精品解析：山西省侯马市三校联考2024-2025学年九年级上学期素养形成期中测试数学试题

2024-2025学年度第一学期素养形成期中测试 初三数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，根据二次根式混合运算的法则求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】A、和，不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 2. 关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据方程的解的定义进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴方程必有一根为； 故选B． 3. 在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的5倍，则的正切值（ ） A. 扩大为原来的5倍 B. 缩小为原来的5倍 C. 不变 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握锐角三角函数的表示是解题的关键，由于把直角三角形的三边都扩大为原来的5倍，那么的对边和邻边的比值是不变的，则的正切值也是不变的，从而得到答案． 【详解】解：在中，各边的长度都扩大为原来的5倍， ∴扩大后的三角形与原三角形相似，的度数不变， ∴的正切值不变， 故选：C． 4. 我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，从而得到两个一元一次方程：或，进而得到原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 转化思想 C. 整体思想 D. 公理化思想 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握解一元二次方程因式分解法是解题的关键． 根据解一元二次方程—因式分解法即可解答． 【详解】解：解一元二次方程时，可以运用因式分解法将此方程化为．从而得到两个一元一次方程或． 进而得到原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是转化思想． 故选：B． 5. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质得到，据此把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：， ， ， 故选：． 6. 如图，在宽米、长米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米．设道路的宽为米，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由图可知：草坪的长为米，宽为米，即可求解； 【详解】解：由图可知：草坪的长为米，宽为米， ∴， 故选：A 7. 圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱的根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱的高约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答．在中利用正切函数即可得出答案． 【详解】解∶在中，， 约为，， ，即． ． 故选∶B． 8. “等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（ ） A. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两点确定一条直线 D. 平行线分线段成比例 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：根据题意可得，这些平行线就恰好将线段平均分成五等份， 其中蕴含的数学道理是：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，即平行线分线段成比例． 故选D． 9. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故选：C 10. 如图，点是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点．已知，，则的长为（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，平行线分线段成比例，理解平行线分线段成比例是解答关键．根据已知条件得到，根据菱形的性质得到，再利用平行线分线段成比例来求解． 【详解】解：， ． 是菱形， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简、二次根式的加减等知识点，熟知二次根式的运算性质和二次根式的加减法则是解题的关键． 直接利用二次根式的性质化简，进而计算得出答案． 【详解】解： 故答案为： 12. 方程的解为_______． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用因式分解法求解． 【详解】解： 或， ∴，． 13. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由题意得：，根据相似三角形的相似比等于对应边上的高之比，设小孔到的距离为，可得，据此即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵相似三角形的相似比等于对应边上的高之比， 设小孔到的距离为． ∴，即：， 解得：， 故答案为： 14. 某初中毕业班的每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪念，全班共送了2550张照片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程_____． 【答案】x（x﹣1）=2550． 【解析】 【分析】如果全班有x名学生，那么每名学生送照片x﹣1张，全班应该送照片x（x﹣1），那么根据题意可列的方程． 【详解】解：全班有x名学生，那么每名学生送照片(x﹣1)张； 全班应该送照片x（x﹣1）， 则可列方程为：x（x﹣1）=2550． 故答案为x（x﹣1）=2550． 【点睛】由实际问题抽象出一元二次方程． 15. 如图，四边形是矩形，其中，，对角线与交于点，点是上一点，且，与交于点，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，作，可推出，设，根据，,可推出得，求得；结合，可求出，据此即可求解； 【详解】解：过点F作于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ 设， ∵，, ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴． 故答案为： 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：， （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，因式分解法解一元二次方程等知识点， （1）利用二次根式的混合运算法则计算即可得解； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可得解； 熟练掌握二次根式的混合运算，因式分解法解一元二次方程是解决此题的关键． 【详解】（1） ； （2） 或 ∴，． 17. 已知的周长为，其中，． （1）求的长度． （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）； （2） 解：直角三角形，理由如下： ∵， ， ∴， ∴是直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，勾股定理的逆定理，三角形的周长公式等知识，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵的周长为，，， ∴ ， ∴的长度为； 【小问2详解】 略 18. 如图，的中线交于点O，F、G分别是的中点，连接．求证：与互相平分 【答案】 证明：∵是的两条中线， ∴点D、E分别是边的中点， 又∵F、G分别是的中点， ， 且 ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 【解析】 【分析】利用三角形中线的性质、中位线的定义和性质证得四边形的对边且 ，得到四边形是平行四边形，证得结论． 本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】略 19. 如图，在中，，，，求． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角函数的定义和运算、直角三角形的性质，熟练掌握三角函数（如正弦、余弦、正切）在直角三角形中的定义，并能正确地应用它们来求解未知量是解题的关键； 过点A作，交于点D， 将分割成两个直角三角形，然后利用三角函数求出，和CD的长度，最后利用正切函数求出． 在中，利用三角函数求出，， 【详解】解：过点A作，交于点D， 在中，，， 则， 在中，， 则， 则， 在中，． 20. 阅读与思考． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，∴且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： （1）解方程：； （2）解方程：． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握各类求解方法是解题关键． （1）由题意得，推出或，即可求解； （2）两边同时平方得：，解得：，；结合且，即可求解． 【小问1详解】 解： 因式分解，得 ∴或； 即：或 解得：，， 【小问2详解】 解：两边同时平方得：， 整理得：； 解得：， ∵且， ∴ ∴原方程的解为． 21. 应县木塔位于山西省朔州市应县佛宫寺内，是世界上现存最高大、最古老纯木结构楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”，某校科技小组开展了测量该木塔高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告． 测量应县木塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； ②沿着方向走到处，用皮尺测得米； ③在处使用测角仪测得塔的顶部点的印角 … 已知测角仪的高度为1.3米，点、、在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度（精确到1米）． （参考数据：，，） 【答案】67米 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，设米，利用三角函数解可得，解可得米，再根据，解出x的值，即可求解． 【详解】解：由题意得，四边形是矩形，米， ∴米， 设米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴， 解得， ∴（米）（米）． 答：塔的高度为67米． 22. 根据以下素材，完成任务 制定某品牌新能源汽车的销售方案 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成 为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不 需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放、从而达到保护环境 的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． 素材2 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量． 素材3 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 任务1 求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材3，为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】任务1：；任务2：万元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键． 任务1，设：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为，，据此即可求解； 任务2，设：下调后每辆汽车降低万元，，据此即可求解； 【详解】解：任务1，设：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 解得：，（不符合题意，舍去） 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为 任务2，设：下调后每辆汽车降低万元 整理得： 解得：， ∵此次销售尽量让利于顾客 ∴ （万元） 答：下调后每辆汽车的售价为万元 23. 综合与实践 如图1，在矩形中，，，点，分别是边，上的两点，连接，交于点，且． 数学思考：（1）求的值． 类比探究：（2）如图2，当四边形为平行四边形时，其他条件不变，求的值． 拓展延伸：（3）在（2）的基础上，若，，请直接写出此时的长． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质证明，可得，即可求出； （2）如图，在上取点Q，使得，连接，根据平行四边形的性质可证，可得，即可求出； （3）过A作于H，则，由平行四边形的性质和含的直角三角形的特征求出，再根据勾股定理求出，根据（2）的结论求值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：如图，在上取点Q，使得，连接． ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过A作于H，则， ，， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，综合运用以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第一学期素养形成期中测试 初三数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程，若则方程必有一根为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 2 3. 在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的5倍，则的正切值（ ） A. 扩大为原来的5倍 B. 缩小为原来的5倍 C. 不变 D. 不能确定 4. 我们解一元二次方程时，可以运用因式分解法，将此方程化为，从而得到两个一元一次方程：或，进而得到原方程的解为，．这种解法体现的数学思想是（ ） A. 数形结合思想 B. 转化思想 C. 整体思想 D. 公理化思想 5. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在宽米、长米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为平方米．设道路的宽为米，可列方程（ ） A. B. C. D. 7. 圭表是通过测定日影长度来确定时间的仪器．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱的根部与圭表的冬至线的距离（即的长）为．已知冬至时北京的正午日光入射角约为，则立柱的高约为（ ） A. B. C. D. 8. “等分”是生活中经常会遇到的事情．例如将一根绳子平均分成五段，从数学上看就是将一条线段五等分．如图，过线段的一个端点任意画一条射线，在上依次取五段相等的线段、、、、，连结，再分别过点、、、画的平行线，则这些平行线就恰好将线段平均分成五等份．其中蕴含的数学道理是（ ） A. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 B. 同位角相等，两直线平行 C. 两点确定一条直线 D. 平行线分线段成比例 9. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 且 10. 如图，点是菱形的边上一点，连接并延长，交的延长线于点．已知，，则的长为（ ） A. 15 B. 12 C. 9 D. 6 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果是______． 12. 方程的解为_______． 13. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为______． 14. 某初中毕业班的每一个同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张作为纪念，全班共送了2550张照片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程_____． 15. 如图，四边形是矩形，其中，，对角线与交于点，点是上一点，且，与交于点，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：， （2）解方程：． 17. 已知的周长为，其中，． （1）求的长度． （2）判断的形状，并说明理由． 18. 如图，的中线交于点O，F、G分别是的中点，连接．求证：与互相平分 19. 如图，在中，，，，求． 20. 阅读与思考． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解．各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，∴且，∴不是原方程的解，∴原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： （1）解方程：； （2）解方程：． 21. 应县木塔位于山西省朔州市应县佛宫寺内，是世界上现存最高大、最古老纯木结构楼阁式建筑，与意大利比萨斜塔、巴黎埃菲尔铁塔并称“世界三大奇塔”，某校科技小组开展了测量该木塔高度的实践活动，请你帮他们完成下面的实践报告． 测量应县木塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①在处使用测角仪测得塔的顶部点的仰角； ②沿着方向走到处，用皮尺测得米； ③在处使用测角仪测得塔的顶部点的印角 … 已知测角仪的高度为1.3米，点、、在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度（精确到1米）． （参考数据：，，） 22. 根据以下素材，完成任务 制定某品牌新能源汽车的销售方案 背景 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车正逐渐成 为人们喜爱的交通工具．新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不 需要燃烧汽油，这样就减少二氧化碳气体的排放、从而达到保护环境 的目的．在国家积极政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升． 素材1 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到万辆． 素材2 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需要预估未来的销售量． 素材3 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公司选择一款进价为万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为万元． 问题解决 任务1 求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． 任务2 根据素材3，为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 23. 综合与实践 如图1，在矩形中，，，点，分别是边，上的两点，连接，交于点，且． 数学思考：（1）求的值． 类比探究：（2）如图2，当四边形为平行四边形时，其他条件不变，求的值． 拓展延伸：（3）在（2）的基础上，若，，请直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $