精品解析：四川省内江市威远中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

威远中学2024级高一上期半期考试 数学试题 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集的定义，即可求解. 【详解】集合，， 则. 故选：D 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由解析式有意义列出不等式，解得函数定义域． 【详解】由题可知且， 所以函数的定义域为. 故选：D． 3. 已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】计算出集合中元素个数，即可得其子集个数，即可得解. 【详解】集合中有4个元素，故集合的子集有个， 即满足条件的集合的个数为16. 故选：D. 4. 已知函数满足，则（ ） A. B. 1 C. 4 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，令，即取代入计算即得. 【详解】函数满足，当，即时，. 故选：C 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对A，B，C举反例说明，对D，作差法求解判断. 【详解】若，取，，则，故A错误； 若，当时，则，故B错误； 若，取，，则，故C错误； 若，则，故D正确. 故选：D. 6. 已知x>3，则对于，下列说法正确的是（ ） A. y有最大值7 B. y有最小值7 C. y有最小值4 D. y有最大值4 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以有最小值； 故选：B 7. 设，下列说法中错误的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “，”是“，”的充要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的概念依次判断各选项即可. 【详解】对于A，因为的解集为， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，“”时，“”一定成立， 反之“”成立时，“”不一定成立，如举例， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B错误； 对于C，“”时，“”一定成立，反之 “”成立时，“”不一定成立， 例如，所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对于D，当 “”时，满足“”；当“”时， 但不一定“”，例如，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确. 故选：B 8. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【点睛】方法点睛：分类讨论思想是高中数学一项重要的考查内容，分类讨论思想要求在不能用统一的方法解决问题的时候，将问题划分成不同的模块，通过分块来实现问题的求解，体现了对数学问题的分析处理能力和解决能力. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两项或两项以上符合题目要求）. 9. 已知p：“，恒成立”为真命题，下列选项可以作为p的充分条件的有（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由命题为真，结合一元二次不等式性质有求参数范围，根据各选项判断充分条件. 【详解】由p为真命题，则，可得， 所以、、都是p的充分条件，或是p的既不充分也不必要条件. 故选：ACD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相同函数的概念判断A，根据函数的定义域和值域的概念判断BC，利用换元法列方程组判断D. 【详解】对于A，由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又，所以两函数有相同的定义域及对应关系，表示同一个函数，选项A说法正确； 对于B，因为函数的定义域为，所以，解得， 所以函数的定义域为，选项B说法正确； 对于C，由，可得函数的定义域为， 又函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为，选项C说法错误； 对于D，因为①，所以②， 得，解得，选项D说法正确； 故选：ABD 11. 已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ） A. B. C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据集合子集的个数列方程，求得的关系式，对A，利用二次函数性质可判断；对B，利用基本不等式可判断；对CD，利用不等式的解集及韦达定理可判断. 【详解】由于集合有且仅有两个子集，所以， 由于，所以. A，，当时等号成立，故A正确. B，，当且仅当时等号成立，故B正确. C，不等式的解集为，，故C错误. D，不等式的解集为，即不等式的解集为，且，则， 则，，故D正确， 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题，每小题5分，满分15分）. 12. 命题“”的否定是____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用全称命题的否定直接求解即可. 【详解】命题“”的否定是“”. 故答案为： 13. 已知函数，分别由下表给出 1 2 3 4 1 3 1 3 1 2 3 4 3 2 3 2 满足的的值是______． 【答案】2或4 【解析】 【分析】根据题意得，然后结合表格求解自变量即可. 【详解】结合列表法表示的两函数可知， 由得或4（舍去），所以或4， 由得或3（舍去），所以， 所以满足的的值是2或4. 故答案为：2或4 14. 设函数，若，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分段函数解析式画出函数图象，解不等式即可求得结果. 【详解】画出函数的图象如下图所示： 由可得， 当时，恒成立； 当时， ，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 已知函数 （1）在如图给定的直角坐标系内画出的图象； （2）求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数类型，采用描点法作图； （2）根据分段函数，采用分段解不等式，再求并集. 【小问1详解】 当时： 0 1 2 2 3 2 -1 当： 2 5 图像如下： 【小问2详解】 令则 当时，， 所以，解得， 所以； 当时，， 解得，所以； 综上，或 所以的解集为. 16. 已知函数. （1）若函数的图象经过点，求实数的值； （2）在（1）的条件下，求不等式的解集； （3）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） （3）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）将点代入解析式即可得解； （2）利用二次不等式的解法即可得解； （3）利用因式分解，结合含参二次不等式的解法即可得解. 【小问1详解】 因为的图象经过点， 所以，则； 【小问2详解】 由（1）得，解得， 所以不等式的解集为； 【小问3详解】 ， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 17. 通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. （1）据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ （2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 【答案】（1）40 （2）102万平方米，售价为30欧元. 【解析】 【分析】（1）设该种玻璃的售价提高到x欧元/平方米，列不等式计算即可得； （2）结合题意，列出不等式，借助基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设该种玻璃的售价提高到欧元/平方米， 则有， 解得：， 所以该种玻璃的售价最多提高到40欧元/平方米. 【小问2详解】 ， 整理得：， 除以得：， 由基本不等式得：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以该种玻璃的销售量至少达到102万平方米时， 才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和， 此时的售价为30欧元/平方米. 18. 命题:任意成立；命题成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）先求出命题为真时，实数的取值范围，命题至少有一个为真命题，从而由题意得到关于的不等式组，从而得解. 【小问1详解】 对于命题对任意，不等式恒成立， 则有，； 综上，当为真时，实数的取值范围是. 【小问2详解】 对于命题存在，使得不等式成立，. 只需，而， ，，则， 所以当命题为真时，实数的取值范围是， 从而当命题为假命题，为真命题时，或且，则或； 当命题为真命题，为假命题时，且，无解； 当命题为真命题，为真命题时，，则； 所以. 19. 问题：正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数满足，求的最小值； （2）若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）求代数式的最小值，并求出使得最小的的值． 【答案】（1） （2），当且仅当且同号时等号成立 （3）时，取得最小值 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解； （2）由，结合基本不等式，求得，即可求解； （3）令，得到，构造，由（2）知，即可求解. 【小问1详解】 解：因为且， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是． 【小问2详解】 解：由， 又由，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当且同号时等号成立，所以， 此时也满足. 【小问3详解】 解：令，由，可得， 则， 因为，所以，构造， 由，可得，因此， 由（2）知， 取等号时，且同正， 结合，解得，即． 所以时，取得最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学2024级高一上期半期考试 数学试题 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第I卷（选择题，共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合满足，则满足条件的集合的个数为（    ） A. 8 B. 10 C. 14 D. 16 4. 已知函数满足，则（ ） A. B. 1 C. 4 D. 7 5. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知x>3，则对于，下列说法正确的是（ ） A. y有最大值7 B. y有最小值7 C. y有最小值4 D. y有最大值4 7. 设，下列说法中错误的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “，”是“，”的充要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 8. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两项或两项以上符合题目要求）. 9. 已知p：“，恒成立”为真命题，下列选项可以作为p的充分条件的有（ ） A. B. 或 C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 C. 函数的值域为 D. 已知函数满足，则 11. 已知集合有且仅有两个子集，则下面正确的是（ ） A. B. C. 若不等式的解集为，则 D. 若不等式的解集为，且，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题，每小题5分，满分15分）. 12. 命题“”的否定是____________. 13. 已知函数，分别由下表给出 1 2 3 4 1 3 1 3 1 2 3 4 3 2 3 2 满足的的值是______． 14. 设函数，若，则实数的取值范围是___________. 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 已知函数 （1）在如图给定的直角坐标系内画出的图象； （2）求不等式的解集. 16. 已知函数. （1）若函数的图象经过点，求实数的值； （2）在（1）的条件下，求不等式的解集； （3）解关于的不等式. 17. 通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021年，该种玻璃售价为25欧元/平方米，销售量为80万平方米，销售收入为2000万欧元. （1）据市场调查，若售价每提高1欧元/平方米，则销售量将减少2万平方米；要使销售收入不低于2000万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？ （2）为提高年销售量，增加市场份额，公司将在2022年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提高价格到欧元/平方米（其中），其中投入万欧元作为技术创新费用，投入500万欧元作为固定宣传费用，投入万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量（单位/万平方米）至少达到多少时，才可能使2022年的销售收入不低于2021年销售收入与2022年投入之和？并求出此时的售价. 18. 命题:任意成立；命题成立. （1）若命题为真命题，求实数的取值范围； （2）若命题至少有一个为真命题，求实数的取值范围； 19. 问题：正实数满足，求的最小值．其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： （1）若正实数满足，求的最小值； （2）若实数满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）求代数式的最小值，并求出使得最小的的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $