精品解析：河北省邯郸市大名县第一中学等校2024-2025学年高二上学期11月期中检测数学试题

2024～2025学年度第一学期期中检测试卷 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线：的离心率为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（ ） A. B. 3 C. 9 D. 7 5. 已知两平行直线与之间的距离为，则（ ） A. B. 23 C. 13或23 D. 或 6. 直线被圆截得的最短弦长为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 8. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 圆与圆没有公共点，则的值可能是（ ） A B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则 C. 已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则的最小值是 D. 已知是椭圆左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面内的一点（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得周长为7 B. 存在点，使得 C. D. 若点满足，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则______． 13. 已知圆，点是直线上一点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若直线上仅有一点，使得，则的值为______. 14. 如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交于另外一点，且，则的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆C标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 16. 求适合下列条件的曲线的标准方程： （1）已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程； （2）求过点，的双曲线的标准方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点. （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 18 已知双曲线过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过的右焦点的直线与交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点，求直线的方程． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点是上位于第一象限内的一点，且的周长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与交于另外一点，直线与交于另外一点. ①若，求直线的方程； ②记的面积分别为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第一学期期中检测试卷 高二数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 经过两点的直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两点横坐标得直线与轴垂直，从而易得倾斜角． 【详解】由已知两点横坐标知直线的斜率不存在，即轴，所以倾斜角为， 故选：C． 2. 向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，由，得，即， 因此，所以. 故选：B 3. 已知双曲线：的离心率为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线的知识求得正确答案. 【详解】双曲线：，即，所以， 所以 . 故选：D 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（ ） A. B. 3 C. 9 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据的面积为，即可求解. 【详解】根据题意可知椭圆半焦距，设点,，，那么， 所以的面积， 所以，所以，化简得， 即或9． 又因为，解得， 因此． 故选：D． 5. 已知两平行直线与之间的距离为，则（ ） A. B. 23 C. 13或23 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式计算即得. 【详解】由直线与平行，得，则， 直线，于是，解得或， 所以或. 故选：C 6. 直线被圆截得的最短弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线过圆内定点，当为弦中点时弦长最短，用勾股定理求弦长． 【详解】圆标准方程为，圆心为，半径为4， 直线的方程整理为，因此直线过定点， ，在圆内， 当为所截弦中点时，弦长最短，此时， ， 最短弦长为， 故选：D． 7. 《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求. 【详解】由题意，以坐标原点，所在直线分别为轴，建系如图， 设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 故选：C 8. 已知椭圆和双曲线有公共的焦点，其中为左焦点，是与在第一象限的公共点.线段的垂直平分线经过坐标原点，若的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，利用勾股定理，结合椭圆、双曲线的定义建立方程组，由半焦距表示出即可求出渐近线方程. 【详解】令线段的垂直平分线与的交点为，显然是的中点，而是的中点， 则，而，因此，， 则，令与的半焦距为， 由，得，于是，解得，则， ，所以的渐近线方程为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 圆与圆没有公共点，则的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由两圆位置关系求得参数范围，然后判断各选项． 【详解】由已知圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为4， 两圆无公共点，则，解得或， 或者，解得， 综上或或， ACD满足， 故选：ACD． 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 B. 若直线经过第一象限、第二象限、第四象限，则 C. 已知双曲线左焦点为，是双曲线上的一点，则的最小值是 D. 已知是椭圆左、右焦点，是椭圆上的一点，则的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】举例说明判断A；利用直线横纵截距符号判断B；利用双曲线的意义求出最小值判断C； 利用椭圆定义求出最小值判断D. 【详解】对于A，当时，直线与直线垂直，A错误； 对于B，直线的横纵截距分别为，依题意，，因此，B正确； 对于C，双曲线实半轴长，半焦距，为左焦点， 当为左顶点时，，C正确； 对于D，点在椭圆外，其长半轴长，点， 而，则， 当且仅当是线段与椭圆的交点时取等号，D错误. 故选：BC 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点是底面内的一点（包括边界），则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得的周长为7 B. 存在点，使得 C. D. 若点满足，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】作关于平面对称点，，计算可判断A，建立如图所示的空间直角坐标系，设，利用空间向量研究垂直、数量积，求空间轨迹并求得轨迹长度判断BCD． 【详解】延长到，使得，则关于平面对称，， 由正方体性质知，因此， 又， 所以， 所以的周长不可能为7，A错； 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，底面内一点，设，， ， ， 当且仅当时，，即，此时为正方形中心．B正确； ， ， , ， ，C正确； ，， ，则．即， 所以点轨迹是平面内直线在正方形内的一条线段， 由得，由得，因此此线段的两端点分别是的中点，由已知，D正确． 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：空间线段和最小值问题，常常利用对称转化两点间的距离线段求解，在立体图形中如果垂直关系较多（如正方体，长方体等）可以建立空间直角坐标系，用向量研究垂直与平行． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量模的运算求得正确答案. 【详解】， 所以. 故答案为： 13. 已知圆，点是直线上一点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若直线上仅有一点，使得，则的值为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，由圆的切线性质可得点在的外接圆上，再由唯一性可得，进而列式计算即得. 【详解】圆的圆心，半径， 由，得点在的外接圆上，当时，， 该圆直径，由直线上仅有一点，使得，得的外接圆与直线相切， 即，于是，解得或， 所以的值为或. 故答案为：或 14. 如图，在直角坐标系xOy中，点是椭圆上位于第一象限内的一点，直线与交于另外一点，过点作轴的垂线，垂足为，直线交于另外一点，且，则的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】设，,则，，根据直线斜率的坐标公式，可分别求得直线的斜率，又，所以，从而，再根据点在椭圆上化简即可. 【详解】设，,则，， 所以，， 因为，所以，所以，即. 又， 所以，即，解得，即椭圆的离心率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知圆过两点，且圆心在直线上. （1）求圆C的标准方程； （2）若过圆心的直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，与已知直线方程联立求出圆心坐标及半径即可. （2）按截距为0和不为0分类，并借助直线的截距式方程求解. 【小问1详解】 由点，得线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线方程为，即， 由，解得，即圆心，半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 由（1）知，点， 当直线过原点时，直线在轴，轴上的截距相等，此时直线的方程为， 当直线不过原点时，设直线的方程为，则，解得，方程为， 所以直线的方程为或. 16. 求适合下列条件的曲线的标准方程： （1）已知动点到定点的距离和到定直线：的距离的比是常数，记点的轨迹为曲线．求曲线的标准方程； （2）求过点，的双曲线的标准方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得曲线的标准方程. （2）设双曲线的方程为，代入点即可求解； 【小问1详解】 依题意，，即， 两边平方得， 整理得. 【小问2详解】 设双曲线的方程为，将，代入得： ，解得， 所以双曲线方程为. 17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，是等边三角形，且平面平面，点为棱的中点. （1）求证：； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）取中点，证明，证明平面，由此得，从而再证得平面，最后得证结论成立； （2）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，确定各点坐标，分别求出平面与平面的一个法向量，由法向量夹角的余弦值得二面角的余弦值． 【小问1详解】 如图，取中点，连接，， 因为是中点，所以， 是菱形，则，所以， 又是等边三角形，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以； 【小问2详解】 ，则和都是等边三角形， 连接，则，， 以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则，， 因此有，，，，， 是中点，则， ，，，， 设平面的一个法向量是，则 ，取得， 易知平面的一个法向量是，则 ，取，则， ， 所以平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知双曲线过点. （1）求双曲线的标准方程； （2）过的右焦点的直线与交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分别代入双曲线C即可求解； （2）当直线斜率不存在时，易证明不满足题意；当直线斜率不存在时，假设直线方程与双曲线联立得到韦达定理，由题可知，代入并化简即可求出斜率，进而知道直线方程. 【小问1详解】 将分别代入双曲线C得: 解得,所以. 小问2详解】 ,所以双曲线的右焦点为 当直线的斜率不存在时, 此时,, , 以为直径圆不经过坐标原点； 直线的敘率存在,设 联立,消去并整理得, 其中,即, , 以为直径的圆经过坐标原点, ,即， ， ,整理得,解得， 所以即. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，点是上位于第一象限内的一点，且的周长为. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与交于另外一点，直线与交于另外一点. ①若，求直线的方程； ②记的面积分别为，求的最大值. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式和焦点三角形周长以及关系得到方程，解出即可； （2）①设，根据向量关系得到，再代入椭圆方程，并结合在椭圆上，从而得到方程组，解出坐标即可得到直线方程； ②设，求出直线的方程，将其与椭圆方程联立得到点坐标，再求出直线的方程，将其与椭圆方程联立得到点坐标，根据写出面积表达式，最后利用基本不等式即可求出最值. 【小问1详解】 由题意知. 解得，所以的标准方程为. 【小问2详解】 ①由(1)知，设， 所以，又， 所以， 解得， 所以，又，解得， 又点是上位于第一象限内的一点，所以， 所以，所以直线的方程为， 即； ②设，所以直线的方程为， 由，得，所以， 解得， 所以. 当时，直线的方程为， 由，得， 所以，解得，所以， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 若轴时，令，解得（负舍）， 则，此时，， 此时， 所以的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问第二小问的关键是解出点坐标，从而得到面积表达式，最后求出其最值即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$