精品解析：上海市高桥中学2024-2025学年高二上学期数学期中考试试卷

高桥中学2024学年第一学期高二年级期中检测 科目：数学 命题：陶新宇 审题：凌伟栋 （检测时间90分钟 满分100分） 一．填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 直线的一个法向量为______． 【答案】 【解析】 【分析】先求得直线的斜率，由此求出与其垂直的直线的斜率，进而求得直线的一个法向量. 【详解】直线的斜率为， 故与其垂直的直线的斜率为， 故直线的一个法向量为. 故答案为：. 2. 若双曲线的渐近线方程为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由双曲线的性质得出的值. 【详解】因为渐近线方程为，所以，解得 故答案为： 3. 过点和的直线l的一般式方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出直线的斜率后可求直线的一般式方程. 【详解】直线的斜率为， 故直线的方程为：， 化简后可得一般方程为：， 故答案为：. 4. 已知公比为的无穷等比数列的各项和为，则首项的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可得，，得即可求解． 【详解】解：无穷等比数列的各项和为，公比为， 即，， ， ， ， 即， 故答案为：． 5. 方程表示椭圆，则实数m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程表示椭圆，列出相应的不等式组，解得答案. 【详解】由方程表示椭圆， 可得 ，解得 且 ， 故实数的取值范围是：. 故答案为： 6. 已知直线和互相平行，则实数的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线平行的充要条件即可求出实数的值. 【详解】由直线和互相平行， 得 ，即. 故答案为：. 7. 在数列中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用恒等变换，对关系式进行变换，进一步利用等比数列的定义法求出数列的通项公式． 【详解】数列满足，． 整理得，即（常数） 则数列是等比数列，其中首项为2，公比为1． 所以，即． 故答案为：． 8. 已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【详解】因为，故的轨迹为双曲线的右支， 且半焦距，实半轴长，故虚半轴长为， 的轨迹方程为：. 故答案为：. 9. 已知坐标原点在圆的外部，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程为圆可得，再根据原点在圆外可得，故可求参数的取值范围. 【详解】由圆的方程可得即， 而原点在圆的外部，故即， 故，即 故答案为：. 10. 若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】直接由斜率公式结合双曲线方程即可求解. 【详解】由题意设， 当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，， 则. 故答案为：. 11. 设函数，定义，其中，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】计算出，再利用倒序相加法可求得. 【详解】对于函数，有，即，解得， 对任意的，，则， 因为， 所以， 因此，. 故答案为：. 12. 椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ． 【答案】 【解析】 【分析】设，利用对称知识，结合椭圆方程得出椭圆中a，b，c，之间的关系，再由，离心率为，及可求出离心率. 【详解】设关于直线的对称点为， 则有线段的中点坐标为， 且直线与直线垂直， 所以有，解得， 所以在椭圆上， 即有，又，可得 ，可得， 所以， 即，因为， 所以，解得. 二．选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 13. 若直线，的斜率是方程的两根，则这两条直线的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出两直线的斜率，由一元二次方程根与系数关系得到两直线斜率的和与积，代入夹角公式求得与的夹角． 【详解】设直线与的斜率分别为， ，与夹角为， ∵直线的斜率分别为二次方程的两个根，且， ∴，， ∴， ∵，∴. 故选：A. 14. 已知在数列中，，，且，则（ ） A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，推得，得到数列是周期为6的周期数列，结合，即可求解. 【详解】由题意知，数列中，，，且， 可得，所以，即， 所以数列是周期为6的周期数列， 则. 故选：C. 15. 用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】只须求出当时，左边的代数式，当时，左边的代数式，相减可得结果． 【详解】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 16. 曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析出表示起点为的两条斜率分别为1和的射线， 分曲线为圆，椭圆和双曲线三种情况分析即可. 【详解】如图示：表示起点为的两条斜率分别为1和-1的射线.    当曲线为圆时，即， 此时与曲线有三个交点，不符合题意； 当曲线为椭圆时，即，只需点落在椭圆内， 即，解得：； 当曲线为双曲线时，即，渐近线方程：， 要使曲线与曲线恰有两个不同的交点， 只需，解得：， 所以实数的取值范围是. 故选：B 三．解答题（本大题共有5题，满分52分） 17. 在数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）构造等比数列即可求解； （2）由公式法求和、分组求和法即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以； 【小问2详解】 因为， 所以. 18. 已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用共渐近线双曲线系的方程可求双曲线的方程； （2）联系直线方程和双曲线方程后利用判别式和韦达定理可求参数的取值范围. 【小问1详解】 因为双曲线的渐近线方程为与, 故设双曲线方程为：， 因为双曲线过，故即，故双曲线方程为：. 【小问2详解】 由可得， 因为直线与双曲线右支交于不同两点， 所以，故. 19. 某产品具有一定的时效性．在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若做广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件，其中，． （1）求销售量关于广告费用n的函数关系式； （2）当，时，厂家应生产多少件这种产品且广告宣传费用为多少元时才能使利润最大.（利润＝总获利－广告费，并假设厂家生产的产品全部销售完．） 【答案】（1）. （2）7875件，5000元. 【解析】 【分析】（1）根据题意，不做广告时销售量，随后广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件，即时比时多卖件，，时又比时多卖件，即，以此类推可得的表达式. （2）设利润为，由（1）可表示出利润与n的关系式，再根据关系式分析当最大时n的取值为多少. 【小问1详解】 由题意得，， 因为广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件， 所以，… 于是可得 ， 由等比数列求和可得， ， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得，设利润为， 则， 所以当，时， ， 若要使最大，则，代入可得， 故，此时， 所以商家应生产7875件产品且广告费用为5000元时利润最大. 20. 已知直线，圆 （1）求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； （2）已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 【答案】（1）证明：直线即， 令，解得，所以直线过定点， 而，所以点在圆内部， 故无论a取何值，直线l均与圆O相交； （2）5 【解析】 【分析】（1）只需证明直线过定点，且该定点在圆内部即可； （2）设圆心到的距离分别为，则，由，，可得的表达式，结合基本不等式可整理出，从而可求出面积的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设圆心到的距离分别为，则． 则，，所以四边形的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形的面积最大为. 21. 已知椭圆，过点，且长轴长是焦距的2倍． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点为椭圆上的一个动点，求动点到定点的最短距离； （3）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据题设求出后可求椭圆的方程； （2）用两点之间的距离公式求出，再利用二次函数的性质可求最小值； （3）联系直线方程和椭圆方程，再结合韦达定理求出中点的坐标，根据中垂线过可求的关系，再结合判别式可求的取值范围. 【小问1详解】 设半焦距为，则由题设有，故， 故椭圆方程为：，故，故， 故椭圆方程为：. 【小问2详解】 设，则， 整理得到：， 因为，故，故. 【小问3详解】 设，的中点为， 由可得， 故， 故. 而，， 因为线段的垂直平分线过定点，故， 整理得到：，所以， 解得或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高桥中学2024学年第一学期高二年级期中检测 科目：数学 命题：陶新宇 审题：凌伟栋 （检测时间90分钟 满分100分） 一．填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分） 1. 直线的一个法向量为______． 2. 若双曲线的渐近线方程为，则___________. 3. 过点和的直线l的一般式方程为______． 4. 已知公比为的无穷等比数列的各项和为，则首项的值为______． 5. 方程表示椭圆，则实数m的取值范围是______． 6. 已知直线和互相平行，则实数的值为___________. 7. 在数列中，，，则______． 8. 已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为______． 9. 已知坐标原点在圆的外部，则实数a的取值范围为______． 10. 若M，N是双曲线上关于原点对称的两个点，P是该双曲线上任意一点．当直线PM，PN的斜率都存在时，记为，，则______． 11. 设函数，定义，其中，，则__________. 12. 椭圆（）的右焦点关于直线的对称点在椭圆上，则椭圆的离心率是 ． 二．选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 13. 若直线，的斜率是方程的两根，则这两条直线的夹角为（ ） A. B. C. D. 14. 已知在数列中，，，且，则（ ） A. 3 B. -3 C. 6 D. -6 15. 用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（ ） A. B. C. D. 16. 曲线与曲线恰有两个不同交点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 三．解答题（本大题共有5题，满分52分） 17. 在数列中，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 已知双曲线过点且它的两条渐近线方程为与. （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线与双曲线右支交于不同两点，求k的取值范围． 19. 某产品具有一定的时效性．在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件．若做广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件，其中，． （1）求销售量关于广告费用n的函数关系式； （2）当，时，厂家应生产多少件这种产品且广告宣传费用为多少元时才能使利润最大.（利润＝总获利－广告费，并假设厂家生产的产品全部销售完．） 20. 已知直线，圆 （1）求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交； （2）已知AC、BD是圆O的两条相互两直的弦，且垂足为，求四边形ABCD的面积的最大值． 21. 已知椭圆，过点，且长轴长是焦距的2倍． （1）求椭圆的标准方程； （2）若点为椭圆上的一个动点，求动点到定点的最短距离； （3）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的垂直平分线过定点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $