精品解析：陕西省西安市雁塔区陕西师范大学附属中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

陕西师大附中2024—2025学年度第一学期 期中考试八年级数学试题 命题人：吕彤 审题人：刘雯 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下面三组数中，是勾股数的一组是（ ） A. B. ，， C. D. 5，12，13 2. 下列各式中：①；②；③；④；⑤其中是最简二次根式的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 3. 下列各点中在函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第四象限 C. 第三象限 D. 无法确定 5. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 7. 的三边分别是、、，且满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 已知一次函数的图象不经过第一象限，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，，，若点在直线上，且，则点的坐标为 A. B. 或 C. D. 或 10. 如图，在平面直角坐标系中，．若点M在线段上，点N在y轴上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 写出一个大于且小于的无理数_______． 12. 23的平方根为_______． 13. 如图，一圆柱高为15厘米，底面上圆的周长为16厘米，若一只蚂蚁从圆柱下底面的点A沿圆柱侧面爬行至上底面与点A相对的点B处，则爬行的最短路程为_______厘米． 14. 若，是直线上的两点，则_____．（填“”“”或“”） 15. 如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中最大正方形边长为1．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．重复上述操作2024次，则此时形成的图形中所有正方形的面积之和为_______． 16. 如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为_______． 三、解答题（共8小题，共52分，解答题应写出过程） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解二元一次方程组： （1） （2） 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知各顶点均在格点上． （1）直接写出的三个顶点的坐标：A_______；B_______；C_______； （2）画出关于x轴对称的； （3）的面积为_______． 20. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元? 21. 消防车上的云梯示意图如图1，已知云梯最多只能伸长到25米，消防车高3.5米．如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，即米，此时消防车的位置A与楼房的距离米．完成B处的救援后，消防员发现在B处的正上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，且救援时消防车上的云梯伸至最长，即米，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 22. 某学校社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（如图）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，精密电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取精密电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．实验小组通过观察，发现精密电子秤的读数y（）与漏沙时间t（）满足一次函数关系，下表中列出了t与y的几组对应值： 漏沙时间t（） 0 2 4 6 8 精密电子秤读数y（） 6 （1）请你根据表格求出精密电子秤读数与漏沙时间之间的函数表达式： （2）若本次实验开始记录的时间是上午，那么当精密电子秤的读数为时，其所对应的时间是几点？ 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． （1）求的面积； （2）直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 24. 【问题情境】 （1）如图1，把一块三角板放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为_______． 【变式探究】 （2）如图2，在中，，点D、F分别是边、上的动点，且，以为腰向右作等腰，使得，，连接，求的度数． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点D是上的动点，以为腰向右作等腰，使得，连接、，则的面积是否存在最大值？若存在，求出其面积的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 陕西师大附中2024—2025学年度第一学期 期中考试八年级数学试题 命题人：吕彤 审题人：刘雯 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下面三组数中，是勾股数的一组是（ ） A. B. ，， C. D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，满足 的三个正整数，称为勾股数，根据勾股数的定义对各选项进行逐一分析即． 【详解】解：A、因为不是整数，所以这一组数不是勾股数，故A选项不符合题意； B、因为，，不是整数，所以这一组数不是勾股数，故B选项不符合题意； C、因为，所以这一组数不是勾股数，故C选项不符合题意； D、因为，所以这一组数是勾股数，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 下列各式中：①；②；③；④；⑤其中是最简二次根式的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式．熟练掌握最简二次根式是解题的关键． 根据最简二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解：；；；不是最简二次根式，；是最简二次根式， 故选：C． 3. 下列各点中在函数的图象上的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上的点，根据一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 当时，， ∴点在函数图象上， 故选：D． 4. 在平面直角坐标系中，点一定在（ ） A. 第一象限 B. 第四象限 C. 第三象限 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了第四象限中点坐标的特征．熟练掌握第四象限中点坐标的特征是解题的关键． 由，可知为，在第四象限，然后作答即可． 【详解】解：∵， ∴为，在第四象限， 故选：B． 5. 如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于、的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握两直线的交点坐标即这两条直线组成的方程组的解是解题关键． 将点的横坐标代入，求出其纵坐标，则横坐标为所求方程组中的值，纵坐标为方程组中的值． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点， 把代入，得：， 则关于、的方程组的解为． 故选：B． 6. 在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，立方根，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得m、n的值，再求的立方根即可． 【详解】解：点与点关于x轴对称， ，， ，， ， 故选D． 7. 的三边分别是、、，且满足，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用非负性得出：，，再根据等腰三角形和直角三角形的判定即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，勾股定理逆定理，以及非负性．熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，是解题的关键． 8. 已知一次函数的图象不经过第一象限，则下列说法中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的图象不经过第一象限得出，，求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第一象限， ∴，， ∴，， 故选：D． 9. 在平面直角坐标系中，，，若点在直线上，且，则点的坐标为 A. B. 或 C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质的知识，根据、两点的横坐标相同，可得出与轴平行，结合，进而得出的纵坐标，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，轴， ∵， ∴， ∴点的坐标为或， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，．若点M在线段上，点N在y轴上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短等知识．熟练掌握勾股定理，垂线段最短确定线段和最小的情况是解题的关键． 如图，连接，作于，交轴于，由题意知，当三点共线且时，的值最小，由勾股定理得，，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，作于，交轴于， 由题意知，当三点共线且时，的值最小， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得，， ∴的最小值为， 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 写出一个大于且小于的无理数_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，写出一个大于且小于的开方开不尽的数即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 23的平方根为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根，a的平方根记作． 【详解】解：23的平方根为， 故答案为：． 13. 如图，一圆柱高为15厘米，底面上圆的周长为16厘米，若一只蚂蚁从圆柱下底面的点A沿圆柱侧面爬行至上底面与点A相对的点B处，则爬行的最短路程为_______厘米． 【答案】17 【解析】 【分析】本题主要考查了利用勾股定理求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键．把圆柱体展开，连接，然后可知，，进而可由两点之间线段最短可得即为所求，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，把圆柱体展开，连接， 圆柱的高为，底面圆的周长为， ，， ， 蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程为， 故答案为：17． 14. 若，是直线上的两点，则_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，熟知上述性质是解题的关键．根据一次函数的性质，即可解答． 【详解】解：， 直线上的点，随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 15. 如图，直角三角形的三边上分别有一个正方形，其中最大正方形边长为1．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．重复上述操作2024次，则此时形成的图形中所有正方形的面积之和为_______． 【答案】2026 【解析】 【分析】本题主要考查了图形规律，勾股定理等知识．根据题意分别计算出第1次、第2次操作后所得图形中所有正方形的面积之和，找出规律，利用规律求解． 【详解】解：如图， 由勾股定理得， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 同理正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积之和等于1， 第1次操作后，图形中所有正方形的面积之和为， 同理可得第2次操作后，图形中所有正方形的面积之和为， …… 以此类推，重复上述操作n次形成的图形中所有正方形的面积之和为， 重复上述操作2024次，则此时形成的图形中所有正方形的面积之和为2026． 故答案为：2026． 16. 如图，在长方形纸片中，，点P在边上，将沿折叠，点C落在点E处，分别交于点G，F，若，则的长为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，由折叠前后对应边相等，可得，．再证，推出，设，利用勾股定理解，即可求解． 【详解】解：在长方形纸片中，， ∴，， 根据折叠可知，，． 在和中， ∴， ∴， ∴， 设， 则，，， ∵， ∴中，， ∴， 解得， ∴的长为． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共52分，解答题应写出过程） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算，平方差公式等知识．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，二次根式的混合运算，平方差公式是解题的关键． （1）利用二次根式的性质进行化简，计算二次根式的乘除，然后进行加减运算即可； （2）利用平方差公式，计算二次根式的乘法，然后进行加减计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解二元一次方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组． （1）利用代入消元法解方程即可； （2）整理方程①得方程，然后利用加减消元后解方程组即可． 【小问1详解】 解：， 将①代入②可得，解得：， 将代入①可得， 故方程组的解为：． 【小问2详解】 解：， 整理①得：③， 得：，解得：， 把代入②得，， ∴方程组的解为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知各顶点均在格点上． （1）直接写出的三个顶点的坐标：A_______；B_______；C_______； （2）画出关于x轴对称的； （3）的面积为_______． 【答案】（1），， （2） 由轴对称的性质作图如下，即为所作； （3）4 【解析】 【分析】本题考查了点坐标，利用轴对称的性质作图，坐标与图形．熟练掌握点坐标，利用轴对称的性质作图，坐标与图形是解题的关键． （1）由题意可知，； （2）根据轴对称的性质作图即可； （3）根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题意知，， 故答案为：4． 20. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元．求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元? 【答案】A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元 【解析】 【分析】设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元，根据“2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计80万元；3辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计95万元” 列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设A种型号的汽车每辆进价为x万元，B种型号的汽车每辆进价为y万元， 由题意可得，， 解得， 答：A、B两种型号的汽车每辆进价分别为25万元、10万元； 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 21. 消防车上的云梯示意图如图1，已知云梯最多只能伸长到25米，消防车高3.5米．如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，即米，此时消防车的位置A与楼房的距离米．完成B处的救援后，消防员发现在B处的正上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，且救援时消防车上的云梯伸至最长，即米，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】5米 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型，利用勾股定理解和即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 在中，，， ， ， 即消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为5米． 22. 某学校社团在进行项目化学习时，根据古代的沙漏模型（如图）制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，精密电子秤上放置盛沙容器．沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子称上的容器内，可以通过读取精密电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）．实验小组通过观察，发现精密电子秤的读数y（）与漏沙时间t（）满足一次函数关系，下表中列出了t与y的几组对应值： 漏沙时间t（） 0 2 4 6 8 精密电子秤读数y（） 6 （1）请你根据表格求出精密电子秤读数与漏沙时间之间的函数表达式： （2）若本次实验开始记录的时间是上午，那么当精密电子秤的读数为时，其所对应的时间是几点？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式．熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式是解题的关键． （1）设精密电子秤读数与漏沙时间之间的函数表达式为，将代入得，，计算求解，然后作答即可； （2）当时，，可求，然后求解时间即可． 【小问1详解】 解：设精密电子秤读数与漏沙时间之间的函数表达式为， 将代入得，， 解得，， ∴精密电子秤读数与漏沙时间之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， ∴当精密电子秤的读数为时，其所对应的时间是． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于两点． （1）求的面积； （2）直线与直线交于点C，若点P在x轴上，且，求点P的坐标． 【答案】（1）16 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形．熟练掌握直线与坐标轴的交点，两直线的交点，坐标与图形是解题的关键． （1）当时，可求；当时，可求，则，计算求解即可； （2）联立，可求，则，由，可得，可求，进而可求点坐标． 【小问1详解】 解：当时，，即； 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为16； 【小问2详解】 解：联立， 解得，， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴点坐标为或． 24. 【问题情境】 （1）如图1，把一块三角板放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，线段与的数量关系为_______． 【变式探究】 （2）如图2，在中，，点D、F分别是边、上的动点，且，以为腰向右作等腰，使得，，连接，求的度数． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，点D是上的动点，以为腰向右作等腰，使得，连接、，则的面积是否存在最大值？若存在，求出其面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）证明 即可解答； （2）在上取点G，使，连接，证明，得出，，根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角得出，求出，根据等腰三角形性质求出，最后求出结果即可； （3）在上截取，连接，过点E作于点G，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，，根据，再利用完全平方公式的非负性求出结果即可． 【详解】解：（1）解：∵ ， ，， ， ∵， ， ∴． （2）在上取点G，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）存在；在上截取，连接，过点E作于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 设，则，， ∴ ， ∵， ∴， ∴的最大值为， 即的最大值为． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，三角形内角定理的应用，完全平方式的非负性，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $