广东省汕头市澄海中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

澄海中学2024-2025学年度第一学期 高二数学期中考试卷 本试卷共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上. 4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管． 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题：每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 3．椭圆的两个焦点为，且是椭圆上的一点，则三角形的周长是（    ） A．1 B． C． D． 4．在中，是边上一点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A．5 B． C．4 D． 6．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．如图，是所在平面外一点，，，且面，，则与平面的夹角为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是（ ） A．2 B．3 C． D．8 二、多项选择题：每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列不等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 10．已知点P是圆上一点，，，则以下说法正确的是（    ） A．若直线AB与圆C相切，则 B．若以A，B为直径的圆与圆C相切，则 C．若，则 D．当时，的最小值为34 11．如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．存在点P，使得平面平面 C．的最小值为 D．三棱锥外接球表面积最大值为 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共有3个小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卷相应横线上. 12．经过点，且与圆相切的直线的方程为 ． 13．已知椭圆C：的离心率为，则椭圆的短轴长为 . 14．已知直线过点，且交轴正半轴于点，交轴正半轴于点.则当的值最小时，直线的方程为_______________. 4、 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 温馨提示: 考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答,超出指定区域答题不给分. 15．（13分）已知圆的方程为. (1)求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求的值. 16. （15分） 如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接. (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17. （15分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 18．（17分）已知椭圆，由C的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形． (1)求C的方程； (2)直线l过椭圆C的右焦点F，且和C交于点A，B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是，求直线l的方程． 19．（17分）对于定义在D上的函数，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数的一个不动点. 已知f(x)＝ax2＋1. (1)当a＝－2时，求的不动点； (2)若函数有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2. ①求实数a的取值范围； ②设g(x)＝，求证：g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点. 澄海中学2024-2025学年度第一学期 高二数学期中考试卷 本试卷共19小题，满分150分．考试用时120分钟． 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、座位号、准考证号用2B铅笔涂写在答题卡上． 2.答选择题时，必须用2B铅笔把答题卡上对应题号的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案． 3.答非选择题时，必须用黑色签字笔或钢笔，将答案写在答题卡上规定的位置上. 4.考试结束后，监考人将答题卡收回，试卷考生自己保管． 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题：每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 1.【答案】B 【解析】由集合，利用集合的并集运算，即可求解． 【详解】由题意，集合，， 则，即， 故选B． 2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则（    ） A．1 B．2 C．3 D． 2．【答案】A 【详解】复数z对应的点的坐标是，∴，则. 故选：A 3．椭圆的两个焦点为，且是椭圆上的一点，则三角形的周长是（    ） A．1 B． C． D． 3．【答案】D 【详解】 故选：D 4．在中，是边上一点，且，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．【答案】C 【详解】中，是边上一点，且，如图所示，    则， 所以的值为. 故选：C 5．点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（    ） A．5 B． C．4 D． 5．【答案】B 【详解】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于． 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故选：B 6．已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．【答案】C 【详解】可得的定义域为， 和都是增函数，是定义在的增函数， ，是奇函数， 则不等式化为， ，解得，. 故选：C. 7．如图，是所在平面外一点，，，且面，，则与平面的夹角为（     ） A． B． C． D． 7．【答案】A 【详解】法1：坐标法（略） 法2：，，，； 平面，平面，，， 又，， ，， ， ，， 设点到平面的距离为，与平面的夹角为， ，解得：， ，又，，即直线与平面的夹角为. 故选：A. 8．已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值是（ ） A．2 B．3 C． D．8 8．【答案】D 【详解】 函数的图象，如图所示， 关于的不等式， 当时，，由于关于的不等式恰有1个整数解， 因此其整数解为，又， 所以，， 则，所以实数的最大值为，故选D. 二、多项选择题：每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知，则下列不等式中错误的是（    ） A． B． C． D． 9．【答案】ABC 【详解】在两边同除以负数得，即，与A项矛盾. 由，，得，与B项矛盾. 由，，又， 故，故C不正确. 由得，又，两式相乘得， 两边同除以负数，可得，故D正确. 故选：ABC. 10．已知点P是圆上一点，，，则以下说法正确的是（    ） A．若直线AB与圆C相切，则 B．若以A，B为直径的圆与圆C相切，则 C．若，则 D．当时，的最小值为34 10．【答案】ACD 【详解】对于A，由，，则直线AB的方程为， 所以圆的圆心到直线AB的距离为， 又直线AB与圆C相切，所以，故A正确； 对于B，由，，则以A，B为直径的圆方程为：， 所以圆的圆心到圆的圆心的距离为5， 当圆与外切时，有，得， 当圆与内切时，有，得，故B不正确； 对于C，设P点的坐标为， 则，， 所以，即， 所以圆C与有交点，所以结合选项B可得，故C正确； 对于D，设P点的坐标为(为参数)， 则，， 所以，其中， 所以当时，取得最小值，且最小值为34，故D正确． 故选：ACD． 11．如图，在棱长为2的正方体中，Q为线段的中点，P为线段上的动点（含端点），则下列结论正确的有（    ） A．P为中点时，过D，P，Q三点的平面截正方体所得的截面的面积为 B．存在点P，使得平面平面 C．的最小值为 D．三棱锥外接球表面积最大值为 11．【答案】AD 【详解】A选项：连接，由三角形中位线性质和正方体性质可知，，且，所以过D，P，Q三点的截面为梯形， 易知， 作，则，， 所以梯形的面积，A正确；    B选项：若存在点P，使得平面平面，则由平面平面，平面平面可知，显然不平行，故B错误；    C选项：将侧面展开如图，显然当Q、P、D三点共线时，取得最小值，最小值为，C错误；    D选项：由题知，两两垂直，所以三棱锥外接球，即为以为共顶点的三条棱的长方体的外接球，记其半径为R， 则， 显然，当点P与C重合时，取得最大值，此时外接球表面积取得最大值，D正确. 故选：AD 三、填空题：本大题共有3个小题，每小题5分，共15分。把答案填在答题卷相应横线上. 12．经过点，且与圆相切的直线的方程为 ． 12．【答案】 【分析】先求出切线的斜率，再运用点斜式直线方程求解. 【详解】因为，所以点M在圆上， 由题意可知圆心C的坐标为，则直线CM的斜率； 因为圆的切线垂直于经过切点的直径所在的直线，所以所求切线的斜率，()， 故经过点M的切线方程为，整理得； 故答案为：. 13．已知椭圆C：的离心率为，则椭圆的短轴长为 . 13．【答案】 【详解】根据题意可得离心率，解得， 所以椭圆的短轴长为. 故答案为：. 14．已知直线过点，且交轴正半轴于点，交轴正半轴于点.则当的值最小时，直线的方程为_______________. 14．【答案】． 【详解】因为直线， 所以，， ， 所以， 当且仅当时取等号，此时直线的方程为． 5、 解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 温馨提示: 考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答,超出指定区域答题不给分. 15．（13分）已知圆的方程为. (1)求的取值范围； (2)若直线与圆交于，两点，且，求的值. 15．【详解】（1）方程为圆的方程， ∴， 解得. （2）由（1）可知圆，则圆心，半径， 圆心到直线的距离， 故，则， 解得. 16. （15分） 如图，在三棱柱中，平面，，，且为线段的中点，连接. (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 16．【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以； 因为，所以； 因为，面，所以面； 又因为平面，所以. （2）以为原点，建立空间直角坐标系如下所示： 则，，，，，， ，，，，. 设平面的法向量为， 则，所以，不妨取； 设平面的法向量为， 则，所以，不妨取； 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 17. （15分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知． (1)若，，求的面积； (2)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 17. 【详解】（1）， 由正弦定理可得, ， ， ， ， , 又易知， ， ， ； 因为，，， 所以； （2） ，， ， 为锐角三角形， ，解得， ， ， ， 所以周长的取值范围为 18．（17分）已知椭圆，由C的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形． (1)求C的方程； (2)直线l过椭圆C的右焦点F，且和C交于点A，B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是，求直线l的方程． 18．【详解】（1）由已知，，， 所以C的方程为 （2）， ①若l斜率不存在，易知； ②若l斜率存在，设，，和C的方程联立得： ， 所以，， 所以 点O到直线l的距离为， 所以， 解之得，， 所以l的方程为或， 19．（17分）对于定义在D上的函数，如果存在实数x0，使得f(x0)＝x0，那么称x0是函数的一个不动点. 已知f(x)＝ax2＋1. (1)当a＝－2时，求的不动点； (2)若函数有两个不动点x1，x2，且x1＜2＜x2. ①求实数a的取值范围； ②设g(x)＝，求证：g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点. 19．【详解】（1）当a＝－2时，f(x)＝－2x2＋1.方程f(x)＝x可化为2x2＋x－1＝0， 解得x＝－1或x＝， 所以f(x)的不动点为－1和. （2）①因为函数f(x)有两个不动点x1，x2， 所以方程f(x)＝x，即ax2－x＋1＝0的两个实数根为x1，x2， 记p(x)＝ax2－x＋1，则p(x)的零点为x1和x2， 因为x1＜2＜x2，所以a·p(2)＜0， 即a(4a－1)＜0，解得0＜a＜. 所以实数a的取值范围为 ②因为g(x)＝loga[f(x)－x]＝loga(ax2－x＋1). 方程g(x)＝x可化为loga(ax2－x＋1)＝x，即 因为0＜a＜，△＝1－4a＞0，设p(x)＝ax2－x＋1，所以p(x)＝0有两个不相等的实数根. 设p(x)＝ax2－x＋1＝0的两个实数根为m，n，不妨设m＜n. 因为函数p(x)＝ax2－x＋1图象的对称轴为直线x＝，p(1)＝a＞0，＞1，p()＝1＞0， 所以1＜m＜＜n＜. 记h(x)＝ax－(ax2－x＋1)，因为h(1)＝0，且p(1)＝a＞0，所以x＝1是方程g(x)＝x的实数根， 所以1是g(x)的一个不动点， h(n)＝an－(an2－n＋1)＝an＞0，因为0＜a＜，所以＞4，h()＝－1＜a4－1＜0， 且h(x)的图象在[n，]上的图象是不间断曲线，所以x0∈(n，)，使得h(x0)＝0， 又因为p(x)在(n，)上单调递增，所以p(x0)＞p(n)＝0，所以x0是g(x)的一个不动点， 综上，g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$