精品解析：河南省平顶山市汝州市2024—2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024~2025学年上学期期中质量检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1. 把方程化为一般形式后，它的二次项系数是1，它的常数项是（ ） A. B. 5 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，其中叫二次项，a叫二次项系数，叫一次项，b叫一次项系数，c叫常数项．首先要把方程化成一般形式，再写出二次项系数，一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将化为一般式，得， 常数项为：， 故选：C． 2. 如图，，分别交，，于点，，，分别交，，于点，，，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先由，根据平行线分线段成比例可得，再把、、的值代入可以求出，根据计算求值即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ，，， ， 解得：， ， 故选C． 3. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理进行判断即可． 【详解】对角线互相平分的四边形是平行四边形，故A错误，不符合题意； 有三个角是直角的四边形是矩形，故B错误，不符合题意； 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C错误，不符合题意； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行四边形，矩形，菱形及正方形的判定定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 4. 用配方法解一元二次方程3x2+8x﹣3＝0时，原方程可变形为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据完全平方公式,配方即可. 【详解】解：3x2+8x﹣3＝0， x2+x﹣1＝0， x2+x+（）2＝1+（）2 ． 故选：A． 【点睛】此题考查的是解一元二次方程:配方法,掌握完全平方公式的特征是解决此题的关键. 5. 在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6． A．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； B．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； C．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项错误； D．，对应边，则沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．先求出的值，再判断出其符号即可． 【详解】解：一元二次方程即为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 7. 一个不透明的口袋中装着只有颜色不同的红、白两球共10个，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回搅匀，如此这样共摸球100次，发现70次摸到红球，估计这个口袋中有（ ）个红球. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】先求出摸到红球的频率，再乘以口袋中球的总数，即可估计出口袋中红球的数量． 【详解】解：由题意可得，摸到红球的频率为：， 可知从口袋中随机找出一个球，该球是红球的概率为， 估计这个口袋中红球的个数为：（个）， 故选A． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，正确理解概率的意义是解题的关键． 8. 如图，在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是（ ） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：连接AC与BD，首先证得△AEC≌△DEB，即可得到AC=BD，然后利用三角形的中位线定理证得四边形MNPQ的对边平行且相等，并且邻边相等，从而证得四边形MNPQ是菱形． 证明：连接BD、AC； ∵△ADE、△ECB是等边三角形， ∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°； ∴∠AEC=∠DEB=120°； 在△AEC与△DEB中， ， ∴△AEC≌△DEB（SAS）； ∴AC=BD； ∵M、N是CD、AD的中点， ∴MN是△ACD的中位线，即MN=AC， 同理可证得：NP=DB，QP=AC，MQ=BD， ∴MN=NP=PQ=MQ， ∴四边形NPQM是菱形． 故选C． 考点：中点四边形． 9. 如图，为中边上的一点，连接，将沿平移到的位置，和分别交边于点，．已知的面积为，阴影部分的面积为．若，则平移的距离的长为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平移的性质，相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是关键，由平移得的面积的面积，，从而，再证明，，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵将沿平移到的位置， ∴的面积的面积，， ∵阴影部分的面积为． ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴即， ∴， ∴， ∴平移的距离的长为． 故选：B． 10. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是，（，称为黄金分割比）．著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人的身体满足上述黄金分割比，且身高为，则此人的肚脐到足底的长度可能是（ ）（精确到） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设此人的肚脐到足底的长度为，根据某人身体大致满足黄金分割比，且身高为，列方程，即可求得． 【详解】解：设此人的肚脐到足底的长度为， ∵某人身体大致满足黄金分割比，且身高为， ， 解得：， 即此人的肚脐到足底的长度约为， 故选：B． 【点睛】本题考查了黄金分割的应用，熟练掌握和运用黄金分割的应用是解决本题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________． 【答案】 【解析】 【分析】先把x=2代入原方程即可解出m的值，再用两根之和求解即可 【详解】把x=2代入原方程得22＋5×2－m=0，解得m=14， ∴原方程为 解得x1=-7,x2=2, 故另一个解为. 故答案为：． 【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是先求出原方程，再进行求解． 12. 一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得基本事件总3×3=9，然后再确定抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的事件数，最后由概率公式计算即可． 【详解】解：分别从标有数字1、2、3的3张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数3×3=9，抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的情况有（1，2）、（1，3）和（2，3）3种情况 则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为： ． 故答案为． 【点睛】本题考查了运用列举法求概率，运用列举法确定所有情况数和所需情况数是解答本题的关键． 13. 如图，小明利用标杆测量旗杆的高度，小明的眼睛与地面的距离，标杆，，，则旗杆的高度是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握用相似三角形的相似比求物体高度是解题关键．先求出，，再根据，得到，即可得到旗杆的高度． 【详解】解：如图，过点作于，交于， 由题意得，，， ∴四边形是矩形四边形是矩形，四边形是矩形是矩形， ∴，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意得，E点关于直线的对称点是的中点，连接交于点P，此时有最小值，求出此时的最小值即可． 【详解】解∶根据题意得， E点关于直线的对称点是的中点，连接交与点P，此时有最小值为， ∵四边形是菱形，，点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值是3， 故答案为∶3． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 15. 如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】证明，得，证出，则结论①正确；易证，又，，则，故②正确；证出，由比例线段可得出结论•，③正确；先求出长，将绕点逆时针旋转得到，连接，易证，是直角三角形，得出，设，则列出方程可求出，则④正确． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴（）， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴，故②正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，故③正确； 如图，过点作于点， ∵，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，，， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴（）， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得：，即，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法，添加辅助线构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）根据一元二次方程的求根公式求解即可． 【小问1详解】 解： ， ， ∴， ∴或， 【小问2详解】 解：， 17. 如图，已知四边形ABCD是矩形，延长CD至点E，使DE=CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF． （1）求证：四边形ACFE是菱形； （2）连接BE，当AC=4，∠ACB=30°时，求BE的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由全等三角形的性质和菱形的判定（对角线互相垂直的平行四边形是.菱形）解答； （2）三角形ABC中，由勾股定理得出BC的长，再求出CE的长，再由勾股定理求出BG的长； 【小问1详解】 解：∵四边形ABCD是矩形，E点在CD延长线上， ∴AD⊥CE， ∵CF∥AE， ∴∠EAD=∠CFD， 在△EAD和△CFD中， ∴△EAD≌△CFD（AAS）， ∴EA=CF， ∵EA∥CF， ∴四边形ACFE是平行四边形， ∵F在AD延长线上，AD⊥CE， ∴AF⊥CE， ∴平行四边形ACFE是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴在三角形ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AC=4，CD=AB， ∴AB=2， ∴，CD=AB=2 ∴CE=2CD=4， 在Rt△BCE中，． 【点睛】本题考查了菱形的判定，矩形的性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质；熟记菱形的判定和矩形的性质是解题关键． 18. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是： （1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果； （2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， P（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“秋”）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，在轴左侧将放大到原来的倍，并画出放大后的； （2）分别写出，两点的对应点，的坐标； （3）若点在的内部，请直接写出经过（）的变化后，对应点的坐标是_________． 【答案】（1）见解析； （2）的坐标为，点的坐标为； （3）． 【解析】 【分析】（）根据位似图形的性质和位似比作图即可，； （2）由（1）中图形即可写出，的坐标； （3）利用位似比及点的坐标即可求解； 本题考查了作位似图形，坐标与图形，掌握位似图形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 解：由图可得点的坐标为，点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵内部有一点，位似比为， ∴其对应点的坐标为， 故答案为：． 20. 如图，，AC与BD交于点E，且AB=4，AE=2，AC=8． （1）求CD的长； （2）求证：． 【答案】（1）12 （2） 证明：∵AB=4，AE=2，AC=8， ∴==，==， ∴=， ∵∠A=∠A， ∴． 【解析】 【分析】（1）由线段的和差关系可求出CE的长，由可证明，根据相似三角形的性质即可求出CD的长； （2）根据AB、AE、AC的长可得，由∠A为公共角，根据两组对应边成比例，且对应的夹角相等即可证明． 【小问1详解】 解：∵AE=2，AC=8， ∴， ∵， ∴∠A=∠DCE ，∠ABE=∠D， ∴， ∴=， 即=， ∴CD=12． 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键． 21. 某水果商店销售一种进价为每千克40元的优质水果，若售价为每千克50元，则一个月可售出500千克；若售价在每千克50元的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）填空：当售价为每千克55元时，每月销售水果_____千克； （2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？ （3）获得的月利润能否达到10000元？请说明理由． 【答案】（1）450 （2）65元或75元 （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是熟练掌握销售问题中关于销售总利润的相等关系． （1）由月销售量（销售单价，可求解； （2）设每千克水果售价为元，由利润每千克的利润销售的数量，可列方程，即可求解； （3）设每千克水果售价为元，由利润每千克的利润销售的数量，可列方程，根据方程根的情况即可求解． 【小问1详解】 解：当售价为55元千克时，每月销售水果千克， 故答案为：450； 【小问2详解】 解：设每千克水果售价为元， 由题意可得：， 解得：，， 答：当月利润为8750元时，每千克水果售价为65元或75元； 【小问3详解】 解：不能，理由如下： 解：设每千克水果售价为元， 由题意可得：， 整理得， ∴， ∴原方程无解， 答：获得的月利润不能达到10000元． 22. 如图1，在矩形中，，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度. 两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止. （1）若两点的运动时间为，当为何值时，？ （2）在（1）的情况下，猜想与的位置关系并证明你的结论. （3）①如图2，当时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________. ②当，时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________（用含的代数式表示）. 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质，可得，进而列出方程，求出t的值. （2）根据相似三角形的性质，可得，进而根据等量关系以及矩形的性质，得出，进而得出结论. （3）①根据全等三角形的判定，可得出△AMB≌△DNA，再根据全等三角形的性质，即可得出AM=DN，得出方程，求解即可得出答案. 【详解】解：（1）∵，∴， ∴， 解得. （2）. 证明：∵，∴. ∵， ∴， ∴，即. （3）①∵ ∴∠ABE＋∠BAE=90° ∵ ∴ ∵AD=AB，∠BAD=∠ADC=90° ∴△AMB≌△DNA ∴AM=DN ∴t=2-2t ∴t= ②∵由①知，∠BAD=∠ADC=90° ∴ ∵ ∴=n ∴ ∴t= 【点睛】本题主要考查了相似三角形和全等三角形，熟练掌握相似三角形的性质和正确找出线段之间的关系是解题的关键. 23. 在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 【发现问题】：在探究的过程中，容易发现10是三角形前4行的点数和，但是遇到较大的点数，“逐个数”行数很繁琐． 【提出问题】：小明提出问题：300是前多少行的点数和？ 【分析问题】：智慧小组分别从数和形两个角度探究前行的点数和 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前10行的点数 ①， 由①式倒序：②， ①+②： 所以，即前10行点数为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】： （1）根据以上材料，类比“从数的角度看”的推理方法，请推导出前行的点数和（用含的式子表示），并解决小明提出的问题； 【应用延伸】： （2）如果把三角点阵的点数依次换为1，3，5，7…如图3，这个三角点阵前行的点数能是600吗？请说明理由． 【答案】（1）300 （2）这个三角点阵前行的点数不能是600，见解析 【解析】 【分析】（1）理解题意，按照题中的数据； （2）根据（1）中方法，可得，再根据需要是整数，即可解答。 【小问1详解】 解：由题意得①， 由①式倒序：②， ①+②：， 所以，即前行点数为个． 当时，解得或（舍）， 即前24行的点数之和为300； 【小问2详解】 这个三角点阵前行的点数不能是600，理由如下： 设①， 由①式倒序：②， ①+②：， 所以，即前行点数为个． 当时，不是整数， 所以这个三角点阵前行的点数不能是600． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及规律型：图形的变化，根据探索列出一元二次方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年上学期期中质量检测 九年级数学 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卡两部分，试题卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．试题卷上不要答题，请用0.5毫米黑色签字水笔直接把答案写在答题卡上，答在试题卷上的答案无效． 3．答题前，考生务必将本人姓名、准考证号填写在答题卡第一面的指定位置． 一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的 1. 把方程化为一般形式后，它的二次项系数是1，它的常数项是（ ） A. B. 5 C. D. 3 2. 如图，，分别交，，于点，，，分别交，，于点，，，若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是平行四边形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相平分的四边形是菱形 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 4. 用配方法解一元二次方程3x2+8x﹣3＝0时，原方程可变形为（　　） A. B. C. D. 5. 在三角形纸片ABC中，AB=8，BC=4，AC=6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根 7. 一个不透明的口袋中装着只有颜色不同的红、白两球共10个，搅匀后从中随机摸出一个球，记下它的颜色后放回搅匀，如此这样共摸球100次，发现70次摸到红球，估计这个口袋中有（ ）个红球. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 如图，在四边形ABCD中，E是AB上的一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，点P、Q、M、N分别为AB、BC、CD、DA的中点，则四边形MNPQ是（ ） A. 等腰梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 9. 如图，为中边上的一点，连接，将沿平移到的位置，和分别交边于点，．已知的面积为，阴影部分的面积为．若，则平移的距离的长为（ ） A. B. C. 2 D. 10. 古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐到足底的长度之比是，（，称为黄金分割比）．著名的“断臂维纳斯”便是如此．若某人的身体满足上述黄金分割比，且身高为，则此人的肚脐到足底的长度可能是（ ）（精确到） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是________． 12. 一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为_____． 13. 如图，小明利用标杆测量旗杆的高度，小明的眼睛与地面的距离，标杆，，，则旗杆的高度是________． 14. 如图，菱形，点、、、均在坐标轴上，，点，点是的中点，点是上的一动点，则的最小值是______． 15. 如图，正方形中，，点是对角线上的一点，连接，过点作，交于点，连接交于点，下列结论：①；②；③；④若，则，其中结论正确的是________．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题共8小题，满分75分） 16. 用适当的方法解下列方程 （1） （2） 17. 如图，已知四边形ABCD是矩形，延长CD至点E，使DE=CD，连接AC，AE，过点C作CF∥AE交AD的延长线于点F，连接EF． （1）求证：四边形ACFE是菱形； （2）连接BE，当AC=4，∠ACB=30°时，求BE的长． 18. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 19. 如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，． （1）以原点为位似中心，在轴左侧将放大到原来的倍，并画出放大后的； （2）分别写出，两点的对应点，的坐标； （3）若点在的内部，请直接写出经过（）的变化后，对应点的坐标是_________． 20. 如图，，AC与BD交于点E，且AB=4，AE=2，AC=8． （1）求CD的长； （2）求证：． 21. 某水果商店销售一种进价为每千克40元的优质水果，若售价为每千克50元，则一个月可售出500千克；若售价在每千克50元的基础上每涨价1元，则月销售量就减少10千克． （1）填空：当售价为每千克55元时，每月销售水果_____千克； （2）当月利润为8750元时，每千克水果售价为多少元？ （3）获得的月利润能否达到10000元？请说明理由． 22. 如图1，在矩形中，，点从点出发向点移动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点移动，速度为每秒2个单位长度. 两点同时出发，且其中的任何一点到达终点后，另一点的移动同时停止. （1）若两点的运动时间为，当为何值时，？ （2）在（1）的情况下，猜想与的位置关系并证明你的结论. （3）①如图2，当时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________. ②当，时，其他条件不变，若（2）中的结论仍成立，则_________（用含的代数式表示）. 23. 在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前行的点数计算进行探究活动：如图1是一个三角点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 【发现问题】：在探究的过程中，容易发现10是三角形前4行的点数和，但是遇到较大的点数，“逐个数”行数很繁琐． 【提出问题】：小明提出问题：300是前多少行的点数和？ 【分析问题】：智慧小组分别从数和形两个角度探究前行的点数和 从数的角度看 从形的角度看 通过具体的数字，想到了一种计算方法——倒序相加法． 例：求前10行的点数 ①， 由①式倒序：②， ①+②： 所以，即前10行点数为55个． 利用图形的特征进行计算．如图2，将一个正立的三角点阵倒立，再与正立的原图形的三角点阵拼成一个平行四边形点阵，三角形点阵点数和为平行四边形点阵数量的一半． 【解决问题】： （1）根据以上材料，类比“从数的角度看”的推理方法，请推导出前行的点数和（用含的式子表示），并解决小明提出的问题； 【应用延伸】： （2）如果把三角点阵的点数依次换为1，3，5，7…如图3，这个三角点阵前行的点数能是600吗？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $