精品解析：广东省珠海市紫荆中学2024--2025学年上学期九年级数学期中考试卷

珠海市紫荆中学2024-2025学年度第一学期期中考试 初三年级数学学科 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴， 解得， 故选A． 2. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念，熟知轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合是解题的关键．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，根据以上概念逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、图形既不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、图形不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 已知的半径为3，点P到圆心O的距离为，则点P在（　　） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．若圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．根据点与圆的位置关系进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， ∴点P在外． 故选：A 4. 已知抛物线经过点和，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数图象上点的特征，先求得函数的对称轴为，再判断、在对称轴右侧，从而判断出与的大小关系． 【详解】解：函数的对称轴为， 抛物线开口向上，对称轴右侧随的增大而增大， ∵，、在对称轴右侧， ． 故选：C． 5. 在“双减政策”推动下，某校学生课后作业时长明显减少．原来每天作业平均时长为，经过两个学期的调整后，平均每天作业时长为．设该校每天作业的平均时长每学期下降的百分率为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实际问题抽象出一元二次方程，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解答关键． 利用现在的作来时长＝原来每天作业平均时长为×来求解． 【详解】解：设该校每天作业的平均时长每学期下降的百分率为， 根据题意得． 6. 绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，结合，即可求的度数． 【详解】解：∵绕点O逆时针旋转65°得到， ∴， ∵， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查旋转的性质，旋转角的含义，掌握旋转角的含义是解本题的关键． 7. 如图，已知是的直径，，，于点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，中位线的性质，先由勾股定理得出，再由垂径定理得到，再由中位线的性质得，进而可得． 【详解】解：∵是的直径，，， ∴，， ∴， ∵于点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化旋转，过作轴于，过作轴于，根据，即可得到，，进而得出点坐标即可． 【详解】解：如图所示，过作轴于，过作轴于，则， ∵将点绕原点顺时针旋转得到点， ∴，， ， ， 又， ∴， ，， 点坐标为， 故选：D． 9. 二次函数的图象与轴有2个交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线与轴的交点，根据根的判别式与二次函数的定义列出关于的不等式组，求出的取值范围即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴有两个交点， ，即， 解得且． 故选：B． 10. 如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可证出是直角三角形，利用直角三角形的边角关系用x表示出CF、DF，最后利用三角形的面积公式可知y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，观察选项图像即可得出答案． 【详解】解：由题可知，等边三角形ABC的边长为2． ∵ME⊥AB，， ∴是直角三角形，，，， ∵， ∴，． 又∵ DK⊥BC，∠MDK=∠FDK， ∴． ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 则y与x的函数关系图像是开口向上的二次函数，且过点． 故选：A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图像，从图形的面积公式入手，用自变量表示边的长度，直接代入公式求出因变量与自变量的函数关系是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是______；与轴的交点坐标是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，和与y轴的交点坐标．根据顶点式求出顶点坐标，令求出y的值，即可求出抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：抛物线顶点坐标是； 令， ∴与轴的交点坐标是． 故答案为：，． 12. 已知m，n是方程的两个根，则代数式的值为______． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查根与系数关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 利用根与系数关系，利用整体代入的思想求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：0． 13. 抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的抛物线解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象平移．根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，求解即可． 【详解】解：把抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度， 得到抛物线的解析式是， 故答案为：． 14. 如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查直径所对圆周角是直角，直角三角形两锐角互补及圆内接四边形对角互补，根据圆内接四边形对角互补求出，再结合直径所对圆周角是直角即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ． 15. 如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是______．（填写序号） ①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则． 【答案】①③⑥ 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数图象的对称轴位置和抛物线开口方向确定①②⑤，根据时的值判定③，由抛物线图象和性质判定④，利用因式分解可判定⑥． 【详解】解：抛物线开口向上，则， 抛物线与轴交于点和点， 对称轴为直线， 则， ，即，故②不正确； 抛物线开口向上， ∴， ， 抛物线与轴的交点在负半轴，则， ，故①正确； 抛物线过点， 又 ，即，故③正确； 抛物线与轴交于点和点， 当时，由图象可得或，故④不正确； 对称轴为直线，， 当时，抛物线有最小值， 当为任意实数，则， 即，故⑤不正确； 若，且， ∴， ， 整理得， ∵， ∴， ∴，故⑥正确． 综上，正确的有①③⑥． 故答案为：①③⑥． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， 因式分解得， ∴，， 解得，； 【小问2详解】 解：， 因式分解得， ∴，， 解得，． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是、、， （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针方向旋转后得到的，并写出点的对应点的坐标． 【答案】（1） 解：如图，△即为所求； （2） 解：如图，即为所求， 点的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质画图即可得到，由图可得答案． （2）根据旋转的性质画图即可得到，由图可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图所示， （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 【答案】（1）4.5米 （2） 解：能成功表演．理由是： 当时，， 即点在抛物线上， 因此，能表演成功． 【解析】 【分析】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用． （1）将二次函数化简为，即可解出演员弹跳离地面的最大高度； （2）当时代入二次函数可得点的坐标在抛物线上． 【小问1详解】 解：将二次函数化成， 当时，有最大值，最大值为， 因此，演员弹跳离地面的最大高度是4.5米； 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1） 证明：把原方程化为一般式为， ∴ ， ∵， ∴， ∴对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； （2），原方程的另一个根为 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义： （1）先把原方程化为一般式，再得到，据此证明，即可证明结论； （2）一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求出，进而求出m的值，再解原方程求出另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵原方程的一个根是， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴原方程为，即， 解得或， ∴原方程的另一个根为． 20. 如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． （1）若，则的度数为______； （2）若点是的中点，求证：； （3）若，，求的半径长． 【答案】（1） （2） 证明：由（1）得， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）的半径为． 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握垂径定理是解决本题的关键． （1）由，可得，然后由圆周角定理求得的度数． （2）证明，可推出，即可证明； （3）由垂径定理可得，然后设的半径为x，由勾股定理即可求得方程：，解此方程即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∵； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设的半径为x，， 则， ∵，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴的半径为． 21. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种台灯的售价每上涨0.5元，其销售量就将减少5个．物价部门规定：每个台灯的利润不得高于进价的． （1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ （2）当台灯的售价定为多少元时，获得的月利润最大？ 【答案】（1）这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个 （2）台灯售价定为57元时，每月销售利润最大 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据原销售量结合售价每上涨0.5元，其销售量就将减少5个，即可得出售价上涨元后的月销售量，根据物价部门规定：每个台灯的利润不得高于进价的，可得出的取值范围，根据总利润单台利润月销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合条件的值即可得出结论； （2）设每月的销售利润为，根据总利润单台利润月销售量，即可得出关于的二次函数，写成顶点式即可解答． 【小问1详解】 解：设售价上涨元后，该商场平均每月可售出个台灯， ∵物价部门规定：每个台灯的利润不得高于进价的， ∴， 解得：， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ，， 答：这种台灯的售价应定为50元，这时应进台灯500个； 【小问2详解】 解：设每月的销售利润为，售价上涨元 根据题意得：， ∴对称轴为直线，开口向下， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时售价为：（元）， 答：台灯售价定为57元时，每月销售利润最大． 五、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，在正方形中，线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点使得，取线段的中点，连接、、． （1）求证：； （2）如图（2），当恰好是中点时，求证：； （3）在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由； （4）若，在旋转过程中，请直接写出的面积最大值． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） 证明：∵， ∴，， ∴， 又∵G是的中点， ∴，， ∴点G在的垂直平分线上， 又∵， ∴点C在的垂直平分线上， ∴， 又∵， ∴， 又∵，E是的中点， ∴， ∴， ∴是平行四边形， ∴， ∴； （3） 不变，， （4） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和等腰三角形的性质得到，然后根据证明即可； （2）根据可得，，然后证明，，可得是平行四边形，即可得到，然后根据勾股定理解题； （3）根据即可得到结论； （4）连接和交于点O，连接交于H，则可知点G在以为直径的圆上运动，即当时，的面积最大，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不变，，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴； 【小问4详解】 如图，连接和交于点O，连接交于H， 则， 又∵， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动，即当时，的面积最大，这时 ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 23. 如图1所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标； （3）如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 【答案】（1）； （2）点的坐标为； （3）①点的坐标为；②的最大值为． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）连接，则四边形为平行四边形，求得直线的解析式，联立，计算即可求解； （3）①当四边形是菱形时，是线段的垂直平分线，求得直线的解析式，联立计算即可求解； ②作轴交于点，由①知是等腰直角三角形，由对称的性质得，设，则，求得关于的关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于点， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接，则四边形为平行四边形， ∴， ∵直线的解析式为， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得或， 当时，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：①∵点关于的对应点为点， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴是线段的垂直平分线， 如图标注点，作轴于点， 对于直线， 当时，；当时，； ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴也是等腰直角三角形， 联立，解得或， ∴，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 联立得， 整理得， 解得（舍去负值），， ∴点的坐标为； ②作轴交于点，由①知是等腰直角三角形，，由对称的性质得，当有最大值时，就有最大值， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、菱形的性质、解一元二次方程、轴对称的性质等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 珠海市紫荆中学2024-2025学年度第一学期期中考试 初三年级数学学科 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年7月27日，第33届夏季奥运会在法国巴黎举行，如图所示巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知的半径为3，点P到圆心O的距离为，则点P在（　　） A. 圆外 B. 圆上 C. 圆内 D. 不能确定 4. 已知抛物线经过点和，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 在“双减政策”推动下，某校学生课后作业时长明显减少．原来每天作业平均时长为，经过两个学期的调整后，平均每天作业时长为．设该校每天作业的平均时长每学期下降的百分率为，则所列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 绕点O逆时针旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知是的直径，，，于点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点顺时针旋转得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象与轴有2个交点，则的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图所示，边长为2的等边△ABC是三棱镜的一个横截面．一束光线ME沿着与AB边垂直的方向射入到BC边上的点D处（点D与B，C不重合），反射光线沿DF的方向射出去，DK与BC垂直，且入射光线和反射光线使∠MDK=∠FDK．设BE的长为x，△DFC的面积为y，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 抛物线的顶点坐标是______；与轴的交点坐标是______． 12. 已知m，n是方程的两个根，则代数式的值为______． 13. 抛物线先向左平移1个单位长度，再向上平移6个单位长度得到的抛物线解析式为______． 14. 如图，为的直径，点C，D在上，若，则的度数为______． 15. 如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论正确的是______．（填写序号） ①；②；③；④当时，；⑤为任意实数，则，⑥若，且，则． 三、解答题（一）（每小题7分，共21分） 16. 解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是、、， （1）画出关于原点对称的； （2）画出绕点逆时针方向旋转后得到的，并写出点的对应点的坐标． 18. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端处弹跳到人梯顶端椅子处，其身体（看成一点）的路线是抛物线的一部分，如图所示， （1）求演员弹跳离地面的最大高度； （2）已知人梯高米，在一次表演中，人梯到起跳点的水平距离是4米，问这次表演是否成功？请说明理由． 四、解答题（二）（每小题9分，共27分） 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一个根是，求的值及方程的另一个根． 20. 如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上． （1）若，则的度数为______； （2）若点是的中点，求证：； （3）若，，求的半径长． 21. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明：这种台灯的售价每上涨0.5元，其销售量就将减少5个．物价部门规定：每个台灯的利润不得高于进价的． （1）为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？ （2）当台灯的售价定为多少元时，获得的月利润最大？ 五、解答题（三）（22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，在正方形中，线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点使得，取线段的中点，连接、、． （1）求证：； （2）如图（2），当恰好是中点时，求证：； （3）在旋转过程中，的度数是否发生改变？若不变，求出的度数；若改变，请说明理由； （4）若，在旋转过程中，请直接写出的面积最大值． 23. 如图1所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于点、点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）平移线段，若点的对应点落在抛物线上，点的对应点落在直线上，求出此时点的坐标； （3）如图2，将上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，的对应点为点，连接交于点． ①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标； ②在点的运动过程中，求线段的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $