB到点E,使,连接AE. (1)求证:四边形AEBD为平行四边形; (2)连接OE,若,AC=2,求OE的长. 25. 小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式.在“直发式”模式下,球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线;在“间发式”模式下,球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线,球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线.如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy. 图1 直发式 图2 间发式 通过测量得到球距离台面高度y(单位:dm)与球距离发球器出口的水平距离x(单位:dm)的相关数据,如下表所示: 表1 直发式 表2 间发式 根据以上信息,回答问题: (1)表格中m=_,n=_; (2)求“直发式”模式下,球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式; (3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1,“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2,则d1 _ d2(填“>”“=” 或“<”). 26. 在平面直角坐标系xOy中,点,点在抛物线上.设抛物线的对称轴为直线. (1)当时, ①直接写出b与a满足的等量关系; ②比较m,n的大小,并说明理由; (2)已知在该抛物线上,对于,都有,求的取值范围. 27. 如图,在中,,.是边上一点,交的延长线于点. (1)用等式表示与的数量关系,并证明; (2)连接,延长至,使.连接,,. ①依题意补全图形; ②判断的形状,并证明. 28. 在平面直角坐标系中,对于点,点和直线,点关于的对称点为点,点是直线上一点.将线段绕点逆时针旋转得到,如果线段与直线有交点,称点是点关于直线和点的“旋交点”. (1)若点的坐标为,在点,,中,是点关于轴 和点的“旋交点”的是_; (2)若点的坐标是,点、都在直线上,点是点关于轴和 点的“旋交点”,求点的坐标; (3)点在以为对角线交点,边长为2的正方形(正方形的边与坐标轴平行) 上,直线l:,若正方形上存在点是点关于直线和点的“旋交 点”,直接写出的取值范围. 参考答案 一、选择题(共16分,每题2分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B C A C B D 2、 填空题(共16分,每题2分) 题号 9 10 11 12 答案 30 4 题号 13 14 15 16 答案 -6 三、解答题(共68分,第17题4分,第18题8分,第19-20题,每题4分,第21-22题,每题5分,第23-26题每6分,第27-28题每题7分) 17. 解: ……………………3分 ……………………4分 18. 解:(1) , ……………………4分 (2) , ……………………4分 19. 解:根据题意知,, 所以, 则: ……………………2分 原式. ……………………4分 20. 解:,, , ……………………2分 ,即, . ……………………4分 21.(1)证明: , 此方程总有两个实数根. ……………………2分 (2)解:, ……………………4分 该方程恰有一个实数根为非负数, , . ……………………5分 22. 解:(1)Rt 中,,, , 由旋转可知:,, , , 在 与 中, , (SAS) ……………………3分 (2) , ; . ……………………5分 23. 解:(1)将A代入求得解析式为 ……………………1分 令y=0,解方程得, 所以点B ……………………2分 (2) ……………………4分 (3)或 ……………………6分 24. (1)证明:四边形ABCD是菱形, AD∥EB,AD=BC, BE=BC, AD=BE, 四边形ABCD是平行四边形. ……………………3分 (2)解:四边形ABCD是菱形, OA=OC=,AC⊥BD ∠BOC=90 , 四边形ABCD是平行四边形 AE∥BD, ∠EAC=∠BOC =90 , 在Rt AEC中,tan∠AEB=,AC=2, AE=4, OE= ……………………6分 25. 解:(1)3.84,2.52; ……………………2分 (2)由表1可知:“直发式”模式下,抛物线的顶点为, 设此抛物线的解析式为, 把代入,得, 解得:, ……………………5分 “直发式”模式下,球第一次接触台面前运动轨迹的解析式为; (3). ……………………6分 26. 解:(1)①,; ……………………1分 ②m>n. 理由如下: 由①得 点A(-1,m)、点B(3,n)在抛物线上, ∴m=a+4a+c=5a+c,n=9a-12a+c=-3a+c. ∵a>0,∴5a>-3a. ∴5a+c>-3a+c. ∴m>n. ……………………3分 (2) ∵a>0:当x≥t时,y随x的增大而增大,当x≤t时,y 随x的增大而减小. 当时, 当t≤-1时,t≤-1<3,∴n>m,不符合题意. 当-1<t≤3时,设点A(-1,m)关于抛物线对称轴x=t的对称点为点, 则可得 由m>p知 当时, 的取值范围是.(结合图象分析) ……………………6分 27. 解:(1)结论:. ……………………1分 理由:DE⊥AE, , ∠BAC=120 , , , ; ……………………2分 (2)①图形如图所示: ……………………3分 ②结论:是等边三角形. ……………………4分 理由:延长到,使得, 连接,,. ., , ∠DAE=60 , 是等边三角形, , ,,, , ……………………5分 ,, AB = AC, , ∠DRF=∠DAC=120 ,, , ,, , 是等边三角形. ……………………7分 28. 解:(1),; ……………………2分 (2)做辅助线如图,可求证 设,则,其中, ,, ,, , . , ,解得:, ; ……………………4分 (3)的取值范围为. ……………………7分 第1页/共1页 学科网(北京)股份有限公司 $$