陕西省咸阳市实验中学2024-2025学年高二上学期第二次质量检测（11月）数学试题

nnoonoooooo 咸阳市实验中学2024~2025学年第一学期第二次质量检测 高二数学试题 注意事项： 1.本试题共4页.满分150分.时间120分钟 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试粒 上无效」 4.考试结束后，监考员将答题卡按瓶序收回，装袋整理；试题不回收。 第I卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的 1若直线14x+网+1=0的倾斜角为号，则实数m的值为 A.万 B.-5 C 3 D.3 2若方程兰之 a2a+6 1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数ā的取值范围是 A.a>3 B.a<-2 Ca>3或a<-2 D.-2<a<0或0cac3 3.已知点A(2,0)与B(0,4)关于直线ar+y+b=0对称，则a+b= A.-4 B.-2 C.0 D.3 4.已知直线l:x+y-2=0与例M:x2+y2-4x-4y+a=0交于A.B两点.且|ABl=42,则a= A.4 B.-4 C.2 D.-2 5.已知点P是例C:x+y-2x-4y+3=0的动点，直线l:xy-3=0上存在两点A,B,使得LAPB 恒成立，则线段8长度的址小址 A.62 B.25 C.42 D.42+1 成阳申实验学6二数学试题-1-（共4页） 6设R片是精国E号长1(e>0)的左右焦点，P为直线：上一点，若△R,是底 角为30的等腰三角形，则椭圆E的离心率为 A吃 8 2 c号 D 又已知椭圆E:号+片1的左右焦点分别为R,A,点P为E上一点，若PR,1P听，则 △F,PF,的面积为 A号 B号 C.3 D.5 &已知椭烟 。京1(>>0)的左，右焦点分别为厂，厂，P为椭圆上不与左，右顶点重合的任 意一点，I,G分别为△PF,F:的内心和重心，当1C⊥x轴时，椭圆的离心率为 A号 B号 c唱 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知直线l:(3+m)x+4y-3+3m=0(meR),圆C是以原点为圆心，半径为2的圆，则下列结 论正确的是 A直线1恒过定点(-3,3) B.当m=0时，圆C上有且仅有两个点到直线！的距离都等于1 C.若圆C与曲线x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=16 D.当m=13时，过直线l上一个动点P向圆C引两条切线P,PB,其中A.B为切点.则直线 AB经过点(-5分》 10.已知椭调C:号=1(o>030的左右焦点分别为R,R,长轴长为4，点P(2.)在椭奥 内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是 A离心率的取值范隅为0，) B.当离心率为三时，I0P,+10P1的绿大值为2a+ 4 2 C存在点Q使得Q丽·QF=0 DO0的最小值为1 威阳市实验中学高二数学试题-2-（共4页） 1L.已知圆0：x2+y2=4,过直线1：x+y-6=0上一点P作圆0的两条切线，切点分别为A,B,则 A.若点P(4,2),则直线AB的方程为2x+y1=0 B△PA0面积的最小值为/4 C直线仙过定点（子 D.以线段AB为直径的圆可能不经过点O 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.焦点在x轴上，焦距为2巧，且经过点(-4,0)的椭圆的标准方程为一-一一 13.已知实数a,b满足a2+62=2a-26,则3-的最大值为 a+l 14椭圆C号+y=1的右焦点是F,过F的直线交椭圆C于A,8两点点0是坐标原点，若直 线B上存在异于F的点P使得·F=P,P成，则1O币的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共刀分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步最 15.(本小题满分13分) 已知圆M:x2-2x+y2+4y-10=0. (1)求圆M的标准方程，并写出圆M的圆心坐标和半径： (2)若直线x+3y+C=0与圆M交于A,B两点，且|AB|=25,求C的值 16.(本小题满分15分) 如图，在平面直角坐标系x0y中，点A(0,3),直线l:y=2x-4.设刚C的半径为1，圆心在1上 (1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程： (2)若圆C上存在点M,使|MA|=2|M0|,求圆心C的横坐标a的取值范围. (第16题图) 17.(本小题满分15分) 如图.四棱维P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PM=AC=2,BC=1.AB=厅. (1)若AD⊥PB.证明：AD∥平而PBC (2)若AD1DC,且二面角A-CP-D的E弦值为厘，求A0 -2E07C 7 (第17题图) 18.(本小题满分17分) 已知精圈C学-1(e>60)的离6率为号加是精圆C的上顶点，R乃是精图C的病点。 △MF,F2的周长是6. (1)求椭圆C的标准方程： 离 (2)过动点P(1)作直线交椭圆C于A,B两点，且IPA=|PB|,过P作直线1，使1与直线AB 垂直，证明：直线1恒过定点，并求此定点的坐标 安 当 0医 19.(本小题满分17分) 已知椭阳E,号比 长1(a>b0)的长轴长为4，离心率为号 (1)求椭圆E的方程： (2)直线1过椭圆E的左焦点F,且与E交于M,N两点（不与左右顶点重合），点T(:,0)在x 轴正半轴上，直线TM交y轴于点P,直线TN交y轴于点Q,问是否存在.使得币，T戒为定值？ 若存在，求出：的值及定值：若不存在，敢说明理由。 减阳市实的中学高二数学试题-4-（共4页）咸阳市实验中学2024~2025学年第一学期第二次质量检测 高二数学试题参考答案及评分标准 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.【答案】C 【分析】根据斜率定义，结合诱导公式可得。 【解答】解：由题知，一1=an m 3 解得m= 3 故选：C. 2.【答案】D 【分析】根据椭圆焦点在y轴上，可得a2<a+6,a2≠0，解出范围即可. 【解答】解：由题知女+ =1表示焦点在y轴上的椭圆. aa+6 a2<a+6 则 ,解得-2<a<0或0<a<3. a2≠0 故选：D. 3.【答案】B 【分析】将线段的中点代入直线的方程中即可求解。 【解答】解：由题可知，点A(2,0)与B(0,4), 线段AB的中点(1,2)在直线上，即a+2+b=0, 所以a+b=-2. 故选：B. 4.【答案】D 【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可. 【解答】解：圆M:x2+y2-4x-4y+a=0,则圆心为M(2,2),半径r=√4+4-a=√8-a, 则圆心M到直线1的距离4=12+2-2-2.因为f+(4By=. +1 2 所以(2)2+(22)2=8-a,即8-a=10,解得a=-2. 故选：D. 5.【答案】A 【分析】根据几何的思路得到当以AB为直径的圆与圆C内切，且CE⊥AB时，线段AB长度最小，然后求AB 即可. 【解答】解：由x2+y2-2x-4+3=0得圆心C(1,2),半径r=2, 直线1上存在两点A,B,使得∠APB≥π恒成立，则以AB为直径的圆包含圆C,当AB 长度最小时，两圆内切， 设AB中点为E,则此时CE⊥AB, 所以AB=2(CE+r)=2(1-2-3+2)=65. 故选：A 咸阳市实验中学高二数学试题-答案-1（共8页） 6.【答案】B 【分析】由题，先利用>a,故PF,F,F为腰，再利用角度关系，得出，P吧1，OF的关系，即可变 形求解。 【解答】解：如图，直线x=口与x轴交于A点， 由题，结合椭圆性质得，>>c,g>,故直线x=在椭圆右顶点右侧， .∠PF2F>90° 又△F,PF,是底角为30的等腰三角形 .∠PFF2=∠F,PF2=30°，∴.∠PF,A=60 ∴.|PF2I=|FF2|=2c,F2A=|PF2·cos∠PFA=e, ,OA=|OF2+|F2A|=2c. c a22 故选：B. 7.【答案】C 【分析】由已知|FE=26,|PF,+PF2=6,结合PF,⊥PF2,得PF,P+PF,P=F,FP=24,进而解 得引PF,|·PF,=6,再利用三角形的面积公式求解即可. 【解答)解：已知椭圆号号1的左，右熊点分别为，民，点P为E上一点。 由椭圆的定义可知，PF,+|PF2=6且|F,F=26, 因为PF,⊥PF2 所以|PF1P+PFP=|FF22=24, 又(|PF,+PF2)2=36, 故PFI·IPF=6, 所以Sa,=|PF,·PE,=3 故选：C 8.【答案】A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.若有两个正确选 项，则选对一个得3分，全部选对得6分；若有3个正确选项，则选对一个得2分，选对两个得4分，全部选对得6 分：有选错的得0分. 9.【答案】ACD 【分析】直接利用经过定点的直线系建立方程组，进一步求出直线经过的定点，从而确定AD的结论，利用点 到直线的距离公式的应用确定B的结论，利用两圆的位置关系的应用确定C的结论 【解答】解：对于直线1：(3+m)x+4y-3+3m=0,(m∈R), 整理得：m(x+3)+(3x+4y-3)=0. (x+3=0 故 (3x+4y-3=0 整理得-3 y=3 即经过定点(-3,3)，故A正确： 对于B:当m=0时，直线1转换为3x+4y-3=0 所以圆心(0,0)到直线3x+4y-3=0的距离d=-3L=3 v345*1, 不能平分半径，故应该为四点，故B错误； 咸阳市实验中学高二数学试题-答案-2（共8页）》 对于C:圆C:x2+y2=4, 圆：x2+y2-6x-8y+m=0 当m=16时，x2+y2-6x-8y+16=0,整理得(x-3)2+(y-4)2=9, 所以圆心距为√(3-0)2+(4-0)2=5=r+R=2+3=5, 故两圆相外切，恰有三条公切线，故C正确： 对于D:当m=13时，直线l的方程转换为4x+y+9=0, 设点P(t,-9-41),圆C:x2+y2=4的圆心(0,0)，半径为r=2 以线段P℃为直径的圆M的方程为：(x-t)x+(9+41+y)y=0, 即x2+(-t)x+y2+9y+4y=0, 由于圆C的方程为：x2+y2=4, 所以两圆的公共弦的方程为-1x+41y+9)y+4=0, 整理得(4y-x)t+9y+4=0, 16 x=- 所以 4y-x=0 9 解得 (9y+4=01 y=- 9 即直线AB经过点(。号).故D正确 故选：ACD. 10.【答案】BD 【分析】根据椭圆的定义性质，结合所给条件，逐个分析判断即可得解 【解答】解：由题意可得2a=4,所以a=2, 由点P(E,)在椭圆内部可得：子1。 可得2<b<4,即2<4-c2<4,所以0<c<2, 对A,e=二，所以0<c<故A错误： 2 对B,当e=号时c=号号0. 4 0F,+0P=2a-Q5,+QP1≤2a+1PF,=4+5,故B正确： 对C,由A知0<号，当：=号时，当Q在短轴端点时。 ∠F05,最大，此时cs∠F,05,=2a-4c=1-1=0,此时∠F,05,=90, 2a2 由0<c2,故可得∠FQ5,在椭圆最扁时的最大值都小于90， 所以不存在点Q使得QF,·QF2=0,故C错误： 1|QF,+|QF2 对D0,010F,·0To,·0s,产，0马 4 4 4=1,当且仅当QE= QF2时等号成立，故D正确 故选：BD 1L.【答案】BCD 【分析】对A:计算出过P、A、B三点的圆的方程，再两圆方程相减即可判断A的正误； 咸阳市实验中学高二数学试题-答案-3（共8页） 对B:当OP最小时，△PAO的面积会有最小值，判断B的正误： 对C:设出点P坐标，再计算出直线AB的方程，求定点即可判断C的正误： 对D:可寻找特殊点P,如A选项中P(4,2),计算发现不经过点O即可判断D的正误 【解答】解：A选项，若P(4,2),则直线PA的方程为y=2,PA=4,以P为圆心，4为半径的圆的方程为(x- 4)2+(y-2)2=16,即x2+y2-8.x-4y+4=0. 由x2+y2=4,两式相减得8x+4y-4=4,2x+y-2=0,故A错误： B选项，0到直线1：x+y-6=0的距离为0+0-6=32， 2 而|PAP=|0P2-|0A2≥(32)2-4=14，所以|PA的最小值为14， 所以△PA0面积的最小值为)×V4x2=4,故B正确： C选项，设P(a,6-a）.10P=a+(6-a正.2a-12a+36 2 2 线段0P的中点坐标为号，62). 所以以0r为直径的圆的方程为(x-受)P+()-62):=20-2a+36 2 4 化简得：x2+y2-ax-(6-a)y=0, 由x2+y2=4,两式相减得ax+(6-a)y=4, 即a(x-y）+6y-4=0, 由/y=0 2 (6y-4= ,解得x=y=3, 所以直线松过定点（号，号）.故C正确： D选项，由A选项，由 2x+y-2=0 x2+2=4 8 解得 x=0. 或 y=2 6 y=- 5 即40,2.8a号..成号0 即此时以线段AB为直径的圆不经过点O,故D正确. 故选：BCD, 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案16=1 【分析】利用已知条件求解a,b,得到椭圆方程. 【解答】解：焦点在x轴上，焦距为215，且经过点(-4,0)，可得c=√15，a=4,则b=√16-15=1， 所求椭圆方程为：后。y=1 故答案为后1 13.【答案】7 【分析】依题意可得(a-1)2+(6+1)2=2,从而得到点(a,b)在圆(x-1)2+(y+1)2=2上，再由-3、表示点 a-(-1)） 咸阳市实验中学高二数学试题-答案-4（共8页）》 （a,b)与点P(-1,3)连线的斜率，结合图象及直线与圆的位置关系求出-3的最值，即可得解 a-(-1) 【解答】解：因为a2+b2=2a-2b,所以(a-1)2+(b+1)2=2 所以点(a,b)在圆(x-1)2+(y+1)2=2上，其中圆心为(1，-1)，半径为2， 又3-b=--3,其中-3表示点(a,b)与点P(-1,3)连线的斜率， a+1a-(-1)' a-(-1) 又(-1-1)2+(3+1)2>2，所以点P(-1,3)在圆外， 由图可知，当直线与风相切时，。合取得凝位。 设过点P(-1,3)的直线1的方程为y-3=k(x+1),即x-y+k+3=0, 则d=+1++3=2,解得k=-1或k=-7, √1+h 即-3的最大值为-1，最小值为-7， a-(-1) 所以3-6的最大值为7. a+1 故答案为：7 14(答案号. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【答案】(1)(x-1)2+(y+2)2=15,圆心坐标M(1,-2),半径为√15 (2)C=15或-5. 【分析】(1)配方得到圆的标准方程，得到圆心坐标和半径： (2)由垂径定理得到圆心到直线距离，从而根据点到直线距离公式得到方程，求出答案。 【解答】解：(1)由x2-2x+y2+4y-10=0.得x2-2x+1+y2+4y+4=15. 则圆M的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=15 ∴.圆M的圆心坐标M(1,-2),半径为√15. (6分) (2)由1AB=2,5,得圆心M到直线x+3+C=0的距离为，15-()产=而。 则圆心M到直线x+3y+C=0的距离-6+C=√0，得C=15或-5.… (13分) +3 16.【答案】(1)所求切线的方程为y=3或)=- 4t+3 20sa≤号 【分析】(1)设点C(a,2a-4),又C也在直线y=x-1上求出a,通过圆的方程过A点切线方程可设为y=kx+ 3.利用得到直线的距离公式，求解k,得到切线方程. (2)设点C(a,2a-4),M(xoy。),通过MA=2M0,求出M的轨迹方程，通过两个圆有公共点，转化求解a的 范围即可。 【解答】解：(1)由题设点C(a,2a-4),又C也在直线y=x-1上，∴.2a-4=a-1,∴.a=3, .圆C:(x-3)2+(y-2)2=1, 由题，过A点切线方程可设为y=kx+3,即kr-y+3=0, 则3出1，解得：6=0，子， √R+1 六所求切线的方程为y=3或y=-3 t+3 (7分) 咸阳市实验中学高二数学试题-答案-5（共8页） (2)设点C(a,2a-4),M(xo,o),MA=2M0,A(0,3),0(0,0), +(%-3)2=4(x后+y6),即x6+6=3-20, 又点M在圆C上(x。-a)2+(0-2a+4)2=1,两式相减得a+(2a-3)。-( 5a-8a+9)=0, +(2a-3)(2a-4-(号-8a+9y 由题以上两式有公共点， √a+(2a-3) 整理得：g6a+3≤V5m-2a9.即（5d-12a+6≤415d-12a+9, 令t=5a2-12a+6.则2≤4(t+3),解得：-2≤t≤6，.-2≤5a2-12a+6≤6. 解得：05a≤号 (15分) 17.【答案】(1)证明详情见解答 (2)AD=3. 【分析】(1)由PA⊥面ABCD,结合线面垂直的性质定理可得PA⊥AD,又AD⊥PB,结合线面垂直的判定定 理可得AD⊥面PAB,则AD⊥AB,推出AD∥BC,结合线面平行的判定定理，即可得出答案 (2)以DA,DC为x,y轴，过点D作平面ABCD垂直的线为：轴，建立如图所示空间直角坐标系D-xz,令AD =t,则DC=√4-子，C(0,√4-，0)，求出平面ACP的法向量n,=(x1,y1,),平面CPD的法向量为m= 水，则吗=>0院解得1，即可得出答案 【解答】解：(1)证明：因为PA⊥面ABCD,ADC面ABCD, 所以PA⊥AD, 又因为AD⊥PB,PB∩PA=P,PB,PAC面PAB. 所以AD⊥面PAB, 又ABC面PAB, 所以AD⊥AB, 在△ABC中，AB2+BC=AC2, 所以AB⊥BC, 因为A,B,C,D四点共面， 所以AD∥BC, 又因为BCC面PBC,ADt面PBC, 所以AD∥面PBC. …(7分)） (2)以DA,DC为x,y轴，过点D作平面ABCD垂直的线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系D-y3: 令AD=1,则A(t0,0),P(t,0,2),D(0,0,0), 由于DC=√4-7，故C(0,√4-，0)， 设平面ACP的法向量n,=(x,y,1), 所以%，·花=-x+V4-,=0 n,.=2,=0 设x1=4-7,则y=t,1=0, 所以n,=(4-7,,0), 设平面CPD的法向量为n2=(名，为，）， (n2·DP=x2+22=0 所以 n·D元=4-7y,=0 咸阳市实验中学高二数学试题-答案-6（共8页） 设2=1，则2=-2，y2=0, 所以n2=(-2,0,). 因为直角-PD的正弦值为9，期余弦值为吗。 又二面角A-CP-D的平面角为锐角， 所以吗=>贵hY器 n·n2_2v4- 所以=√3， 所以AD=√3. (15分) 18I答案1D片+片= (2)证明见解析 【分析】(1)根据椭圆的离心率以及椭圆的定义，即可求出椭圆C的方程： (2)设出直线MN的斜率和方程，联立直线方程和椭圆方程，根据中点弦的性质进行求解即可. 【解答】(1)解：由于M是椭圆C的上顶点，由题意得|MF,+MF2+F,F2=2a+2c=6, 又因为椭圆的离心率为}，即名=之 a 2 解得a=2,c=1, 所以b2=a2-c2=3, 所以椭圆C的标准方程为+=1.…(6分) 43 (2)证明：当直线AB斜率存在，设AB的直线方程为y-1=k(x-1), (3x2+4y2=12 联立 .得(3+4k2)x2+8k(t-k)x+4(t-k)2-12=0. y-t=k(x-1) 由题意，△>0 设A(x1y),B(x22), 则x+,=8张) 3+4k2 因为|PA=|PB|,所以P是AB的中点. 即=1，得-8k(-2=2,即4+3=0，① 2 3+4k2 又山4B,且k0,故1的斜率为 所以直线1的方程为y1=-1(x-1),② k 把D代人2可得=子. 所以直线1恒过定点（子，0），。 当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x=1, 此时直线1为x轴，也过(，0). 综上所述直线1恒过点(4,0)。 (17分) 19I答案1(1片号1： 咸阳市实验中学高二数学试题-答案-7（共8页） (Ⅱ)存在，定值为3. 【分析】(I)依题意求出a,b,c的值，即可求得椭圆的方程： (Ⅱ)分直线1斜率存在和不存在两种情况分别求解.当直线！斜率存在时，设直线I的方程为y=k(x+1), 设M(x1y),N(xy2),联立直线与椭圆方程，化简得出根与系数的关系，再表示出直线TM,TN的方程， 从而表示出点P,Q的坐标及向量元，的坐标，计算其数量积，结合韦达定理化简即可确定：的值：当直 线！斜率不存在时，利用斜率存在时求得的1的值验证即可. 【解答】解：(1)因为椭圆E的长轴长为4，离心率为} 所以2a=4,二=1 a 2 所以a=2,c=1.所以b2=3. 所以椭圆E的方程为手+气引.………………… (6分) (Ⅱ)若直线1的斜率存在，设为k,所以直线1的方程为y=k(x+1),k≠0 y=k(x+1), 联立方程组 消去y,化简得(42+3)x2+82x+4k2-12=0. 设M(x1y1),N(x22), 所以书 4k+31 书=4-12 -82 42+3 所以直线TM的方程为y=(x-),直线TN的方程为y=2(x-). x-t x,- 所以P(0,),Q(0,》 ,- 2-1 所以7市=(-，)，戒=(-1，) 所以市.戒=+.=E.+)()=+状，1 x1-12tx1- x2-1 x3(x,+x2）+t 42-12-8k242+3 =2+2k2 42+34k2+342+3 =12+t2k2 -9 4-121.-8K,4rK+30 (412+81+4)k2+312-12 4k2+34k2+34k2+3 =2+ -9 (4r+8+4)+3r-12 足 所以当32-12=0时，币.为定值，即1=2（负值舍）时，T币.7有定值3. 当t=2时，若直线1斜率不存在， 不妨设M(-1,子)(-山，子)。 所以P(0,1),Q(0,-1) 所以市.T=3. 综上，当=2时，币.T有定值3. (17分) 咸阳市实验中学高二数学试题-答案-8（共8页）