精品解析：江西省景德镇市2024-2025学年高一上学期11月期中质量检测数学试卷

景德镇市2024-2025学年度上学期期中质量检测卷 高一数学 命题人：景德镇二中 李昊 乐平一中 舒道伟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用交集概念计算即可. 【详解】,则. 故选：D. 2. 已知：两个三角形全等，：两个三角形的面积相等，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】运用充分条件和必要条件的概念判断即可. 【详解】由若两个三角形全等，则两个三角形大小，形状一样，则这两个三角形的面积相等，即p是q的充分条件.取两直角边长分别为4，1与2，2的直角三角形，面积均为2，但两三角形不全等，即p是q的不必要条件，故p是q的充分不必要条件. 故选：A. 3. 若，，则下列不等关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质和特例法进行判断即可. 【详解】因为，，所以，因此选项A不正确； 因为，所以，因此选项D正确； 当时，显然符合，，但是，， 显然选项B、C不正确. 故选：D 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知，结合基本不等式，可得，从而可求出的最大值. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以，整理得，即. 所以的最大值为. 故选：D. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正、二定、三相等”. （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 5. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域与值域，结合函数的性质判断即可. 【详解】对A，该函数的定义域为，故A错误； 对B，该函数的定义域为，值域为，故B正确； 对C，当时，每一个x值都有两个y值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误； 对D，该函数的值域不是为，故D错误. 故选：B. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式，可知，解不等式，即可求出结果. 【详解】要使函数有意义，则有，解得且，所以其定义域为． 故选：C. 7. 若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2或 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数定义和性质可解. 【详解】函数为幂函数，且在区间上单调递增， 则，即，解得. 故选：A. 8. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求的最小值，然后得到答案. 【详解】由题可知， 所以有 当且仅当，即时，等号成立， 所以恒成立，即 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B. 集合与集合是相同的集合 C. 由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D. 在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项：集合中元素需要具备确定性，而视力差标准不确定；B选项：点集和数集无法相等；C选项：集合中相同的元素算做1个；D选项：可以判断出和异号. 【详解】对于选项A，视力差标准不确定，所以某校高一年级视力差的学生不能构成集合，故选项A错误， 对于选项B，其中集合是数集，集合是点集， 所以集合与集合不是同一集合，故选项B错误， 对于选项C，因为，由集合中元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，所以选项C正确， 对于选项D，因为第二或第四象限内的点横纵坐标异号，即， 所以第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合，故选D正确， 故选：CD. 10. 关于函数的性质描述，正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 【答案】BC 【解析】 【分析】对AB：根据函数奇偶性的定义，直接判断即可；对C：根据幂函数单调性和复合函数单调性，直接判断即可；对D：根据函数奇偶性和单调性，直接求函数值域即可. 【详解】对AB：若使得函数有意义，则，解得，定义域关于原点对称； 当时，，又， 故为偶函数，A错误，B正确； 对C：当时，，令， 又在单调递减，，在单调递增， 根据复合函数单调性，在单调递减，故在单调递增，故C正确； 对D：根据C中所求，在单调递增，又， 故在的值域为，又为偶函数，故的值域为，故D错误. 故选：BC. 11. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据柯西不等式，等号成立条件为，对每个选项进行分析计算，判断其正误. 【详解】对于A选项，根据柯西不等式. 因为，所以，即. 所以，则，当且仅当时取等号， A选项正确. 对于B选项，令，，则. 根据柯西不等式. 即.当且仅当取等号， 所以，B选项错误. 对于C选项，根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号.所以，C选项错误. 对于D选项，令，，则. 根据柯西不等式. 因为，所以.当且仅当取等号. 所以，D选项正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”的否定是_____. 【答案】， 【解析】 【分析】直接根据存在量词命题的否定即可得到答案. 【详解】根据存在量词命题的否定全称量词命题， 则“”的否定是“，”. 故答案为：，. 13. 不等式的解集为_____. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式转化为或，再根据集合交集即可求解. 【详解】根据题意原不等式可转化为或， 则即， 则即， 综上可得不等式的解集为. 故答案为： 14. 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据单调性的概念和函数的定义域得到满足的条件，从而得到结果. 【详解】由题意可得，，解得. 所以的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若B中有且只有一个元素，求实数m的值； （2）若求实数m的值. 【答案】（1）1 （2）m＝1或m＝2 【解析】 【分析】（1）解法一：利用十字相乘法解方程，由题意，可得答案；解法二：根据二次方程根的判别式，结合题意，建立方程，可得答案； （2）求得两个方程的根，利用集合之间的关系，根据分类讨论的思想，可得答案. 【小问1详解】 解法一：因为，整理可得，解得或，又B中只有一个元素，故. 解法二：B中有且只有一个元素，所以方程有唯一实根，从而，所以m＝1. 【小问2详解】 由，解得或， 由，整理可得，解得或， B⊆A，当m＝1时，B＝{﹣1}，满足B⊆A， 当m＝2时，B＝{﹣1，﹣2}同样满足B⊆A，故m＝1或m＝2. 16. 已知函数 （1）求，； （2）作出函数在区间内的图象. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据分段函数的解析式代入求解即可；（2）分段画出函数图象即可. 【小问1详解】 . ， 又，. 【小问2详解】 函数在区间内的图象如下： 17. 已知函数. （1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）； （3）存在，. 【解析】 【分析】（1）根据对称轴和区间端点的相对位置即可求得的取值范围. （2）分类讨论当时函数的最大值小于恒成立即可求得的取值范围. （3）分类讨论得函数的值域结合已知条件求得的值. 【小问1详解】 函数图象开口向下且对称轴是，要使在上单调递减，应满足，解得. 【小问2详解】 函数图象的对称轴是. 当时，恒成立，故，所以； 当时，恒成立，故； 所以 综上所述：的取值范围 【小问3详解】 当，即时，在上递减， 若存在实数，使在上的值域是，则 即，此时无解. 当，即时，在上递增，则即解得. 当，即时，在上先递增，再递减，所以在处取得最大值，则，解得或，舍去. 综上可得，存在实数，使得在上的值域恰好是. 18. 景德镇市，别称“瓷都”，设镇于东晋时期，始称“昌南”，后易名“新平”，作为世界著名的陶瓷圣地，拥有丰富的文化遗产和自然资源，为旅游业的发展提供了得天独厚的条件.近年来，随着人们对传统文化和手工艺的兴趣日益增加，景德镇的陶瓷文化和制作过程吸引了越来越多的游客.小李看到了旅游带来的商机，想在景德镇开民宿，他发现一处拥有40间房间的酒店正在转让，他有了想盘下来开民宿的想法.通过调研，该位置附近的其他相似的酒店每间定价150元时，每天都可租出全部所有的房间，若每间房价上涨10元，则会少租出一间.已知盘下这个酒店开民宿，小李投入成本需要252万元，小李准备依照调研的数据来预算盘下该酒店后的收支情况，按照每间房基础定价150元，若每间房上涨了元，每天收入为元. （1）求出和之间的函数关系式. （2）若小李想要一年（按照360天计算）收回成本，请问每间房价应该定为多少元？ （3）每间客房定价为多少时，利润最大？ 【答案】（1）; （2）（元）; （3）房价为270或280时，利润最大. 【解析】 【分析】（1）分且和两种情况，由题意得到和之间的函数关系式； （2）想一年（按照360天计算）收回成本，则一年（按照360天计算）的收入不小于投入的成本252万元，解不等式即可求得； （3）根据利润=收入成本，将年利润表示成的函数，将问题转化为二次函数的最大值问题求解即得. 【小问1详解】 当且时，； 当时，. ∴ 【小问2详解】 由题意分析可知： ， 即：， 故：， 即：每间房价应该定为（元）之间. 【小问3详解】 设利润为，则 故对称轴为，而，即：或12时，利润最大. 即：房价为270或280时，利润最大，最大值为201600. 19. 已知的定义域为，对，，都有，当时，，且. （1）求和的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若对于，，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2）在上单调递增. 证明：假设且，，则， 令，，, 代入中， 故 ， 即：.即：函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法令即可求出，再令，即可求出； （2）假设且，，赋值，，代入计算得即可证明其单调性； （3）对原不等式化简整理得，再进行等价转化，代入端点值得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 令代入中， 则； 令，代入中，， 而，则. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由 又且，故： 又因为函数在上单调递增， 故等价于， 使得成立.即：. 令，则， 即：，则. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是原不等式等价转化为使得成立，再代入端点值得到不等式组，利用换元法解出不等式组即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇市2024-2025学年度上学期期中质量检测卷 高一数学 命题人：景德镇二中 李昊 乐平一中 舒道伟 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知：两个三角形全等，：两个三角形的面积相等，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，则下列不等关系成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 若函数的定义域为，值域为，则函数的图像可能是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 2或 8. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 某校高一年级视力差的学生可以构成一个集合 B. 集合与集合是相同的集合 C. 由，，，，这些数组成的集合有4个元素 D. 在平面直角坐标系中，第Ⅱ象限或第Ⅳ象限内所有的点组成的点集，可以表示成集合 10. 关于函数的性质描述，正确的有（ ） A. 为奇函数 B. 为偶函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 11. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）是一种在数学和物理学中广泛使用的不等式，它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西提出的，柯西不等式可以用于证明其他不等式，也可以用于解决一些数学问题.以下是柯西不等式的原始形式： ①对于所有实数和，有. ②等式条件：当且仅当时，等号成立. 例：已知，由柯西不等式，可得.运用柯西不等式，判断以下正确的选项有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 命题“”的否定是_____. 13. 不等式的解集为_____. 14. 已知是定义在上的增函数，且，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合，. （1）若B中有且只有一个元素，求实数m的值； （2）若求实数m的值. 16. 已知函数 （1）求，； （2）作出函数在区间内的图象. 17. 已知函数. （1）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （2）若当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得在上的值域恰好是？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由. 18. 景德镇市，别称“瓷都”，设镇于东晋时期，始称“昌南”，后易名“新平”，作为世界著名的陶瓷圣地，拥有丰富的文化遗产和自然资源，为旅游业的发展提供了得天独厚的条件.近年来，随着人们对传统文化和手工艺的兴趣日益增加，景德镇的陶瓷文化和制作过程吸引了越来越多的游客.小李看到了旅游带来的商机，想在景德镇开民宿，他发现一处拥有40间房间的酒店正在转让，他有了想盘下来开民宿的想法.通过调研，该位置附近的其他相似的酒店每间定价150元时，每天都可租出全部所有的房间，若每间房价上涨10元，则会少租出一间.已知盘下这个酒店开民宿，小李投入成本需要252万元，小李准备依照调研的数据来预算盘下该酒店后的收支情况，按照每间房基础定价150元，若每间房上涨了元，每天收入为元. （1）求出和之间的函数关系式. （2）若小李想要一年（按照360天计算）收回成本，请问每间房价应该定为多少元？ （3）每间客房定价为多少时，利润最大？ 19. 已知的定义域为，对，，都有，当时，，且. （1）求和的值； （2）判断函数的单调性，并证明； （3）若对于，，使得成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $