精品解析：重庆市复旦中学教育集团2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度上期期中考试 初2025届数学试题 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂出． 1. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念逐一进行判断即可得. 【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意， 故选C. 【点睛】本题主要考查轴对称图形和中心对称图形，在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形. 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. ax2+bx+c＝0 C. (x﹣1)(x﹣2)＝0 D. 3x2+2＝x2+2(x﹣1)2 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A、是分式方程．错误； B、当a＝0时不是一元二次方程，错误； C、是，一元二次方程，正确； D、3x2+2＝x2+2(x﹣1)2整理后为x=0，是一元一次方程，错误； 故选：C． 【点睛】考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 3. 下列二次函数中，其图象的对称轴为x＝﹣2的是（　　） A. y＝2x2﹣2 B. y＝﹣2x2﹣2 C. y＝2 （x﹣2）2 D. y＝（x+2）2 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质逐项分析即可. 【详解】A. y=2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项不正确，不符合题意；； B. y=﹣2x2﹣2的对称轴是x=0，故该选项不正确，不符合题意；； C. y=2（x﹣2）2的对称轴是x=2，故该选项不正确，不符合题意；； D. y=（x+2）2的对称轴是x=-2，故该选项正确，符合题意；； 故选D 【点睛】本题考查了二次函数y=a(x-h)2+k（a，b，c为常数，a≠0）的性质， y=a(x-h)2+k是抛物线的顶点式，其顶点是（h，k），对称轴是x=h．熟练掌握二次函数y=a(x-h)2+k的性质是解答本题的关键． 4. 据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，利用该展览中心5月份的参观人数=该展览中心3月份的参观人数×（1+参观人数的月平均增长率）2，可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 5. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是， 故选：A． 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，得，根据方程有两个实数根，得出，求出的取值范围即可得出答案． 【详解】解：关于的一元二次方程， ， 方程有两个实数根， ， 解得， 的取值范围是且， 故选：D． 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合，掌握两种函数的图象与性质是关键；根据一次函数与二次函数的图象与性质逐项分析即可． 【详解】解：A、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； B、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值相同，且b的值相等，故符合题意； C、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a的值不同，不符合题意； D、由一次函数图象知，；由二次函数图象知，，a与b的值都不同，故不符合题意； 故选：B． 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】①由抛物线开口方向得到，由对称轴可得到与异号，又抛物线与轴正半轴相交，得到，可得出，选项①错误；②把代入中得，所以②正确；③由时对应的函数值，可得出，得到，则，选项③正确； ④由对称轴为直线，即时，有最小值，可得结论，即可得到④正确． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，①错误； ②当时，， ∴， 把代入中得 ，所以②正确； ③当时，， ∴， ∵， ∴， 即，所以③正确； ④∵抛物线的对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为， ∴， 即，所以④正确． 综上：②③④正确． 9. 如图，O是正内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论： 可以由绕点B逆时针旋转得到； 点O与的距离为4； ； ； 其中正确的结论是　　 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】证明≌，又，所以可以由绕点B逆时针旋转得到，故结论正确； 由是等边三角形，可知结论正确； 在中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故是直角三角形；进而求得，故结论正确； ，故结论错误． 【详解】解：如图， 由题意可知，， ， 又，， ≌， 又， 可以由绕点B逆时针旋转得到， 故结论正确； 如图，连接， ，且， 是等边三角形， ． 故结论正确； ≌， ． 在中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数， 是直角三角形，， ， 故结论正确； ， 故结论错误； 故选A． 【点睛】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点． 10. 从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，，称为一次操作．下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是4； ②若，，，且，，中最小值为，则； ③给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第n次操作的结果是，，，则的值为定值． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法及整式的运算，熟练掌握一元二次方程的解法及整式的运算是解题的关键． 根据题中所给新定义运算及一元二次方程的解法可进行求解． 【详解】解：①若，，c=3，则有：，，， 所以，，为0、2、4三个数中的一个数， 故，，三个数中最大的数是4，说法正确； ②若，，， 当时，即，则，所以原方程无解； 当时，即，则，所以原方程无解； 当时，即，解得：，； ∴综上所述：若，，，且，，中最小值为，则，；故原说法错误； ③由题意的值为定值，只需检验即可， 依题意可设， 则有，，，且， 又有， ， ， ∴， 显然， ∴给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第n次操作的结果是，，，则的值为定值，说法正确； 故选：C． 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案互接填在答题卡中对应的横线上． 11. 抛物线的顶点坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．根据顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故答案为：． 12. 已知点A，B关于点成中心对称，若点A的坐标为，则点B的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—中心对称，根据中心对称的性质可得点P为的中点，据此根据两点中点坐标计算公式求解即可． 【详解】解：∵点A，B关于点成中心对称，点A的坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 13. 已知是一元二次方程，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，可得，求解即可得到答案． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得． 故答案为：． 14. a是方程的一个根，则代数式的值是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】直接把a的值代入得出，进而将原式变形得出答案． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴． 故答案为8． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，正确将原式变形是解题关键． 15. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－x2＋x＋，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________米． 【答案】2 【解析】 【分析】直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离. 【详解】解:∵函数解析式为: y＝－x2＋x＋， ∴y最值===2. 故答案为:2. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用,属于简单题,正确记忆最值公式是解题关键. 16. 若关于x的一元二次方程有实数根，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式及其定义，根据分式方程的解的情况求参数，先根据判别式和一元二次方程的定义得到，则且；再解分式方程得到，根据分式方程有非负整数解，得到是非负整数，且，进而推出且a是偶数，且，据此确定出或，由此可得答案． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴且； 去分母得：， 解得， ∵关于y的分式方程有非负整数解， ∴是非负整数，且 ∴且a是偶数，且， ∴且a是偶数，且， 综上所述，且a是偶数，且， ∴或， ∴满足条件的所有整数a的积为， 故答案为：． 17. 如图，在中，，，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． （1）则面积是 __________________ ． （2）把绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为 ___________________ ． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定与性质； （1）利用三角形的中位线得出且，进一步可证明为等腰直角三角形，再利用三角形面积计算公式计算即可； （2）要使面积最大，值则要最大，则的值要最大，故当时最大，求出面积即可． 【详解】解：（1）点P，N是，的中点， ， 点P，M是，的中点， ， ∵， ， ， ，即， ， 为等腰直角三角形， 故， 故答案为：； （2）由（1）可知为等腰直角三角形， 则， 最大时，面积最大，即最大时，面积最大， 点在的延长线上， ， ， ∴面积的最大值； 故答案为：． 18. 若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是________；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，解二元一次方程组，因式分解的应用，对于第一空要使“交替数”最小，则要最小，即，同理可知，据此根据“交替数”的定义确定c的最小值即可得到答案；对于第二空分解因式可得，求出都是正整数，再由，得到或，则或，据此求出当时m的最大值即可得到答案． 【详解】解：∵要使“交替数”最小， ∴要最小，即， 同理可知， 又∵， ∴， ∴最小为0， ∴最小的“交替数”为； 设， ∵“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15， ∴， ∴， ∵a是正整数，b是自然数， ∴， ∴， ∴都是正整数， ∵， ∴或， ∴或， 当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵m的十位数字与个位数的和能被5整除， ∴能被5整除， ∴或或， ∵要使m最大， ∴c要最大， ∴， ∴， ∴此时满足题意的m的最大值为， ∵， ∴当时，满足题意的m的最大值一定要大于当时满足题意的m的最大值， ∴m的最大值为． 故答案为：；． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，20-26每题10分）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卷对应的位置上． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得． 20. 如图，在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为，，． （1）将，绕O点顺时针旋转，画出旋转后的，并写出点，的坐标． （2）画出关于原点O对称的． （3）线段的长度为______． 【答案】（1） 如图：即为所求， ， （2） 如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换、对称变换，以及勾股定理，解题的关键是正确作出对应点． （1）根据旋转的性质即可将绕点C顺时针旋转，画出旋转后得到的，再根据直角坐标系即可得出点的坐标； （2）根据对称性即可得三点关于坐标原点O对称的点的坐标，依次连接即可； （3）连接，利用格点根据勾股定理即可求出答案． 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连接， 故答案为：． 21. 如图，在正方形中，，动点从点开始沿对角线向点以的速度移动（运动到点C停止运动），过P点作，垂足为点E，过P点作，垂足为点F，M为中点，连接，设P点移动时间为秒，的面积为，四边形的面积为． （1）请直接分别写出，关于x的函数解析式，并说明的取值范围． （2）请在图中画出，关于的函数图像，并写出函数图像的一条性质． （3）若，请结合函数图像直接写出的取值范围（结果精确到0.1）． 【答案】（1），； （2） 根据题意，作图如下； 函数图像是一条过原点的抛物线； （3） 【解析】 【分析】本题是二次函数的图像和性质，一次函数图像和性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键； （1）根据三角形面积，正方形面积公式即可求解； （2）根据（1）中的函数解析式，画出对应的函数图像； （3）根据（2）中图像求解即可； 【小问1详解】 解：设的边上的高长为， 正方形中，为对角线，， ∴， ∵，为中点， ∴，， ∴， ，， ， 四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∵秒 ∴取值范围为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， 结合图像得到：当时， 的取值范围为：； 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点，已知，． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点D的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x的轴的交点、待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据直线经过B、C两点，可以求得直线的解析式；根据抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C和点B、点C的坐标可以求得抛物线的解析式； （2）根据抛物线解析式化为顶点式，即可得到点D的坐标； （3）根据题意和图形，可知的面积的面积，然后求出的长度，即可得到的面积． 【小问1详解】 ∵直线经过B、C两点，点B的坐标为，点C的坐标为， ， 解得： ∴直线的解析式是； ∵抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为，点C的坐标为， ， 解得： 即抛物线为， 【小问2详解】 由（1）知，抛物线为 ∴该抛物线顶点D的坐标为； 【小问3详解】 设直线与抛物线对称轴交于点E， ∵点D的坐标为， 点E的横坐标为， 把代入得，， ， 的面积． 23. 如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． （1）设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； （2）若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 【答案】（1）4；6 （2）①4秒；②20米 【解析】 【分析】本题主要查了一元二次方程的应用： （1）根据速度每秒增加，完成表格，即可求解； （2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程，即可求解；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：； 故答案为：4；6 【小问2详解】 解：①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒， 则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程为： ，解得：， ∵， ∴， 答：设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒； ②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒， 由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒， ∴， 解得：， 则（米） 答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚． 24. 世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为y本，销售单价为x元． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ （3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元 （3）将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用： （1）售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，则售单价每上涨元，每天销售量减少本，所以，然后利用销售单价不低于44元且不高于52元确定的范围； （2）利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到，然后解方程后利用的范围确定销售单价； （3）利用利用每本的利润乘以销售量得到总利润得到，再把它变形为顶点式，然后利用二次函数的性质得到时最大，从而计算出时对应的的值即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， 即：； 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理得， 解得，（舍去）， 答：当每本足球纪念册销售单价是50元时，商店每天获利2400元； 【小问3详解】 解：由题意得， ， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， 答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润最大，最大利润是2640元． 25. 在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线、与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形． （1）观察线段和之间有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明； （2）观察线段、和之间有怎样的数量关系，并以图③为例，加以说明； （3）把三角板绕P点旋转，点E从C点沿射线方向移动，是否构成等腰三角形？若能，请直接写出的度数；若不能，请说明理由． 【答案】（1） 解：． 以图②为例，如图，连接， ∵是等腰直角三角形，P为斜边的中点， ∴，，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴； （2） 、和的数量关系： 理由如下：以图③为例，连接， ∵是等腰直角三角形，P为斜边的中点， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∵， ∴ （3）能，或或或 【解析】 【分析】（1）连接，利用定理证明，得出； （2）连接，通过证明，得出，从而求得线段间的数量关系； （3）结合图形分点E在线段上和在的延长线上，结合，，情况利用等腰三角形的性质进行解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 能． 当点E在上时， ①若，则，此时点D与点A重合，点E与点C重合； ②若，则，； ③若，则； 当点E在的延长线上时，如图3，此时是钝角，只能是顶角，则， 则， 综上可知，或或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质与判定；此题是分类讨论题，应分情况进行论证，不能漏解．辅助线的作出是解答本题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足．连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点Q是线段上一点，过点Q作轴，交抛物线于点P，E，F是抛物线对称轴上的两个点（点F在点E的上方），并且始终满足，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，在（2）线段长度取得最大的前提下，将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新的抛物线，求出新抛物线的解析式．抛物线交延长线于点K，新抛物线上是否存在动点N，使得若存在直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）6 （3）， 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可，根据，，得到，，代入即可求得抛物线的解析式； （2）求出直线的解析式，设，则，得，当时，取得最大值，得，取，连接，则，得四边形是平行四边形，，的最小值，的最小值； （3）的顶点为，平移得到新抛物线的顶点为，解析式为，根据，得，求出解析式，当时，的解析式，得，解得；解析式为，得，解得． 【小问1详解】 解：∵中，当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为；． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为 ∵，， ∴， 解得， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴， 取，连接， 则， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当点E在上时，取得最小值，， ∵， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：∵， ∴顶点为， ∵将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新抛物线，且， ∴该抛物线向右平移2个单位长度，向上平移2个单位长度得到新抛物线， ∴新抛物线的顶点为， ∴新抛物线解析式为， 由（2）知， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式为， 则， 解得， ∴， 当时， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 与联立， 得， 解得（舍去）， ∴； 设直线解析式为， ∴， 解得，， ∴ 与联立， 得， 解得（舍去）， ∴； 综上，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，作辅助线构造三角形，待定系数法求二次函数和一次函数解析式，平行四边形判定和性质，勾股定理，二次函数的图象平移和性质，平行线性质，等腰三角形判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆复旦中学教育集团2024-2025学年度上期期中考试 初2025届数学试题 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂出． 1. 下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 2. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. B. ax2+bx+c＝0 C. (x﹣1)(x﹣2)＝0 D. 3x2+2＝x2+2(x﹣1)2 3. 下列二次函数中，其图象的对称轴为x＝﹣2的是（　　） A. y＝2x2﹣2 B. y＝﹣2x2﹣2 C. y＝2 （x﹣2）2 D. y＝（x+2）2 4. 据了解，某展览中心3月份的参观人数为12.1万人，5月份的参观人数为14.4万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．下列结论：①；②；③；④(为实数)．其中结论正确的个数为( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，O是正内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论： 可以由绕点B逆时针旋转得到； 点O与的距离为4； ； ； 其中正确的结论是　　 A. B. C. D. 10. 从a，b，c三个数中任意取两个数相加再减去第三个数，根据不同的选择得到三个结果，，，称为一次操作．下列说法： ①若，，，则，，三个数中最大的数是4； ②若，，，且，，中最小值为，则； ③给定a，b，c三个数，将第一次操作的三个结果，，按上述方法再进行一次操作，得到三个结果，，，以此类推，第n次操作的结果是，，，则的值为定值． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）将每小题的答案互接填在答题卡中对应的横线上． 11. 抛物线的顶点坐标是______． 12. 已知点A，B关于点成中心对称，若点A的坐标为，则点B的坐标是______． 13. 已知是一元二次方程，则______________． 14. a是方程的一个根，则代数式的值是_______． 15. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数表达式为y＝－x2＋x＋，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为________米． 16. 若关于x的一元二次方程有实数根，且关于y的分式方程有非负整数解，则满足条件的所有整数a的积为______． 17. 如图，在中，，，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点． （1）则面积是 __________________ ． （2）把绕点在平面内自由旋转，面积的最大值为 ___________________ ． 18. 若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是________；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为________． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，20-26每题10分）解答时每小题必须写出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形，请将解答过程书写在答题卷对应的位置上． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 如图，在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为，，． （1）将，绕O点顺时针旋转，画出旋转后的，并写出点，的坐标． （2）画出关于原点O对称的． （3）线段的长度为______． 21. 如图，在正方形中，，动点从点开始沿对角线向点以的速度移动（运动到点C停止运动），过P点作，垂足为点E，过P点作，垂足为点F，M为中点，连接，设P点移动时间为秒，的面积为，四边形的面积为． （1）请直接分别写出，关于x的函数解析式，并说明的取值范围． （2）请在图中画出，关于的函数图像，并写出函数图像的一条性质． （3）若，请结合函数图像直接写出的取值范围（结果精确到0.1）． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线经过B、C两点，已知，． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点D的坐标； （3）求的面积． 23. 如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． （1）设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； （2）若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 24. 世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于12元．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售为y本，销售单价为x元． （1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利2400元？ （3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？ 25. 在中，，，将一块三角板的直角顶点放在斜边的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线、与点D、点E，图①，②，③是旋转得到的三种图形． （1）观察线段和之间有怎样的大小关系，并以图②为例，加以说明； （2）观察线段、和之间有怎样的数量关系，并以图③为例，加以说明； （3）把三角板绕P点旋转，点E从C点沿射线方向移动，是否构成等腰三角形？若能，请直接写出的度数；若不能，请说明理由． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足．连接． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，点Q是线段上一点，过点Q作轴，交抛物线于点P，E，F是抛物线对称轴上的两个点（点F在点E的上方），并且始终满足，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）如图2，在（2）线段长度取得最大的前提下，将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新的抛物线，求出新抛物线的解析式．抛物线交延长线于点K，新抛物线上是否存在动点N，使得若存在直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $