精品解析：辽宁省丹东市第五中学2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

2024—2025（上）期中教学质量监测 数 学 试 卷 时间：100分钟 满分：100分 考试时间：2024.11 一、单项选择题（下列各题的四个选项中，只有一个选项最符合题意要求，请将最符合题意要求的选项涂在答题卡指定位置上．每小题2分，共20分．） 1. 下列各数中，不是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称，再逐一分析可得答案． 【详解】解：A．是无理数，故本选项不符合题意； B．是无理数，故本选项不符合题意； C．是无理数，故本选项不符合题意； D．是分数，属于有理数，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ∶∶∶∶ 【答案】D 【解析】 【分析】利用直角三角形的定义和勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； B、∵，，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； C、∵，，∴，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D、∵，，∴最大的角，∴不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查直角三角形的判定方法，掌握判定直角三角形的方法是解题的关键，可以利用定义也可以利用勾股定理的逆定理． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，同类二次根式的判断和二次根式的减法逐项计算判断即可． 【详解】解：，故A计算错误，不符合题意； 和不是同类二次根式，不能合并，故B计算错误，不符合题意； ，故C正确，符合题意； 为有理数，为二次根式，不能合并，故D计算错误，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的减法，同类二次根式的判断，二次根式的性质．熟练掌握各知识点是解题关键． 4. 估计的值应在（ ） A. 和0之间 B. 0和l之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据得出，从而得出，即可得到答案，首先估计出的范围是解此题的关键． 【详解】解：， ，即， ，即， 的值应在1和2之间， 故选：C． 5. 下列4组数值中，不是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题科考查了二元一次方程的解，能使二元一次方程左右两边相等的值，即为二元一次方程的解，据此即可作答． 【详解】解：A、把代入，则，故不是二元一次方程的解； B、把代入，则，故是二元一次方程的解； C、把代入，则，故是二元一次方程的解； D、把代入，则，故是二元一次方程的解； 故选：A 6. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 点P（3，2）到x轴的距离是3 B. 若ab＝0，则点P（a，b）表示原点 C. 若A（2，﹣2）、B（2，2），则直线AB∥x轴 D. 第三象限内点的坐标，横纵坐标同号 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的坐标的几何意义逐一进行判断即可得答案． 【详解】A.点P（3，2）到x轴的距离是2，故本选项不符合题意． B.若ab＝0，则点P（a，b）表示原点或坐标轴上的点，故本选项不符合题意． C.若A（2，﹣2）、B（2，2），则直线AB∥y轴，故本选项不符合题意． D.第三象限内点的坐标，横纵坐标都是负号，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查点的坐标的几何意义，由坐标平面内的一点P分别向x轴，y轴作垂线，垂足M,N在x轴，y轴上的坐标分别为x和y，我们则说P点的横坐标为x,纵坐标是y，记作P(x，y)；熟练掌握相关定义是解题关键． 7. 下列关于一次函数的结论中，正确的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 图像经过第二、三、四象限 C. 与x轴交于点 D. 与坐标轴围成的面积为4 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数图像的性质、一次函数图像所在的象限、一次函数图像与直线的交点以及三角形面积公式进行分析判断即可． 【详解】解：A、由于一次函数y=2x-4中的k=2＞0，b=-4<0，所以y随x的增大而增大，故A错误，不符合题意． B、由于一次函数y=2x-4中的k=2＞0，b=-4<0，所以函数图像经过第一、三、四象限，故B错误，不符合题意． C、直线y=2x-4，令y=0可得2x-4=0，解得：x=2，函数图像与x轴的交点坐标为（2，0），故C错误，不符合题意． D、直线y=2x-4，令x=0可得y=-4，函数图像与坐标轴围成的三角形面积为：×2×4=4，故D正确，符合题意． 故答案为D． 【点睛】本题主要考查了一次函数图像的性质、一次函数图像所在的象限、一次函数图像与直线的交点以及三角形面积公式等知识点，掌握一次函数的增减性、与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 8. 如图，在中，，是的角平分线，于点D，，，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用角平分线的性质推知；设，然后利用勾股定理求得，然后根据面积法列出关于x的方程并求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴． 又是的角平分线，， ∴． 设， ∴， 即． 解得． 即． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和角平分线的性质，解题时，采用了面积法列出方程，通过解方程求得相关线段的长度，属于中档题． 9. 一次函数（，是常数）与（、是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象和正比例函数与其系数的关系；根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； B、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，故该选项正确，符合题意； C、由一次函数图象可知，， ∴， 由正比例函数经过二四象限，则，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； D、没有正比例函数图象，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 10. 正方形、，按如图所示的方式放置，点、、和点、、分别在直线和轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，能够找出坐标的变化规律是解题的关键． 分别求出、、、、，探究坐标的变化规律，进而得出的坐标，做出选择即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ，是等腰直角三角形， 同理可得：，，都是等腰直角三角形， 于是：，，，， ， ． 故选：． 二、填空题：（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 填空：的平方根是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先化简得到计算结果，再根据平方根的定义求解最终结果． 【详解】解： ， 3的平方根为， 故的平方根是． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由二次根式被开方数是非负数及分母不为零可得 【详解】解： 解得， 故答案为 13. 点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系里点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里点的坐标特点是解题的关键． 根据轴上点的纵坐标为0列式求出，然后解答即可． 【详解】解：由点在直角坐标系的轴上，可得：， 解得：， ， 点； 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边、分别交于点E、F，已知，，连接，则的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，解题的关键是根据直线解析式分别求出点、的坐标，得到和，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：当时，，解得， 点的坐标是，即， ， ，点的横坐标是4， ，即， ， 的面积， 故答案为：． 15. 如图1，M，N分别为锐角边，上的点，把沿折叠，点O落在所在平面内的点C处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，，则此时的长为______. 【答案】5或20 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键的分两种情况进行讨论．分点N在线段上，点N在线段的延长线上，分别画出图形求出结果即可． 【详解】解：①若折叠后，直线于点E， ∵， ∴， 若点N在线段上，如图所示： 由折叠的性质可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得； ②若点N在线段的延长线上，如图所示， 由折叠可知：， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得． 综上所述，或． 故答案为：5或20． 三、解答题（共70分） 16. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． （1）先化简二次根式，然后合并即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式进行化简，再进行合并即可． 【小问1详解】 解：原式， ． 【小问2详解】 解：原式， ， ， ． 17. 解方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 解： 得： 解得 将代入①得： 解得， ∴方程组的解为：． 18. 如图，在直角坐标系中、、． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）作出关于轴对称的 （3）三角形的面积为_______； （4）若点是轴上的动点，运动到某一位置恰好存在的最小值，请你直接写出的最小值为_______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） （4） 【解析】 【分析】（1）根据、、的坐标描出三个点，再顺次连接三个点即可； （2）利用轴对称变换的性质作出A，B，C的对应点，，，再依次连接即可； （3）用所在长方形面积减去周围三个三角形的面积进行求解即可； （4）连接交x轴于P，则点P即为所求，利用勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：如图所示，连接交x轴于P，则点P即为所求， ∵点B和点关于x轴对称 ∴ ∴ ∴当点A，P，三点共线时，有最小值，即的长度 ∵， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形面积，轴对称最短路径问题，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19. 消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到米（即米），消防车高米，救人时云梯伸长至最长，在完成从米（即米）高的处救人后，还要从米（即米）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出的长，即可解决问题，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得米， ∵米，米， ∴（米），（米）， 在中，（米）， 在中，（米）， ∴（米）， 答：这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 20. 【发现并提出问题】 手机已经成为现代人生活的一个重要组成部分，通讯公司提供两种手机话费收费套餐供客户选择． 套餐：按月收取租费15元，此外每分钟的费用是元； 套餐：无月租费，直接按通话时间计费，每分钟的费用是元． 小刚仔细阅读了宣传单上的方案说明，发现话费与通话时间有关联，进而想到两种套餐话费收费与时间分别有怎样的关系呢？怎样选择套餐更省钱呢？ 【分析并建立模型】 小刚设采用套餐的费用为（元），采用套餐的费用为（元），通话时间为（分钟），并分析得出（元）与（分钟），（元）与（分钟）之间都是一次函数关系． 【解决问题】 （1）请直接写出（元）与（分），（元）与（分）之间的关系式． （2）当通话时间为多少分钟时，两种套餐费用相同？ （3）小刚的父母都选用了套餐，小刚收集了两人近三个月的话费支出，整理汇总下表， 9月话费（元） 10月话费（元） 11月话费（元） 小刚父亲 72 75 78 小刚母亲 38 42 28 根据三个月话费统计的情况，两人选择的套餐省钱吗？说明理由． 【答案】（1），． （2）当通话时间为分钟时，两种套餐费用相同． （3）根据三个月话费统计的情况，小刚父亲选套餐不省钱，小刚母亲选套餐省钱． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，找出y与x之间的关系式． （1）根据套餐每月的话费为月租加上通话费，套餐每月的话费为通话费，列出关系式即可． （2）根据两种套餐费用相同，列出关于的方程，求解即可． （3）根据关系式，列出当套餐每月的话费低于套餐每月的话费时的不等式，解出通话时间小于分钟时，套餐更省钱，再结合小刚的父母的消费情况，列式计算其通话时间进行比较，即可解题． 【小问1详解】 解：由题知，，． 【小问2详解】 解：因为两种套餐费用相同，有，解得， 所以当通话时间为分钟时，两种套餐费用相同． 【小问3详解】 解：当套餐每月的话费低于套餐每月的话费时， 有，解得，即如果通话时间小于分钟时，选套餐更省钱． 小刚父亲：当时，有，解得， 小刚父亲每月最低通话时间为分钟，即通话时间大于分钟， 选套餐不省钱． 小刚母亲：当时，有，解得， 小刚母亲每月最高通话时间为分钟，即通话时间小于分钟， 选套餐省钱． 综上所述，根据三个月话费统计的情况，小刚父亲选套餐不省钱，小刚母亲选套餐省钱． 21. 先阅读下列材料： 材料一：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： （1）请用以上方法化简：________；（直接填空） （2）计算：（没有过程不给分） （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式、代数式求值，熟练掌握分母有理化并灵活运用是解答的关键． （1）仿照例题中求解过程解答即可； （2）仿照例题中求解方法化简每个式子，然后加减求解即可； （3）先化简a，然后代入计算即可． 【小问1详解】 解：， 故答案为：． 【小问2详解】 解： 原式 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴ ． 22. 如图，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中． （1）求k的值； （2）若点是第一象限内的直线上的一个动点，当点A运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式； （3）探索： ①当的面积是时，求点A的坐标； ②在①的条件下，x轴上是否存在一点P，使的面积为10？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）①；②P点的坐标为， 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，解题的关键是求出点A的坐标． （1）先确定出点B的坐标，代入函数解析式中即可求出k的值； （2）借助（1）得出的函数关系式，利用三角形的面积公式即可求出S与x的函数关系式； （3）①利用三角形的面积求出点A坐标；②设点，用含m的代数式表示出面积，即可得出P点坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵点B在直线上， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴直线解析式为， ∵点是第一象限内的直线上的一个动点， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①由（2）知，， ∵的面积是， ∴ ∴， ∴； ②设点，则， ∵， ∴的高为3， 当的面积为10时，， 解得或， ∴满足条件的所有P点的坐标为，． 23. 已知：在中，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作．连接，先由边角边证明，从而得到，，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_____． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，若点在线段上．连接，在的左侧作，连接，直接写出线段、、之间满足的数量关系，并求出当时，求的面积． 【答案】（1）； （2）成立，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）， 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质和勾股定理进行等量代换即可得解； （2）根据等腰直角三角形的性质证出，再根据勾股定理进行求解即可； （3）由（1）的结论知，，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： （2）略 （3）解：连接，如图， 由（1）的结论知，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质并作出合理的辅助线构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025（上）期中教学质量监测 数 学 试 卷 时间：100分钟 满分：100分 考试时间：2024.11 一、单项选择题（下列各题的四个选项中，只有一个选项最符合题意要求，请将最符合题意要求的选项涂在答题卡指定位置上．每小题2分，共20分．） 1. 下列各数中，不是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，中、、的对边分别是、、，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. ，， C. D. ∶∶∶∶ 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 估计的值应在（ ） A. 和0之间 B. 0和l之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 5. 下列4组数值中，不是二元一次方程的解的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ） A. 点P（3，2）到x轴的距离是3 B. 若ab＝0，则点P（a，b）表示原点 C. 若A（2，﹣2）、B（2，2），则直线AB∥x轴 D. 第三象限内点的坐标，横纵坐标同号 7. 下列关于一次函数的结论中，正确的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 图像经过第二、三、四象限 C. 与x轴交于点 D. 与坐标轴围成的面积为4 8. 如图，在中，，是的角平分线，于点D，，，则的长是（ ） A. B. 2 C. D. 3 9. 一次函数（，是常数）与（、是常数且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A. B. C. D. 10. 正方形、，按如图所示的方式放置，点、、和点、、分别在直线和轴上，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共5小题，每小题2分，共10分） 11. 填空：的平方根是___________． 12. 函数中，自变量x的取值范围是_____________． 13. 点在直角坐标系的x轴上，则点P的坐标为_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边、分别交于点E、F，已知，，连接，则的面积是______． 15. 如图1，M，N分别为锐角边，上的点，把沿折叠，点O落在所在平面内的点C处．若折叠后，直线与交于点E，且，垂足为点E，且，，则此时的长为______. 三、解答题（共70分） 16. 计算 （1）； （2）． 17. 解方程组 （1） （2） 18. 如图，在直角坐标系中、、． （1）在平面直角坐标系中画出； （2）作出关于轴对称的 （3）三角形的面积为_______； （4）若点是轴上的动点，运动到某一位置恰好存在的最小值，请你直接写出的最小值为_______． 19. 消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，它能让消防员快速到达高层建筑的火灾现场，执行灭火、疏散等救援任务．消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间，减少救援难度和风险．如图，已知云梯最多只能伸长到米（即米），消防车高米，救人时云梯伸长至最长，在完成从米（即米）高的处救人后，还要从米（即米）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 20. 【发现并提出问题】 手机已经成为现代人生活的一个重要组成部分，通讯公司提供两种手机话费收费套餐供客户选择． 套餐：按月收取租费15元，此外每分钟的费用是元； 套餐：无月租费，直接按通话时间计费，每分钟的费用是元． 小刚仔细阅读了宣传单上的方案说明，发现话费与通话时间有关联，进而想到两种套餐话费收费与时间分别有怎样的关系呢？怎样选择套餐更省钱呢？ 【分析并建立模型】 小刚设采用套餐的费用为（元），采用套餐的费用为（元），通话时间为（分钟），并分析得出（元）与（分钟），（元）与（分钟）之间都是一次函数关系． 【解决问题】 （1）请直接写出（元）与（分），（元）与（分）之间的关系式． （2）当通话时间为多少分钟时，两种套餐费用相同？ （3）小刚的父母都选用了套餐，小刚收集了两人近三个月的话费支出，整理汇总下表， 9月话费（元） 10月话费（元） 11月话费（元） 小刚父亲 72 75 78 小刚母亲 38 42 28 根据三个月话费统计的情况，两人选择的套餐省钱吗？说明理由． 21. 先阅读下列材料： 材料一：像，…这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：，…，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．进而将二次根式化为最简，例如： ， ． 材料2：小刚利用知识材料一的内容解决了问题：已知，求的值． 他是这样解答的： ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： （1）请用以上方法化简：________；（直接填空） （2）计算：（没有过程不给分） （3）若，求的值． 22. 如图，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，其中． （1）求k的值； （2）若点是第一象限内的直线上的一个动点，当点A运动过程中，试写出的面积S与x的函数关系式； （3）探索： ①当的面积是时，求点A的坐标； ②在①的条件下，x轴上是否存在一点P，使的面积为10？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 已知：在中，． 【初步发现】 （1）如图1，若点在线段上，连接，在的右侧作．连接，先由边角边证明，从而得到，，进而得到线段、、之间满足的数量关系是_____． 【深入研究】 （2）如图2，若点在线段延长线上，连接，在的右侧作，则（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由． 【拓展研究】 （3）如图3，若点在线段上．连接，在的左侧作，连接，直接写出线段、、之间满足的数量关系，并求出当时，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $