环形跑道问题(讲义)-2023-2024学年六年级下册数学通用版

环形跑道问题 (知识梳理+典例分析+高频考题+答案解析) 知识梳理 一、基本概念 环形跑道是一个封闭的圆形跑道，通常涉及多人（一般至少两人）在跑道上多次相遇或追及的问题。解决这类问题的关键是准确理解题目中描述的每一个行程状态，并作出正确合理的线段图进行分析。 二、相遇问题 1、相遇时间：在环形跑道上，如果是相向而行（即运行方向相反），则每合走一圈相遇一次。相遇时间可以通过以下公式计算：相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和 其中，路程和是两人共同走过的路程，速度和是两人的速度之和。 2、特殊情况： （1）、如果两人同时从同一地点出发，相遇时他们合跑了一圈。 （2）、如果两人同时从不同地点出发，第一次相遇时他们合跑了一段初始距离（这段距离等于跑道的周长减去他们出发时的相对距离）。 三、追及问题 1、追及时间：在环形跑道上，如果是同向而行（即运行方向相同），则每追上一圈相遇一次。追及时间可以通过以下公式计算：追及时间 = 路程差 ÷ 速度差 其中，路程差是两人之间的路程差距（即快者比慢者多跑的路程），速度差是两人的速度之差。 2、特殊情况： （1）、如果两人同时从同一地点出发，第一次追上时快者比慢者多跑了一圈。 （2）、如果两人同时从不同地点出发，第一次追上时快者比慢者多跑了一段初始距离（这段距离等于他们出发时的相对距离）。 四、解题技巧 1、线段图：在解决环形跑道问题时，线段图是一种非常有效的工具。通过绘制线段图，可以清晰地展示每个人的行程状态，从而更容易找到问题中的关键信息。 2、公式运用：熟练掌握相遇时间和追及时间的计算公式，并能够根据题目中的条件灵活运用这些公式。 3、比例关系：在某些复杂的问题中，可能需要利用比例关系来求解。例如，如果知道两人的速度比例和相遇次数，可以通过比例关系来求解他们的行程时间或路程。 典例分析 【典例1】如图，有一个圆，两只小虫分别从直径的两端 与 同时出发，绕圆周相 向而行．它们第一次相遇在离 点8厘米处的 点，第二次相遇在离 点处6厘米的 点，问，这个圆周的长是多少? 【答案】解：1+＝（圈） 8×3=24（厘米） （24-6）÷（-1）=36（厘米） 答：此圆形场地的周长是36厘米。 【思路分析】从图中可以用看出，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+＝圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即8×3=24厘米．有甲、乙第二次相遇时，共行走（1圈的长度－6）+24，为圈，所以此圆形场地的周长为36厘米。 【典例2】小强和小明在环形跑道上跑步，两人从同一地点同时出发，反向而行。小强每秒跑4米，小明每秒6米，40秒后两人相遇。 （1）环形跑道长多少米？ （2）如果相遇后两人改为同向而行，那么多少秒后小明与小强再次相遇？ 【答案】（1）解：（4+6）×40 =10×40 =400（米） 答：环形跑道长400米。 （2）解：400÷（6-4） =400÷2 =200（秒） 答：20秒后小明与小强再次相遇。 【思路分析】（1）两人的速度和×跑的时间=跑的路程，跑的路程就是环形跑道的长度； （2）环形跑道的长度就是两人跑的路程差，两人跑的路程差÷两人的速度差=两人再次相遇时间。 【典例3】甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛．两人从起点同时同向出发，开始时甲的速度为每秒8米，乙的速度为每秒6米．当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少2米，乙的速度每秒减少0.5米．这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速度每秒增加0.5米，直到终点．那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米？ 【答案】解：第一次甲追及乙时，甲跑的路程 8×[400÷（8-6）] =8×200 =1600（米） 这时甲的速度为8-2=6米/秒，乙的速度为6-0.5=5.5米/秒 第二次甲追及乙，甲跑的路程 1600+6×[400÷（6-5.5）] =1600+6×800 =1600+4800 =6400（米） 这时甲的速度为6-2=4米/秒，乙的速度为5.5-0.5=5米/秒 乙第一次追上甲时，甲跑的路程 6400+4×[400÷（5-4）] =6400+4×400 =6400+1600 =8000（米） 此时，乙跑了8000-400=7600（米） 这时甲的速度为4+0.5=4.5米/秒，乙的速度为5+0.5=5.5米/秒 乙跑到终点还需要的时间 （10000-7600）÷5.5 =2400÷5.5 =（秒） 乙到达终点，甲距终点的距离 10000-8000-4.5× =2000-1963 =（米） 答：另一人距离终点米。 【思路分析】灵活应用追及问题公式：跑道长÷（甲的速度－乙的速度）=追及时所用的时间，再用甲的速度×[跑道长÷（甲的速度－乙的速度）]=第一次追及时甲走的路程，依次找到乙速度超过甲并第一次追及时甲跑的路程，以及此时乙的路程，再找到相关时间，即可计算出乙到达终点需要的时间=（总路程－乙已经跑了的路程）÷此时乙的速度，乙到达终点时，甲距离终点的距离=总路程－前几次追及时跑的路程－乙追及甲时甲的速度×乙到达终点需要的时间，据此可以解答。 【典例4】如图，正方形ABCD的周长为40米，甲、乙两人分别从A、B同时出发。沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行60米，乙按顺时针方向每分钟行30米，如果用记号表示两人行了a分钟，并相遇过b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是多少？ 【答案】解：40÷4=10（米） 10÷30=（分钟） a=，b=1时，第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号应是（，1）。 答：对应的记号应是（，1）。 【思路分析】当甲逆时针行走到正方形右上顶点C处时他走了正方形周长的一半，是40÷2=20米，用时（20÷60）分钟；乙顺时针走到正方形的左下顶点A处时，走了40÷4=10米，用时（10÷30）分钟；那么他们在AB上相遇1次。据此写出对应的记号。 【典例5】如图，在400米的环形跑道上，A，B两点相距100米。甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟.那么甲追上乙需要时间是多少秒? 【答案】解：如果甲、乙均不休息，那么甲追上乙的时间：100÷（5-4）=100（秒） 甲、乙跑的路程分别为：100×5=500（米），100×4=400（米） 甲休息的次数：500÷100=5（个），5－1=4（次） 甲跑500米实际所需时间：100+10×4=140（秒）； 乙休息的次数：400÷100=4（个），4－1=3（次）； 乙跑400米实际所需时间：100+10×3=130（秒）； 说明：130至140秒时，乙在跑了400米后，在B点休息，140秒时，甲在跑了500米后也到B点。 答：甲追上乙需要时间是140秒。 【思路分析】假设甲、乙均不休息，用“追及路程÷速度差”求出追及时间为100秒；用“速度×时间=路程”分别求出此时甲、乙所跑的路程。再根据“植树问题”原理，求出甲、乙分别休息的次数，进一步求出甲追上乙实际所需时间，此题得解。 高频考题 1．在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人各跑一圈需要几分钟？ 2．小新和正南在操场上比赛跑步，小新每分钟跑250米，正南每分钟跑210米，一圈跑道长800米，他们同时从起跑点出发，那么小新第三次超过正南需要多少分钟？ 3．正5边形ABCDE的周长为2000米，甲乙两人分别从AC两点同时出发绕A-B-C-D-E-F-A...... 的方向走，甲速度为50米/分，乙速度为46米/分，那么，出发后经过多少分钟，甲乙第一次开始走在同一条边上？ 4．甲、乙两人在跑道上练习跑步，已知环形跑道一圈长400米，甲每秒钟跑8米，乙每秒钟跑6米。 （1）如果甲、乙两人在跑道上相距8米处同时反向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ （2）如果甲在乙前面8米处同时同向出发，那么经过多少秒两人首次相遇？ 5．甲、乙两车绕周长为 400 千米的环形跑道行驶， 从同一地点同时出发， 背向而行， 5 小时相遇； 如果两车每小时各加快 10 千米， 那么相遇点距离前一次相遇地点 3 千米， 已知乙车比甲车快， 求原来甲车每小时行多少千米？ 6． 如下图，A、B是周长为360m的圆形跑道上一条直径的两个端点，早晨小明和小华约好两人去跑步，小明从A点出发，同时小华从B点出发，沿着跑道相向而行，两人在C点第一次相遇。已知C点离A点有80m，求他俩第二次相遇点在圆周上距B点多远？ 7．环形跑道400米，小百、小合背向而行，小百速度是6米/秒，小合速度是4米/秒，当小百碰上小合时立即转向跑，小合不改变方向，小百追上小合时也立即转向跑，小合仍不改变方向，问两人第11次相遇离起点多少米？（按较短距离算，追上和迎面都算相遇） 8．在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次，问两人跑一圈各需要几分钟？ 9．可可和乐乐绕一条长400米的环形跑道跑步锻炼身体，他们同时从同一地点出发，向相反方向跑去，可可的速度是6米/秒，乐乐的速度是4米/秒。30秒后两人相遇了吗？如果没有相遇，两人还相距多少米? 10．如下图，一只甲虫从A点出发，在圆形路线上沿顺时针方向爬行；一只蚂蚁同时从B点出发，在半圆BmA上往返爬行。已知甲虫爬行速度是蚂蚁的2.4倍，他们第二次相遇点与第三次相遇点之间的路程是30厘米。那么，这条圆形路线的全场是多少？ 11．绕湖一周是20千米，甲乙二人从湖边某一地点同时出发反向而行，甲以每小时4千米的速度每走1小时后休息5分钟，乙以每小时6千米的速度每走50分钟后休息10分钟，则两人从出发到第一次相遇用了多少分钟？ 12．在周长为200米的圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别以6米/秒、5米/秒的速度骑车同时同向出发，沿跑道行驶，问：16分钟内，甲追上乙多少次? 13．在一个600米的环形跑道上，兄弟两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4 分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？ 14．如图，在长为490米的环形跑道上，A，B两点之间的跑道长50米，甲、乙两人同时从4，B两点出发反向奔跑.两人相遇后，乙立刻转身与甲同向奔跑，同时甲把速度提高了25%，乙把速度提高了20%、结果当甲跑到点A时，乙恰好跑到了点B．如果以后甲、乙的速度和方向都不变，那么当甲追上乙时，从一开始算起，甲一共跑了多少米？ 15．甲乙两人以匀速绕圆形跑道相向跑步。出发点在圆直径的两端。如果他们同时出发，并在甲跑完60米时第一次相遇，乙跑一圈还差100米时俩人第二次相遇，求跑道的长是多少米？ 16．环形跑道长 400 米，小百和小合从同一地点出发，背向而行快步走，小百的速度是 5 米/秒，小合的速度是 4 米/秒，请问在 30 分钟内两人会相遇多少次？ 17．有一个200米的环形跑道，甲、乙两人同时从同一地点同方向出发．甲以每秒0.8米的速度步行；乙以每秒2.4米的速度跑步，乙在第2次追上甲时用了多少秒？ 18．在400米的环形道路上，A、B两点相距100米．甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，按逆时针方向跑步，甲每秒跑10米，乙每秒跑9米，每人每跑100米都要停10秒．那么甲追上乙需要多少秒？ 19． 甲、乙两车绕周长为 400 千米的环形跑道行驶， 他们从同一地点同时出发， 背向而行， 5 小时相遇， 如果两车每小时各加快 10 千米， 那么相遇点距离前一次相遇地点 3 千米。已知乙车比甲车快， 求甲车原来每小时行多少千米。 20． 小明和爷爷一起去操场散步。如果两人同时同地出发，背向而行，分钟相遇；如果两人同时同地出发，同方向而行，24分钟小明超出爷爷一整圈。问小明和爷爷走一圈，各自需要多少分钟? 21．甲、乙两人，在一圆形跑道上同时同地出发，反向跑步，已知甲的速度是每分钟 ， 乙的速度是每分钟 。在 30 分钟内， 它们相迎了24 次， 问跑道的长度最多是多少米？ 22．动物园里有8米的大树，两只猴子进行爬树比赛，一只稍大的猴子爬上2米时，另一只猴子才爬了1.5米。稍大的猴子先爬到树顶，下来的速度比原来快了2倍，两只猴子距地面多高的地方相遇？ 23．甲、乙两人沿着400米的环形跑道跑步，他们同时从同一地点出发，同向而行，甲的速度是每分钟280米，乙的速度是每分钟240米。经过多长时间甲第一次追上乙？ 24．如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点60米。求这个圆的周长。 25．在500米的圆形跑道上有A、B两点相距170米，甲乙同时分别从A、B两点出发，逆时针方向跑步，每秒钟甲跑5米，乙跑4米，两人每跑100米都要休息10秒。甲需要多少秒才能追上乙？ 26．如图，学校操场的400米跑道中套着300米小跑道，大跑道与小跑道有200米路程相重．甲以每秒6米的速度沿大跑道逆时针方向跑，乙以每秒4米的速度沿小跑道顺时针方向跑，两人同时从两跑道的交点 处出发，当他们第二次在跑道上相遇时，甲共跑了多少米? 27．甲、乙两人在同一条椭圆形跑道上进行特殊训练，他们同时从同一地点出发，沿相反方向跑，每人跑完一圈到达出发点后，立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲速度的，甲跑第二圈时的速度比跑第一圈提高了，乙跑第二圈时的速度比跑第一圈提高了。已知甲、乙两人第二次相遇点距第一次相遇点192米。问：这条椭圆形跑道长多少米? 28．如图所示，大圈是400米跑道，由 到 的跑道长是200米，直线距离是50米。父子俩同时从 点出发逆时针方向沿跑道进行长跑锻炼，儿子跑大圈，父亲每跑到 点便沿直线跑。父亲每100米用20秒，儿子每100米用19秒。如果他们按这样的速度跑，儿子在跑第几圈时，第一次与父亲相遇？ 29．甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2 米／秒，乙比原来速度减少 2 米／秒，结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。 30．如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长. 31．甲、乙两车同时从同一点 出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶．甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米．一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头；一旦甲车从后面追上一车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离有多少米？ 32．甲车以每小时160千米，乙车以每小时20千米的度在长210千米的环形公路上同时同向同地出发，每当甲追上一次，甲速度就减少乙速就增加，在两车速度正好相等的时候，甲车行了多少千米？ 33．环绕小山一周的公路长1920米，甲、乙两人沿公路竞走，两人同时同地出发，反方向行走，甲比乙走得快，12分钟后两人相遇。如果两人每分钟多走16米，则相遇地点与前次相差20米。 （1）求甲乙两人原来的行走速度。 （2）如果甲、乙两人各以原速度同时同地出发，同向行走，则甲在何处第二次追上乙？ 34．甲、乙两车同时从同一点A出发，沿周长6千米的圆形跑道以相反的方向行驶，甲车每小时行驶65千米，乙车每小时行驶55千米，一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头：一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头，那么两车出发后第11次相遇的地点距离A点有多少米?（每一次甲车追上乙车也看作一次相通） 35．甲、乙、丙在湖边散步，三人同时从同一点出发，绕湖行走，甲速度是每小时5.4千米， 乙速度是每小时4.2千米，她们二人同方向行走，丙与她们反方向行走，半个小时后甲和丙相遇，在过5分钟，乙与丙相遇。那么绕湖一周的行程是多少？ 36．甲、乙两人在400米圆形跑道上进行10000米比赛。两人从起点同时间向出发，开始时甲的速度为每秒8米，乙的速度为每秒6米.当甲每次追上乙以后，甲的速度每秒减少2米。乙的速度每秒减少0.5米。这样下去，直到甲发现乙第一次从后面追上自己开始，两人都把自己的速度每秒增加0.5米，直到终点.那么领先者到达终点时，另一人距终点多少米? 37．在一个600米的环形跑道上，兄弟两人同时从同一个起点按顺时针方向跑步，两人每隔12分钟相遇一次，若两个人速度不变，还是在原来出发点同时出发，哥哥改为按逆时针方向跑，则两人每隔4分钟相遇一次，两人跑一圈各要多少分钟？ 38．甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈。跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈时速度比第一图提高了，乙跑第二圈时速度比第一圈提高，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问这条椭圆形跑道长多少米? 39．环形跑道周长是 1000 米， 甲乙两人从起点按顺时针方向同时出发。甲每分钟跑 120 米， 乙每分钟跑 100 米， 两人都是每跑 200 米停下休息 1 分钟。那么甲第一次追上乙需要多少分钟？ 40．如图，一个长方形的房屋长13米，宽8米．甲、乙两人分别从房屋的两个墙角出发，甲每秒钟行3米，乙每秒钟行2米.问：经过多长时间甲第一次看见乙? 答案解析 1．【答案】解：把这个跑道的长度看做整体“1”， 则甲的速度为：（+）÷2=， 乙的速度是：﹣=； 所以跑完一圈甲需要时间：1÷=6（分钟）， 乙跑完一圈需要时间：1÷=12（分钟）， 答：各跑一圈时，较快的需要6分钟，较慢的需要12分钟． 【思路分析】把这个跑道的长度看做整体“1”：分别求得二人的速度，即可求出他们跑一圈各自用的时间； （1）两人都按顺时针方向跑时，属于追及问题：假设甲比乙跑的快，12分钟相遇说明二人的速度差是：； （2）其中一人改成按逆时针方向跑，属于相遇问题：每隔4分钟相遇一次说明二人的速度之和是； 有上述推理即可得出甲的速度为：（+）÷2=，从而得出乙的速度是：﹣=；由此即可解决问题． 2．【答案】解：800×3+（250-210）=60（分钟） 答：小新第三次超过正南需要60分钟。 【思路分析】小新第三次超过正南是比正南多跑了三圈，所以小新第三次超过正南需要需要的时间=跑道的周长×3÷速度差。 3．【答案】解：设x分钟后甲、乙两人之间相差一条边的距离。 2000÷5=400（米） 50x-46x=400 4x=400 x=400÷4 x=100 50×100÷400=12（圈）……200（米） （400-200）÷50 =200÷50 =4（分） 4×46=184（米） 184<400 所以乙还在这条边上，因此需要 100+4=104（分钟） 答：出发后经过104分钟，甲乙第一次开始走在同一条边上。 【思路分析】要第一次开始走在同一条边上，则需要知道他们什么时间第一次两人之间相差一条边的距离。周长÷边数=一条边的距离，甲的速度×时间－乙的速度×时间=一条边的差距，据此设x分钟后甲、乙两人之间相差一条边的距离，列方程求出甲、乙两人之间相差一条边的距离时走的时间；甲的速度×这个时间÷每条边的距离=甲走了几圈……多走了几米，一条边的长度－多走的米数=甲还需要走几米到达下一条边，（一条边的长度－多走的米数）÷甲的速度=甲到达下一条边需要的时间，甲到达下一条边需要的时间×乙的速度=乙在这个时间段内在这条边上走过的距离，将这个距离与一条边的长度比较，如果小于则说明乙还在这条边上，这时的时间100+甲到达下一条边需要的时间=他们第一次开始走在同一条边上需要的时间，据此可以解答。 4．【答案】（1）解：（400-8）÷（6+8） =392÷14 =28（秒） 答：经过28秒两人首次相遇。 （2）解：（400-8）÷（8-6） =392÷2 =196（秒） 答：经过196秒两人首次相遇。 【思路分析】（1）环形跑道上，相距8米处同时反向出发，首次相遇即两人共走了（400-8）米，用甲、乙两人共走的路程除以他们的速度之和就是首次相遇需要的时间； （2）甲在乙前面8米处同时同向出发，那么首次相遇即为甲比己多跑（400-8）米，可用甲比乙多跑的路程除以他们的速度之差即可得到答案。 5．【答案】解：原来的速度和为400÷5=80（千米/小时） 后来加快后速度和为80+10+10=100（千米/小时） 所需时间为400÷100=4（小时） 因为乙比甲快，所以相遇时，甲4小时比原来多走4×10=40（千米） 这40千米甲以原来的速度走5-4=1（小时）还多出3千米； （4×10-3）÷（5-4）=37（千米/小时） 答：原来甲车每小时行37千米。 【思路分析】首先根据题干中：甲、乙两车绕周长为400千米的环形跑道行驶，背向而行，5小时相遇，得出原来的速度和；又知两车每小时各加快10千米，故可得加快后的速度和，进而得出速度加快后相遇所需的时间；用甲加快的速度乘以加速后相遇所需的时间即可得到甲相遇时比原来多走的路，又因为乙车比甲车快，且相遇点距离前一次相遇地点3千米，可以根据速度=路程÷时间，得出原来甲车每小时行多少千米。 6．【答案】解：圆形跑道的周长为360米，因此半圆的长度为360 ÷ 2 = 180米。 已知C点离A点有80米，因此C点到B点的距离为180 - 80 = 100米。 小明从A点出发，小华从B点出发，沿着跑道相向而行。 两人在C点第一次相遇，说明小明跑过的路程与小华跑过的路程之比为80：100，即4：5。 两人第一次相遇后，他们将继续在跑道上跑步，直到第二次相遇。 在此期间，两人合起来跑过的总路程将是圆形跑道的周长，即360米。 由于时间相同，路程比等于速度比，因此在第二次相遇时，小明跑过的路程与小华跑过的路程之比仍为4：5。 因此，小明跑过的路程为米。 在第一次相遇后，小明从C点出发，继续跑了160米，到达第二次相遇点。 因此，第二次相遇点距离B点的距离为小明跑过的路程减去C点到B点的距离，即160 - 100 = 60米。 答： 他俩第二次相遇点在圆周上距B点 60m。 【思路分析】首先，根据题目给出的信息，需要确定C点到B点的距离。接着，需要分析小明和小华的速度比，以及他们第一次相遇到第二次相遇所走过的总路程。通过速度比和总路程，可以计算出小明在第二次相遇时跑过的路程。最后，根据小明跑过的路程和C点到B点的距离，可以确定第二次相遇点距离B点的距离。 7．【答案】解：小百和小合的相对速度是：6+4=10米/秒。 故他们每次相遇的时间是：400÷10=40秒。 小合的速度是4米/秒，所以他在40秒内行进的路程是40×4=160米。 故小合在11次相遇后行进的总路程是：160×11=1760米。 环形跑道的长度是400米，所以小合在11次相遇后离起点的距离是1760 ÷400=4圈余160米。 因此，小合在第11次相遇时离起点160米。 【思路分析】需要确定小百和小合每次相遇的时间。由于他们是背向而行，所以他们的相对速度是他们的速度之和。可以计算出小合在每次相遇时行进的距离，以及在11次相遇后行进的总路程。将小合行进的总路程除以环形跑道的长度，得到小合行进的圈数和余数，即他离起点的距离。 8．【答案】解：由题意可知，两人的速度和为 ，速度差为 可得两人速度分别为 和 所以两人跑一圈分别需要6分钟和12分钟． 【思路分析】本题将一圈的距离看成单位“1”，那么两人的速度分别是：速度和÷2，速度差÷2，据此作答即可。 9．【答案】解：（6+4）×30 =10×30 =300（米） 400>300 400-300=100（米） 答：两人没有相遇，还相距100米。 【思路分析】可可的速度 +乐乐的速度=两人的速度和，（可可的速度 +乐乐的速度）×跑步时间=两人的路程和。然后用两人的路程和与跑道长比较：如果路程和等于跑道长度说明两已经相遇；如果路程和小于跑道长度说明两人还没有相遇，跑道长度与路程和的差就是两人之间相距的距离；如果路程和大于跑道长度说明两人已经相遇并又向相反方向跑了一段距离了。 10．【答案】解：如图所示 甲虫与蚂蚁爬完半个圆图长所用时间之比是 甲虫： 蚂蚁 。依次绘制甲虫与蚂蚁朵行的折线图： 从图中可以看出，第二次相過点是 ， 第三次相颫点是 ， 且有： 所以 。由题意 (厘米)， 所以 . 图周长是 (厘米)。 （注：上面的解答中，用 代表 的弧长，其他同) 【思路分析】理解甲虫和蚂蚁的运动规律。已知甲虫的速度是蚂蚁速度的2.4倍，这意味着在相同的时间内，甲虫能爬行的距离是蚂蚁的2.4倍。通过分析它们的相遇点，可以推断出圆形路线的全长。 11．【答案】解：假设甲乙不休息，二人相遇时间为： 20÷（4+6）=2（小时） 因二人中途休息，所以两人相遇所用时间超过2小时，且都休息了两次， 当二人同时出发130分钟时： 甲走了：4×2=8（千米） 乙走了：6×(130-20)÷60=11(千米) (20-8-11)÷(4+6)=0.1(小时) 130+0.1×60=136(分钟) 答： 两人从出发到第一次相遇用了 136分钟。 【思路分析】由题意可知，当甲乙二人走的路程和为20千米时，二人相遇。实际上甲每走3千米花费时间为1小时又5分钟，即65分钟；乙每走6千米花费时间为1小时又10分钟，即70分钟； 假设甲乙不休息，求相遇需要时间是2小时，因中途休息，所以相遇时间超过2小时，先求2小时甲乙走的路程，再求出剩余路程甲乙走需要的时间，即可求得相遇用的时间。依据‘路程=速度×时间’ 12．【答案】解：第一次甲追上乙需：200÷2÷（6-5）=100（秒） （圈） 超过1圈追上1次， 因此共追上 （次）。 答：16分钟内，甲追上乙5次。 【思路分析】 根据“追及时间=路程差÷速度差”，如图，第一次甲追上乙是在200÷2÷（6-5）=100秒后，16分=60×16=960秒，后来又行了16×60-100=860（秒），后来甲行了860×6÷200=25.8（圈），乙行了860×5÷200=21．（圈）；超过1圈追上1次，所以后来又追上了25-21=4（次），因此共追上4+1=5次； 此题属于复杂的环形跑道追及问题，解答此题的关键是根据路程差、速度差和追及时间三者之间的关系，进行分析解答即可 13．【答案】解：速度差：600÷12=50（米）， 速度和：600÷4=150（米）， 哥哥的速度：（50+150）÷2=100（米）， 弟弟的速度：150-100=50（米）， 哥哥跑一圈用的时间：600÷100=6（分钟）， 弟弟跑一圈用的时间：600÷50=12（分钟）， 答：哥哥用6分钟，弟弟用12分钟。 【思路分析】题中要求两人跑一圈各用多少分钟？根据题意要求两人跑一圈各用多少分钟，那么我们就需要计算出两人的速度，题中告诉我们兄弟两人同时从同一地点出发，一前一后，每隔12分钟相遇一次，也就是路程差，即一圈路程；每隔4分钟相遇一次，也就是路程和，即一圈路程。所以两人合跑一圈用4分钟，根据路程=速度×时间，可以分别算出两个人的速度，再根据时间=路程÷速度，即可解答。 14．【答案】解：设甲原来每单位时间的速度为，乙原来每单位时间的速度为。 所以，他们所花时间的比为： 由此，可以得到以下方程： 解得：（米） 从A点到相遇点的路程为：（米） 因此，乙的速度为：（米） 两人速度变化后，甲的速度为：（米） 乙的速度为：（米） 从相遇点开始，甲追上乙时，甲比乙多行一圈，即490米。因此，甲追上乙所需的时间为： （单位时间） 因此，甲追上乙时一共跑的路程为：（米） 答：甲一共跑了2690米。 【思路分析】首先，设定甲乙两人原来的速度，并根据题目描述建立速度比和时间比的关系。接着，根据这些比例关系，结合已知的跑道长度和甲乙两人的相遇位置，求解出甲乙两人原来的速度。然后，根据题目描述，计算出甲乙两人速度变化后的速度。最后，利用追及问题的原理，结合已知的速度差和跑道长度，求解出甲追上乙时甲一共跑了多少米。 15．【答案】解：半跑道长为x米，则有 3(x-60)=2x-100 3x-180=2x-100 x=80 2x=2×80=160 答： 跑道的长是 160米。 【思路分析】根据第一次相遇甲、乙共跑了半圈，其中甲跑了60米。设半跑道长为x米，则乙在俩人第一次相遇时跑了(x-60)米。又因为从出发到甲、乙第二次相遇共跑了3个半圈长，由于他俩匀速跑步，在3个半圈长里乙应跑3(x-60)米，而这个距离恰好是乙跑一圈还差100米，即(2x-100)米，根据此数量关系列方程解答即可。 16．【答案】 解： 400÷（5+4） =400÷9 =（秒） 30分=1800秒 答：30分钟内两人会相遇40次 【解析】 【分析】根据”路程和÷速度和=时间“先算出一次相遇所需要的时间，再求出30分钟即1800秒里有多少个，既是相遇的次数 17．【答案】解：200×2=400（米） 400÷（2.4-0.8） =400÷1.6 =250（秒） 答：乙在第2次追上甲时用了250秒。 【思路分析】乙两次追上甲则乙跑的路程是环形跑道两圈的长度，乙的速度－甲的速度=两人的速度差，乙跑的路程÷（乙的速度－甲的速度）=乙在第2次追上甲时用的时间。据此可以解答。 18．【答案】解：如果如果乙在甲的前边，则两人相距100米： 假设甲乙都不停地跑，那么甲追上乙的时间是100÷（10﹣9）=100（秒）， （100÷10﹣1）×10+100 =9×10+100， =190（秒）． 答：如果乙在甲的前边，则两人相距100米，甲追上乙需要190秒． 如果如果乙在甲的后边，则两人相距400﹣100=300米． 190×3=570（秒）． 答：如果乙在甲的后边，则两人相300米，则甲追上乙要570秒． 【思路分析】本题要从两个方面去分析： 如果乙在甲的前边，则两人相距100米： 假设甲乙都不停地跑，那么甲追上乙的时间是100÷（10﹣9）=100（秒），甲、乙每跑100米停10秒，等于甲跑100÷10=10（秒）休息10秒，乙跑100÷9=11（秒）休息10秒．跑100秒甲要停100÷10﹣1=9（次）共用100+10×9=190（秒），此时甲已跑的路程为1000米；跑100秒乙要停100÷11﹣1=8次，在第180秒时乙已跑路程为100×9=900米（他此时已休息8次，花80秒），并在该处休息到第190秒，甲刚好在乙准备动身时赶到，他们确实碰到一块了．所以甲追上乙需要的时间是190秒． 如果乙在甲的后边，则两人相距400﹣100=300米．追及100米的距离需要190秒，则追及300米需要190×3=570秒． 　 19．【答案】解：甲乙两车原速度和为400÷5=80（千米/时），两车速度增加后，相遇时间为：400÷（80+10×2）=4（小时）， 甲车现在4小时比原来多走：10✖4=40（千米） 所以甲车原来的速度为：（40-3）÷（5-4）=37÷1=37（千米/时） 答：甲车原来每小时行37千米 【思路分析】两车速度差不变，第一次两车5小时相遇速度增加后，两车4小时相遇，用现在多走的路程减去多出的3千米，除以时间差，就是甲原来的速度 20．【答案】解：将操场一圈看作单位“1”， 速度和： 速度差： 小明的速度： （分钟） 爷爷的速度： （分钟） 答：小明走一圈需要6分钟，爷爷走一圈需要8分钟。 【思路分析】将操场一圈看作单位“1”，则两人的速度和为，两人的速度差为；再根据和差公式：较大数=(和+差)÷2可以计算出小明的速度；较小数=(和-差)÷2可以计算出爷爷的速度；最后用路程分别除以两人的速度即可求出两人走一圈各自需要的时间。 21．【答案】解：（180＋240）×30 ＝420×30 ＝12600（米） 12600÷24＝525（米） 答：跑道的长度最多是525米。 【思路分析】因为是同时同地出发，反向跑步，所以第一次相遇两人路程之和等于跑道长，因此第一次相遇时两人跑的路程和是跑道1圈的长度。从第一次相遇开始，两人每相遇一次，两人的路程和是跑道长的1圈的长度。因此30分钟内相遇24次，即共跑了24圈，此时共跑了（跑道1圈的长度×24）米。 求出24圈的长度，再除以24即可求出跑道的长度。 22．【答案】解：8÷2×1.5 =4×1.5 =6（米） 8-6=2（米） 2÷（2×3+1.5）×1.5 =2÷7.5×1.5 =×1.5 =0.4（米） 6+0.4=6.4（米） 答：两只猴子距地面6.4米高的地方相遇。 【思路分析】因为两只猴子上树时间相同，假设时间都为1，则大猴子的速度=2÷1=2（米），小猴子的速度=1.5÷1=1.5（米）；大树高为路程，路程÷大猴子的速度=时间，路程÷大猴子的速度×小猴子的速度=小猴子的路程，这时大猴子已经上到树顶，大树高度－小猴子的路程=两只猴子之间的距离；下树时大猴子的速度比原来快了2倍，即大猴子下树速度是原来速度的3倍，两只猴子之间的距离÷（大猴子原来速度×3+小猴子速度）=相遇时间，两只猴子之间的距离÷（大猴子原来速度×3+小猴子速度）×小猴子的速度=大猴子下树时小猴子上树的距离，小猴子的路程+大猴子下树时小猴子上树的距离=相遇时两只猴子距地面的高度。 23．【答案】解：400÷（280-240） =400÷40 =10（分钟） 答：经过10分钟甲第一次追上乙。 【思路分析】甲第一次追上乙需要的时间=环形跑道的长度÷（甲的速度-乙的速度）。 24．【答案】解：两次相遇小张所走全部路程：80+80×2=240（米） 半个圆周的路程：240-60=180（米） 圆的周长 ：180×2=360（米） 答： 这个圆的周长 360米。 【思路分析】观察图形，第1次相遇时，两人共同走完半圈，小张走了弧AC为80米；第2次相遇时，两人又共同走完1圈，小张走了弧CBD=2弧AC，为160米；据“D点离B点60米”，可知弧BD=60米，用弧CBD-弧BD，求出弧CB=100米；用弧AC+弧BC，求出弧ACB的长度；圆的周长=弧ACB×2；此题得解。 25．【答案】解：100+5+10=30 （秒），甲每30秒跑100米。 100+4+10=35 （秒），乙每35秒跑100米。 [30，35]=210=30×7=35×6， 甲每210秒跑700米，乙每210秒600米，此时甲在乙后面600+170-700=70米处， 甲每30秒跑100米，90秒跑300米，14秒跑70米。 乙每35秒跑100米，95秒跑300米（然后休息10秒）。 甲需：210+90+14=314（秒） 答： 甲需要314秒才能追上乙（追上时，乙已休息了9秒）。 【思路分析】由题意可得，甲跑100米需要（100÷5+10）=30秒，乙跑100米需要（100÷4+10）=35秒，根据30和35的公倍数可分析出在相同时间下甲乙分别跑了多少米，此时再根据相差的距离具体计算即可。 26．【答案】解：根据题意可知，甲、乙只可能在 右侧的半跑道上相遇．易知小跑道上 左侧的路程为100米，右侧的路程为200米，大跑道上 的左、右两侧的路程均是200米．我们将甲、乙的行程状况分析清楚．当甲第一次到达 点时，乙还没有到达 点，所以第一次相遇一定在逆时针的 某处．而当乙第一次到达 点时，所需时间为 秒，此时甲跑了 米，在离 点 米处．乙跑出小跑道到达 点需要 秒，则甲又跑了 米，在 点左边 米处．所以当甲再次到达 处时，乙还未到 处，那么甲必定能在 点右边某处与乙第二次相遇．从乙再次到达 处开始计算，还需 秒，甲、乙第二次相遇，此时甲共跑了 秒．所以，从开始到甲、乙第二次相遇甲共跑了 米． 【解析】【解答】第一次相遇的时间是：400÷（6+4）=40（秒）； 第一次相遇时甲、乙所跑的路程分别是：40×6=240（米），40×4=160（米）； 乙回到出发点A的时间： （300-160）÷4 =140÷4 =35（秒）； 甲行驶的路程是： 6×35=210（米） 甲处的位置： 210-（400-240） =210-160 =50（米）； 即甲在A点左50米处； 再相遇还需要的时间是： （400-50）÷（6+4） =350÷10 =35（秒）； 甲一共跑的路程是： 6×（40+35+35） =6×110 =660（米） 答：甲共跑了660米。 【分析】根据题意，用总路程÷速度和，求出甲、乙第一次相遇所用的时间；用时间×速度，分别求出第一次相遇甲、乙所跑的路程；用剩余路程÷乙速，求出乙跑回A处所用时间；用时间×甲速，求出甲所跑的路程，这时甲所处的位置在A点左侧50米处；用剩余路程÷速度和，求出再次相遇所需要的时间；用两次相遇所需总时间×甲速，求出甲共跑的路程；此题得解。 27．【答案】解：设一开始时甲的速度是a，于是乙的速度便是。再设跑道长是L。 甲、乙第一次相遇点，按甲前进方向距出发点为。 甲跑完第一圈，乙跑了，乙再跑余下的，甲已折返，且以的速度跑，所以在乙跑完第一圈时，甲已折返跑了，这时，乙折返并以的速度跑着。 从这时起，甲、乙速度之比是，所以在二人第二次相遇时，甲跑了余下的的，而乙跑了它的，即第二次相遇时距出发点。 可见两次相遇点间的距离是：米， 所以L=(米)。 答：这条椭圆形跑道的长度是400米。 【思路分析】 设甲的速度为a，乙的速度为，跑道的长度为L。根据题目中给出的条件，分析甲乙两人第一次和第二次相遇时的情况，包括他们各自跑过的距离和速度。利用这些分析结果，建立数学方程来表示甲乙两人两次相遇点之间的距离与跑道长度之间的关系。最后解这个方程，得到跑道的长度。 28．【答案】解：首先我们要注意到：父亲和儿子只能在由 沿逆时针方向到 这一段跑道上相遇．而且儿子比父亲跑得快，所以相遇时一定是儿子从后面追上父亲．儿子跑一圈所用的时间是400÷100×19=76（秒），也就是说，儿子每过76秒到达 点一次．同样道理，父亲每过50秒到达 点一次．在从 到 逆时针方向的一段跑道上，儿子要跑19×（200÷100）=38（秒），父亲要跑200÷100×20=40（秒）．因此，只要在父亲到达 点后的2秒之内，儿子也到达 点，儿子就能从后面追上父亲．于是，我们需要找76的一个整数倍（这个倍数是父子相遇时儿子跑完的圈数），它比50的一个整数倍大，但至多大2．换句话说，要找76的一个倍数，它除以50的余数在0到2之间．这试一下就可以了： 余26， 余2，正合我们的要求．因此，在父子第一次相遇时，儿子已跑完2圈，也就是正在跑第3圈． 【思路分析】相遇只可能发生在由沿逆时针方向到 这一段跑道上。用半圈包含几个100米，求出 父、子跑完半圈分别所需时间，求出时间差；用包含除，分别求出父亲跑一小圈用所用时间，儿子跑一大圈用的时间。当儿子跑完第某圈到达点A所多时间-父亲跑完第某圈到达点A所用时间，在2秒内，在接下来这半圈上，儿子就能追上父亲，此题得解。 29．【答案】解：甲、乙速度和：400÷24=（米／秒）； 甲原来的速度：（-2）÷2=（米/秒）； 答：甲原来的速度为米/秒。 【思路分析】据题意可知，相遇前后甲，乙的速度和没有改变。用总距离÷时间，求出速度和；已知相遇后两人共跑一圈用 24 秒，可得相遇前两人共跑一圈也用 24 秒；可得相遇后甲用 24 秒回到原地所经过的路程就是乙在相遇前用24秒跑过的路程，可得相遇后甲的速度与相遇前乙的速度相等，可得相遇前甲速+2米／秒=相遇前乙速；用（速度和-2）÷2，可求出甲原来的速度；问题得解。 30．【答案】解：1+＝（圈） 80×3=240（米） （240-60）÷（-1）=360（米） 答：此圆形场地的周长是360米。 【思路分析】从图中可以用看出，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+＝圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即80×3=240米．有甲、乙第二次相遇时，共行走（1圈的长度－60）+240，为圈，所以此圆形场地的周长为360米。 31．【答案】解：首先是一个相遇过程，相遇时间： 6÷（65+55）=0.05（小时）小时，相遇地点距离 点： 55×0.05=2.75（千米）．然后乙车调头，成为追及过程，追及时间：6÷（65-55）=0.6（小时），乙车在此过程中走的路程： 0.6×55=33（千米），即5圈余3千米，那么这时距离 点 千米．甲车调头后又成为相遇过程，同样方法可计算出相遇地点距离 点 千米，而第4次相遇时两车又重新回到了 点，并且行驶的方向与开始相同．所以，第8次相遇时两车肯定还是相遇在 点，又 ，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，距离 点是3000米． 【解析】【解答】 甲乙两车第1次相遇时间：6÷（65+55）=0.05（小时） 甲乙两车第1次相遇时分别行驶的路程：65×0.05=3.25（千米），55×0.05=2.75（千米） 甲乙两车第2次相遇时甲追上乙所需时间：6÷（65-55）=0.6（小时） 甲追上乙时乙所行驶的圈数：0.6×55=33（千米），33÷6=5（圈）……3（千米） 第3次相遇点C与A距离：3-2.75=0.25（千米） 第11次相遇点D与A距离：3.25-0.25=3（千米）=3000米 答：两车出发后第11次相遇的地点距离有3000米。 【分析】本题属于“多次相遇问题”。借助画图分析，设甲乙两车第1次相遇为B点。据题意可知，第一次相遇是一个相向相遇问题，根据关系式“总路程÷ 速度和”可求出相遇时间为0.05小时。 据行程问题关系式“路程=速度×时间 ”，可得弧ACB=65×0.05，弧AB=55×0.05，即第一次相遇甲车行驶了3.25千米，乙车行驶了2.75千米。 设甲乙二车第2次相遇为C点。 据“一旦两车迎面相遇，则乙车立刻调头”，可知，第二次相遇变为追及问题，根据关系式“追及时间=追及路程÷速度差”可得追及时间为：6÷（65-55）。 据“路程=速度×时间 ”，可得0.6×55=33（千米）。即乙车从B点掉头后，又行驶了5圈余3千米后被甲车追上于C点，即弧BC=3千米。前面已得出弧AB=2.75千米，可得弧AC=弧BC-弧AB=0.25千米，即点C距A点0.25千米。 设甲乙二车第3次相遇为D点。据“一旦甲车从后面追上乙车，则甲车立刻调头”，可知，第三次相遇是一个相向相遇问题，关系式为：相遇时间=总路程÷ 速度和，即6÷（65+55）=0.05（小时）。据行程问题关系式“路程=速度×时间”千米，可得弧AD=弧CAD-弧AC=3千米。即点D距A点3千米。 第4次相遇为追及问题，关系式为：追及时间=追及路程÷速度差。可得6÷（65-55）=0.6（小时）。据“路程=速度×时间 ”，可得0.6×55=33（千米）。即乙车从D点掉头后，又行驶了5圈余3千米后被甲车追上于A点。 至此，第4次相遇时两车又重新回到了 A点，并且行驶的方向与开始相同。可得第8次相遇时两车肯定还是相遇在 A点，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点D是相同的，距离 A点是3000米。 32．【答案】解： ①甲第一次追上乙，用了： 甲车行了 ②第二次追上乙，用了： 甲车行了 ③第三次追上乙，用了： 甲车行了 此时甲速度乙速度 所以甲车行了240+280+420=940（千米） 答：在两车速度正好相等的时候，甲车行了940千米 【思路分析】先求出两车要经过几次相遇后速度相同，设他们相遇n次的时候速度相等，列方程，解得n=3，就是第3次相遇速度相同，然后求出甲车三次追上乙车分别用的时间，分别用三次的速度分别乘以三次用的时间，把和加在一起即可求出。 33．【答案】（1）解：甲乙原来的速度之和是： (米)， 提高速度之后的速度之和是： (米)， 所以提高速度之后二人相遇的时间是： (分钟)， 设甲原来的速度是 米/分， 则提高速度后， 甲的速度是 米/分根据题意可得方程： 解得 则乙原来的速度是： (米/分) 答：甲原来的速度是90米/分，乙原来的速度是70米/分。 （2）解：1920×2÷（90-70） =3840÷20 =192（分） 192×90÷1920 =17280÷1920 =9（圈） 没有余数，说明正好在出发点第二次追上乙。 答： 甲在出发点第二次追上乙。 【思路分析】（1）根据题意可得：公路长÷相遇时间=甲、乙两人的原速度和；甲、乙两人的原速度和+甲每分钟多走的路程+乙每分钟多走的路程=提速后甲、乙两人的速度和，公路长÷提速后甲、乙两人的速度和=提速后两人的相遇时间；甲的速度×原相遇时间－（甲原来的速度+甲每分钟多走的路程）×提速后的相遇时间=提速后相遇地点与前次相差的距离，据此关系式设甲原来的速度为x米/分，列方程即可解答； （2）根据问题“第二次追上乙”说明两人之间已经相差2圈的距离，因此，公路长×2÷（甲原来的速度－乙原来的速度）=甲第二次追上乙的时间，甲第二次追上乙的时间×甲的速度=第二次追上乙时甲走的路程，甲第二次追上乙的时间×甲的速度÷公路长=走了几圈……余数，如果有余数，则余数是几就是在距离出发点几米的地方追上乙，如果没有余数说明是在出发点追上乙，据此解答即可。 34．【答案】解：①6÷（65+55）=0.05（小时）， 这时距离A点：55×0.05=2.75（千米）； ②6÷（65-55）=0.6（小时） 55×0.6=33（千米），即5圈又3千米， 这时距离A点：3-2.75=0.25（千米） 所以，每4次相遇为一个周期，而11÷4=2……3，所以第11次相遇的地点与第3次相遇的地点是相同的，即与A点的距离是3000米。 答：第11次相遇的地点距离A点有3000米。 【思路分析】第一次相遇时间是：6÷（65+55）=0.05小时，相遇地点距离A点：55×0.05=2.75（千米），然后乙车调头，变为追及问题，追及时间为：6÷（65-55）=0.6小时，乙车在此过程中走的路程是：速度×追及时间，算出路程发现乙车走了5圈多3千米，这时乙车距离A点的距离是多出的3千米减去相遇时距离A点的距离。此时甲车掉头，又成为相遇问题，同样方法计算。然后乙车掉头，成为追及问题，又重复上述步骤，所以此时两车又重新回到了A点，并且行驶方向与最开始相同。所以得出结论，每4次相遇为一个周期，据此可以解答。 35．【答案】解：30分钟乙落后甲（5.4－4.2）÷2＝0.6（千米），有题意之乙和丙走这0.6千米用了5分钟，因为乙和丙从出发到相遇共用35分钟，所以绕湖一周的行程为：35÷5×0.6＝4.2（千米）。 【思路分析】半个小时后甲和丙相遇，此时乙落后甲的路程=速度差÷2，而这落后的路程乙和丙用了5分钟，那么绕湖一周的行程=乙出发到与丙相遇一共用的时间÷5×半个小时后乙落后甲的路程。 36．【答案】解：甲第一次追上乙时， 甲跑了： 8×[400÷(8-6)] =8×200 =1600（m）； 此时甲的速度=8-2=6米/秒，乙的速度=6-0.5=5.5米/秒 第二次甲追上乙，甲跑了： 1600+6×[400÷(6-5.5)] =1600+6×800 =1600+4800 =6400（m）； 此时甲的速度=6-2=4米/秒，乙的速度=5.5-0.5=5米/秒，乙比甲快，所以第三次是乙追上甲，此时，甲跑了： 6400+4×[400÷（5-4）] =6400+4×400 =6400+1600 =8000（米） 乙跑了：8000-400=7600m； 此时甲的速度=4+0.5=4.5米/秒，乙的速度=5+0.5=5.5米/秒， 乙到终点还需要： （10000-7600）÷5.5 =2400÷5.5 =（秒） 乙到终点时，甲距终点： 10000-（8000+4.5×） =10000-（8000+） =10000-9963 =36（米） 答：乙到达终点时，甲距离终点还有36米。 【思路分析】分析题意可得：跑道长度÷（开始时甲的速度－开始时乙的速度）=第一次甲追上乙时用去的时间，开始时甲的速度×[跑道长度÷（甲的速度－乙的速度）]=第一次甲追上乙时甲跑了的路程； 此时甲的速度=开始时的速度－减少的速度，乙的速度=开始时的速度－减少的速度，同理，第一次甲追上乙时甲跑了的路程+此时甲的速度×[跑道长度÷（此时甲的速度－此时乙的速度）]=第二次甲追上乙时甲总的跑了的路程； 此时甲的速度=上一次减速后的速度－减少的速度，乙的速度=上一次减速后的速度－减少的速度，计算后发现此时乙的速度比甲快，所以第三次应该是乙第一次追上甲，此时，第二次甲追上乙时甲总的跑了的路程+此时甲的速度×[跑道长度÷（此时乙的速度－此时甲的速度）]=第一次乙追上甲时甲跑的路程；因为第一次乙追上甲时实际上乙比甲少跑一圈，所以，第一次乙追上甲时乙总的路程=第一次乙追上甲时甲跑的路程－跑道一圈的长度； 此时甲的速度=上一次减速后的速度+增加的速度，乙的速度=上一次减速后的速度+增加的速度，总路程10000米－第一次乙追上甲时乙总的路程=此时乙距离终点的距离，（总路程10000米－第一次乙追上甲时乙总的路程）÷此时乙的速度=乙到达终点还需要的时间， 甲的速度×乙到达终点还需要的时间=这段时间甲跑的路程，甲的速度×乙到达终点还需要的时间+第一次乙追上甲时甲跑的路程=乙到达终点时甲跑的路程，总路程10000米－（甲的速度×乙到达终点还需要的时间+第一次乙追上甲时甲跑的路程）=乙到达终点时甲距离终点的路程，据此可以解答。 37．【答案】解：两人速度差：600÷12=50(米/分) 两人速度和：600÷4=150(米/分) 快的人的速度：(150+50)÷2 =200÷2 =100(米/分) 慢的人的速度：(150-50)÷2 =100÷2 =50(米/分) 快的人跑一圈需要的时间：600÷100=6(分) 慢的人跑一圈需要的时间：600÷50=12(分) 答：两人跑一圈快的人要6分钟，慢的人12分钟。 【思路分析】两人顺时针跑步，相遇时间是12分钟，那么第一次相遇时，速度快的人比速度慢的人多跑了一个全长，也就是路程差是600米，根据路程差÷相遇时间=速度差求出两人的速度差；两人逆时针跑步时，相遇时间是4分钟，第一次相遇时，两人一共跑了一个全长，也就是路程和是600米，根据路程和÷相遇时间=速度和求出两人的速度和。再根据和差公式：较大数=(和+差)÷2，较小数=(和-差)÷2，分别可以求出两人的速度；最后根据路程÷速度=时间，即可解答。 38．【答案】解：乙的速度是甲的速度的，设甲速为1，那么乙速是 他们的速度比是甲：乙； 相遇问题，第一次相遇在距甲出发点占全程的处， 当甲跑完一圈的时候，乙只能跑圈，也就是距离甲出发点占全程的处， 现在甲提速，那么速度变成了，现在他们的速度比为， 所以当乙跑完剩下的时，甲可以跑也就是在距离甲出发点处； 现在乙提速，变成了 所以他们的速度比是甲：乙， 现在他们的相遇在距离甲出发点处， 所以距离第一次相遇 现在是190米，所以总长(米) 答：这条椭圆形跑道长400米。 39．【答案】解：甲第一次追上乙，比乙多跑一圈，即1000米。 甲比乙多休息1000÷200=5次。 甲乙两人的速度差为20米/分钟。乙在甲休息时，也在跑步，则甲在休息时，乙跑了500米。 甲比乙多跑了1000+500=1500米。 甲追赶这1500米，用时为1500÷20=75分钟。 甲在75分钟内，跑了75×120=9000米。甲跑9000米，休息了4次，用时9000÷200=45分钟。 甲跑完一圈还需要休息45÷200=0.225分钟，即还差1分钟。 所以甲第一次追上乙，需要75+45+1=121分钟。 【思路分析】甲第一次追上乙，比乙多跑一圈，即1000米。所以甲比乙多休息1000÷200=5次。甲乙两人的速度差为20米/分钟，乙在甲休息时，也在跑步，则甲在休息时，乙跑了500米。甲比乙多跑了1000+500=1500米。甲追赶这1500米，用时为1500÷20=75分钟。甲在75分钟内，跑了75×120=9000米。甲跑9000米，休息了4次，用时9000÷200=45分钟。甲跑完一圈还需要休息45÷200=0.225分钟，即还差1分钟。所以甲第一次追上乙，需要75+45+1=121分钟。 40．【答案】解：追及路程：8+13+8=29（米）； 甲看见乙至少要追及的路程： 29-13=16（米）； 甲追上乙16米所需时间：16÷（3-2）=16（秒）； 甲乙16秒行驶的路程分别为：3×16=48（米），2×16=32（米）； 甲到达端点需要再行驶的路程：（13+8）×2=42（米），48-42=6（米），8-6=2（米）； 甲到达端点需要再行驶的时间：2÷3= （秒）； 甲看到乙共所需时间：16+ = （秒）。 答： 经过秒甲第一次看见乙。 【思路分析】据图分析：甲能看到乙时，甲和乙需在同一条边上。开始时，甲在顺时针方向与乙距离=2个宽+1个长，甲至少要追上2个宽至只相差一条长边时，甲才能看到乙。用追击路程÷速度差，求出甲追上乙所需时间。用时间×速度，求出甲、乙所行距离。此时甲、乙的位置如右图所示：甲还是看不见乙。用路程÷速度，求出甲要到达上面的边所需时间。再加上前面追击所需时间，此题得解。 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$