精品解析：黑龙江省大庆外国语学校2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

大庆外国语学校 初三年级期中考试数学试题 考试时间：120分钟 考试分数：120分 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 第三十三届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会的项目图标，其中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，熟练掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、该图不能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，故本选项符合题意； B、该图能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、该图能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、该图能找到这样的一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 2. 若，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐项判断即可得． 【详解】解：A、由得：，则此项错误，不符合题意； B、由得：，则此项错误，不符合题意； C、由得：，则此项正确，符合题意； D、由得：，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，解题的关键是掌握不等式的性质． 3. 将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点在 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的平移变换．利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可． 【详解】解：将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点的坐标为，即， 点在第二象限， 故选：B． 4. 如图，点C在直线上，点A、D在直线上，的平分线交直线于点B，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角的性质是解题关键．由角平分线和等边对等角的性质，得到，再利用三角形外角的性质，即可求出的度数． 【详解】解：平分，， ， ， ， 是的外角， ， 故选：C． 5. 下列说法正确的有（ ）个 ①等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线；②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；③等腰三角形的角平分线、中线、高线相互重合；④有两个角都等于的三角形是等边三角形；⑤到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理． 利用等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、等边三角形的判定方法及角平分线的判定分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：①等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线所在的直线，故本项不符合题意； ②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，故本项符合题意； ③等腰三角形的顶角平分线、底边的中线、底边的高线相互重合，故本项不符合题意； ④有两个角都等于的三角形是等边三角形，故本项符合题意； ⑤到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故本项符合题意； 故选：C． 6. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入，得：， 解得，， ∴， 所以，不等式的解是， 故选：B． 7. 的三边长a，b，c满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由等式可分别得到关于a、b、c的等式，从而分别计算得到a、b、c的值，再由的关系，可推导得到为直角三角形． 【详解】解∵ 又∵ ∴， ∴ 解得 ， ∴，且， ∴为等腰直角三角形， 故选：D． 【点睛】本题考查了非负性和勾股定理逆定理的知识，求解的关键是熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，和勾股定理逆定理． 8. 若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式．先解不等式得到，再根据题意可得不等式，解之即可得到答案． 【详解】解：解不等式得， ∵是关于x的不等式的一个解， ∴， 解得， ∴a可取的最大整数为7， 故选：D． 9. 如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵等边，于点D，长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴新钢架减少用钢 ， 故选：D． 10. 在中，（），，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，则有最小值．请对两位同学的发现作出评判（ ） A. 小明、小丽都正确 B. 小明错误，小丽正确 C. 小明正确，小丽错误 D. 小明、小丽都错误 【答案】A 【解析】 【分析】旋转得到，，当点E落在边上时，利用三角形的外角推出，进而得到，推出，判断小明的说法;连接，，等边对等角，求出，进而求出，推出点E在射线上运动，根据垂线段最短，得到时，的长最小，进而判断小丽的说法即可． 【详解】解：∵将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ∴，， 当点E落在边上时，如图： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴D为的中点， 故小明的说法是正确的； 连接，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在射线上运动， ∴当时，的长最小， ∴当的长最小时，， 又∵， ∴，， ∴， 故小丽的说法正确； 故选：A． 【点睛】本题考查旋转的性质，三角形的外角，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质以及作图确定点E的轨迹是解题的关键． 二．填空题（每空3分，共30分） 11. 当_____时，式子的值不是负数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解不等式、非负数定义，由题意得到，求解即可得到答案，熟记不等式的解法及非负数定义是解决问题的关键． 【详解】解：式子的值不是负数， ，解得， 故答案为：． 12. 若点与点关于原点对称，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确把握对应点横纵坐标的关系是解题关键．直接利用关于原点对称点的性质得出答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， 解得：，． ． 故答案为：3． 13. 如图，有一块长为，宽为的长方形地，中间的阴影部分是一条小路，空白部分为花圃.如果小路的宽度为，那么花圃的面积为_______. 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了利用平移解决实际问题，长方形的面积计算，根据被小路公开的两部分可以重新组合成一个长方形即花圃的面积，根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：被小路公开的两部分可以重新组合成一个长方形， 花圃的面积， 故答案为： 80． 14. 如图，在中，，，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质，作交于，则，结合题意可得，为等腰直角三角形，求出，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：作交于， ， 则， ∵，， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， ∴， 故答案为：． 15. 等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为________． 【答案】6或8 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． 设腰长为x，底边长为y，根据等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为9和12两部分，然后分别列方程求解即可． 【详解】解：设腰长为x，底边长为y， 由题意知，周长的两部分为9和12， 则或， 解得：或； 经检验，都符合三角形的三边关系． 所以等腰三角形的腰长为6或8． 故答案为：6或8． 16. 如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到，若、相交于点F，，则旋转角是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 设旋转角，先根据旋转的性质得，再利用三角形内角和得到，由等腰三角形的性质可得出，根据三角形外角的性质可得出答案． 【详解】解：设旋转角为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作图-作垂线，勾股定理逆定理的运用，如果三角形的三条，，，满足．则三角形为直角三角形，先判定为直角三角形，根据作图得到，根据三角形面积公式计算得到答案． 【详解】解：，，， ， ，即， 为直角三角形，且， 由作图得到， ， ， ． 故答案为：． 18. 对于任意实数m，n，定义一种运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是新定义和一元一次不等式的整数解，正确理解新定义、掌握一元一次不等式的解法是解题的关键，根据新定义列出不等式组，根据一元一次不等式组的解法解出不等式组，根据题意求出的取值范围． 【详解】解：由题意得，， 则， 解集中有两个整数解， ， 故答案为：． 19. 我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 _______人． 【答案】5 【解析】 【详解】本题考查的是一元一次不等式组的应用，设出未知数，找出不等关系：有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本，据此列出不等式组求解即可． 【分析】解：设有小学生x个，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴， ∴共有小学生5人． 故答案为：5． 20. 如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先证，推出，作点D关于的对称点G，连接交于点，连接，此时的值最小，最小值等于线段的长，根据勾股定理求解即可得出答案． 【详解】解：是等边三角形，， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ， 作点D关于的对称点G，连接交于点，连接， 此时的值最小，最小值等于线段的长， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ； 故的最小值为：； 故答案为：． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质与判定、轴对称最短问题、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关的性质与判定、作适当的辅助线是解答此题的关键． 三．解答题（共60分） 21. 解下列不等式组． （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和不等式的性质，根据不等式的性质进行变形是解题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【小问1详解】 解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 【小问2详解】 解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：． 22. 如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）直接写出关于原点O的中心对称图形的对称点的坐标； （2）画出关于原点O的中心对称图形； （3）求的面积． 【答案】（1），， （2） 如图，即为所求， （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-中心对称变换，利用网格求面积，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． （）根据关于原点对称的两点，横坐标和纵坐标都互为相反数即可求解； （）根据（1）中结论作图即可； （）利用长方形面积减去三个直角三角形的面积即可； 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为． 23. 如图，在靠墙（墙长为）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为． （1）鸡场的长（对着墙的边长）y（m）与宽（与墙相邻的边长）x（m）的函数关系式？ （2）养鸡场的长大于宽，求自变量的取值范围？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】主要考查了求函数的解析式，一元一次不等式的应用，根据题意列出式子是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式和围成的长方形仅有三边，找到函数关系解答即可； （2）根据题意列不等式，求出自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：鸡场的长y（m）与宽x（m）有， 即． 【小问2详解】 解：题中有， ∴， ∴， 又， ∴， 解得， 则自变量的取值范围为． 24. 如图，将等边放在含有角的直角三角板上（，），使落在线段上，与分别交边于点H、G，其中． （1）证明：； （2）求的长． 【答案】（1） 解：∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形的外角性质求得，再利用等边对等角可证得； （2）过点F作于，利用直角三角形的性质以及勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点F作于， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的外角性质，直角三角形的性质，等边对等角，勾股定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 25. 每年5月的第二个星期日为母亲节，很多同学会买鲜花送给妈妈．在某花店，小敏买的3束百合和2束康乃馨共花了145元；小明买的2束百合和3 束康乃馨共花了130元． （1）求每束百合和每束康乃馨的售价； （2）某社团打算在该花店购买两种花一共90束，且购买百合的数量不少于康乃馨数量的一半．请设计一种购买方案，使购买花束的总费用最少，并求总费用最少为多少元． 【答案】（1）每束百合35元，每束康乃馨20元 （2）购进百合30束，康乃馨60束时，购进花束的总费用最少，最少费用为2250元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设每束百合m元，每束康乃馨n元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进百合x束，总费用为w元，则购进康乃馨束，根据列出关于x的一元一次不等式求得x的取值范围，再列出w关于x的一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每束百合m元，每束康乃馨n元， 根据题意，得， 解得， 答：每束百合35元，每束康乃馨20元； 【小问2详解】 解：设购进百合x束，总费用为w元，则购进康乃馨束， ∵购进百合的数量不少于康乃馨数量的一半， ∴， 解得， 根据题意，得， ∵ ， ∴w随x的增大而增大． ∴ 当时，w取最小值，(元)， ∴． 答：购进百合30束，康乃馨60束时，购进花束的总费用最少，最少费用为2250元． 26. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： （1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ；（填序号） （2）若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 【答案】（1）③； （2）． 【解析】 【分析】（1）求得每个方程的解以及不等式组的解集，根据“子方程”的定义进行判断即可； （2）求得方程的解以及不等式组的解集，根据“子方程”的定义，列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：解不等式组可得 由可得，则不是不等式组的“子方程”； 由可得，则不是不等式组的“子方程”； 由可得，而，即在范围内，所以是不等式组的“子方程”； 故答案为：③； 【小问2详解】 解不等式组可得 由可得， 由题意可得： 解得 即的取值范围为． 【点睛】此题考查了一元一次方程的求解，不等式组的求解，解题的关键是理解“子方程”的定义，正确的求解方程与不等式组． 27. 如图，中，和分别为等边三角形，与相交于点F，连并延长交于点G． （1）求证：； （2）求证：G为的中点； （3）已知，求的大小（用含的式子表示）． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵和为等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． （2） 证明：由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴G为的中点． （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质得出，，，证明出，即可得出； （2）根据得，再根据线段垂直平分线的判定即可证明； （3）根据和是的垂直平分线得，再借助和为等边三角形得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）可知，是的垂直平分线， ∵，， ∴， ∵和为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的判定、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 28. 在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD（CE≥CA），BC＝CD，∠D＝α，∠ACB+∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD． （1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝　 　，∠ABP＝　 　（用含α的代数式表示） （2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC； （3）若∠ABC＝60°，BC＝+1，将图3中的CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长． 【答案】（1）180°-2α，α； （2）证明：如图2中，连接BD． ∵CB=CD，PB=PD， ∴∠CBD=∠CDB，∠PBD=∠PDB， ∴∠PBC=∠PDC=α， ∵∠ABC=2α， ∴∠ABP=∠PBC=α， ∴PB平分∠ABC； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． （2）如图2中，连接BD．证明∠PBC=∠CDE=α，可得结论． （3）分两种情形：如图3-1中，设BP交AC于J．图3-2中，设PC交BC于K，当BP⊥PC时，利用三角形的中位线定理，可得GM=PB，求出PB，可得结论． 【详解】解：（1）如图1中， ∵CE=CD， ∴∠D=∠E=α， ∴∠ECD=180°-2α， ∴∠ECB=∠E+∠D=2α， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB=2α， ∵PB=PD， ∴∠PBD=∠D=α， ∴∠ABP=∠ABC-∠PBD=α， 故答案为：180°-2α，α． （2）略 （3）如图3-1中，设BP交AC于J． ∵BP⊥PD，BP=PD， ∴△PBD是等腰直角三角形， ∵CB=CD，PB=PD， ∴PG垂直平分线段BD， ∴BG=DG， ∵PM=MD， ∴GM=PB， ∵∠ABC=∠ACB=60°， ∴∠ECD=180°-60°=120°，△ACB是等边三角形， ∵CE=CD， ∴∠CDE=30°， ∴∠PBC=∠PDC=30°， ∴∠BJC=90°， ∴CJ=BC=，BJ=CJ=， ∵∠CPD=∠CPJ=45°， ∴PJ=JC=， ∴PB=BJ+PJ=+2， ∴GM=； 如图3-2中，设PC交BC于K，当BP⊥PC时，同法可证GM=PB． ∵∠PBC=30°，∠GPB=∠PBC+∠PCB=45°， ∴∠PCB=∠PCD=15°， ∴∠KCE=120°-15°-15°=90°， ∵∠E=30°，CE=CB=， ∴CK=， ∴BK=BC-CK=， ∴PB===1， ∴GM=PB=， 综上所述，GM的长为或． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形的性质解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大庆外国语学校 初三年级期中考试数学试题 考试时间：120分钟 考试分数：120分 一．选择题（每题3分，共30分） 1. 第三十三届夏季奥林匹克运动会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．下面2024年巴黎奥运会的项目图标，其中不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 将点先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点，则点在 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 如图，点C在直线上，点A、D在直线上，的平分线交直线于点B，且．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的有（ ）个 ①等腰三角形的对称轴是顶角的角平分线；②线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；③等腰三角形的角平分线、中线、高线相互重合；④有两个角都等于的三角形是等边三角形；⑤到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解是（ ） A. B. C. D. 7. 的三边长a，b，c满足，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰直角三角形 8. 若是关于x的不等式的一个解，则a可取的最大整数值为（ ） A. 10 B. 9 C. 8 D. 7 9. 如图，等边钢架的立柱于点D，长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ） A. B. C. D. 10. 在中，（），，垂足为H，D是线段上的动点（不与点H，C重合），将线段绕点D顺时针旋转得到线段．两位同学经过深入研究，小明发现：当点E落在边上时，点D为的中点；小丽发现：连接，则有最小值．请对两位同学的发现作出评判（ ） A. 小明、小丽都正确 B. 小明错误，小丽正确 C. 小明正确，小丽错误 D. 小明、小丽都错误 二．填空题（每空3分，共30分） 11. 当_____时，式子的值不是负数． 12. 若点与点关于原点对称，则__________． 13. 如图，有一块长为，宽为的长方形地，中间的阴影部分是一条小路，空白部分为花圃.如果小路的宽度为，那么花圃的面积为_______. 14. 如图，在中，，，，则的长为______． 15. 等腰三角形一腰上的中线把它的周长分为两部分，等腰三角形的周长为21，则它的腰为________． 16. 如图，将含有锐角的三角板绕的锐角顶点C逆时针旋转一个角度到，若、相交于点F，，则旋转角是______． 17. 如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为__________． 18. 对于任意实数m，n，定义一种运算，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：．请根据上述定义解决问题：若，且解集中有两个整数解，则a的取值范围是__________． 19. 我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 _______人． 20. 如图，在等边中，，点为高上的一动点，以为边作等边，连接、，则的最小值为___________． 三．解答题（共60分） 21. 解下列不等式组． （1） （2） 22. 如图，在直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）直接写出关于原点O的中心对称图形的对称点的坐标； （2）画出关于原点O的中心对称图形； （3）求的面积． 23. 如图，在靠墙（墙长为）的地方围建一个长方形的养鸡场，另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆总长为． （1）鸡场的长（对着墙的边长）y（m）与宽（与墙相邻的边长）x（m）的函数关系式？ （2）养鸡场的长大于宽，求自变量的取值范围？ 24. 如图，将等边放在含有角的直角三角板上（，），使落在线段上，与分别交边于点H、G，其中． （1）证明：； （2）求的长． 25. 每年5月的第二个星期日为母亲节，很多同学会买鲜花送给妈妈．在某花店，小敏买的3束百合和2束康乃馨共花了145元；小明买的2束百合和3 束康乃馨共花了130元． （1）求每束百合和每束康乃馨的售价； （2）某社团打算在该花店购买两种花一共90束，且购买百合的数量不少于康乃馨数量的一半．请设计一种购买方案，使购买花束的总费用最少，并求总费用最少为多少元． 26. 定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”，例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 问题解决： （1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是 ；（填序号） （2）若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范围． 27. 如图，中，和分别为等边三角形，与相交于点F，连并延长交于点G． （1）求证：； （2）求证：G为的中点； （3）已知，求的大小（用含的式子表示）． 28. 在△ABC中，AB＝AC，△CDE中，CE＝CD（CE≥CA），BC＝CD，∠D＝α，∠ACB+∠ECD＝180°，点B，C，E不共线，点P为直线DE上一点，且PB＝PD． （1）如图1，点D在线段BC延长线上，则∠ECD＝　 　，∠ABP＝　 　（用含α的代数式表示） （2）如图2，点A，E在直线BC同侧，求证：BP平分∠ABC； （3）若∠ABC＝60°，BC＝+1，将图3中的CDE绕点C按顺时针方向旋转，当BP⊥DE时，直线PC交BD于点G，点M是PD中点，请直接写出GM的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $