精品解析： 北京市第十四中学2024—2025学年上学期八年级数学期中检测卷

北京十四中2024—2025学年度第一学期期中检测 初二数学测试卷 注意事项 1.本试卷共6页，共28道小题，满分100＋10分．考试时间100分钟． 2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.答题不得使用任何涂改工具． 一、选择题（每小题2分，共20分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 下面由冬季奥运会比赛项目图标组成的四个图形中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．根据能否找到一条直线使图形折叠后能够完全重合，进行判断即可，掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项错误； 、不是轴对称图形，故本选项错误； 、不是轴对称图形，故本选项错误； 、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：． 2. 如图，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的对应边相等推知，然后根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，仔细观察图形，根据已知条件找准对应边是解决本题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘进行计算判断，即可解题． 【详解】解：A、，选项运算错误，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不可以合并，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了合并同类项、同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方，解题的关键是正确掌握各计算法则． 4. 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解，直接利用因式分解的定义分析得出答案． 【详解】解：A、，从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意； B、，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项不符合题意； C、，不是因式分解，故此选项不符合题意； D、，从左到右的变形，是因式分解，故此选项符合题意． 故选D． 【点睛】考查了因式分解，正确把握因式分解的定义是解题关键． 5. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，注意符合条件的答案有两个，以防漏解．根据完全平方公式的形式，可得答案． 【详解】解：已知是完全平方式， ∴， ∴， 故选：D． 6. 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．分别表示出图甲和图乙中阴影部分的面积，二者相等，即可解题． 【详解】解：由图知，甲图形阴影部分的面积为， 乙图形阴影部分的长为，高为，则其面积为， 即， 故选：C． 7. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（ ） A. 14 B. 18 C. 20 D. 26 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据三角形周长计算公式得到的值，再由线段垂直平分线的性质得到以及的长，进而求出的长，再根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵的周长为22， ∴， ∵的垂直平分线分别交，于点，， ∴， ∴， ∴的周长为. 故选：A． 8. 下列尺规作图，能确定是的中线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据5种基本作图对各选项进行判断即可得到答案． 【详解】解：A． AD为BC边的中线，所以A选项符合题意； B．点D为AB的垂直平分线与BC的交点，则DA=DB，所以B选项不符合题意； C．AD为∠BAC的平分线，所以C选项不符合题意； D．AD为BC边的高，所以D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了作图一基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键，也考查了三角形的平分线、中线和高． 9. 在中，，延长至D，使，连接，则的长度的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】画出图形，延长，使，连接，证明得到，再利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：如图，延长，使，连接， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，即， 故选：A． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，添加辅助线构造全等三角形解决问题是解答的关键． 10. 设，是实数，定义一种新的运算：，则下列结论：①，则且；②；③；④，正确的有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据，分别表示出各项的意义，再比较是否相等． 【详解】解：∵， ①若，则，则a，b互为相反数，故错误； ②=，故正确； ③≠，故错误； ④，，故正确； 故选B． 【点睛】本题考查了定义新运算，解题的关键是理解题中所给的运算法则，以及整式的混合运算． 二、填空题（第11—18题每题3分，共24分） 11. 计算：______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，一个不为0的零次幂等于1；据此求解即可． 【详解】解：； 故答案为：1． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与轴对称，关于轴对称的两点，其纵坐标互为相反数，横坐标不变，据此即可求解． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为． 故答案为： 13. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形定义、构成三角形的三边关系等知识，熟记等腰三角形的定义及三角形三边关系是解决问题的关键． 先由等腰三角形的定义分类：和，再根据三角形三边关系判断是否构成三角形即可得到答案． 【详解】解：一个等腰三角形的两边长分别是和， 等腰三角形三边长分两类：和， 当等腰三角形三边长为时，，不满足三角形三边关系，故不能构成三角形，舍去； 当等腰三角形三边长为时，满足三角形三边关系，能构成三角形， 则其周长为； 故答案为：． 14. 如图，点B、A、D、E在同一直线上，，，要使，则只需添加一个适当的条件是______（只填一个即可） 【答案】（或或） 【解析】 【分析】，根据平行线的性质得，若，根据条件利用即可得证；若，根据条件利用即可得证；若添加，根据条件利用即可得证． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若添加， 在和中， ， ∴； 若添加， 在和中， ， ∴； 若添加， 在和中， ， ∴． 故答案为：（或或）． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 15. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质，利用角平分线及平行线性质，结合等腰三角形的判定得到，将三角形周长转化，求出即可． 【详解】解：∵为的平分线，为的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴周长为， 故答案为：10． 16. 如图，在中，，，，，则的度数是________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和，三角形外角性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据题意证明，结合三角形内角和，三角形外角性质得到，最后利用三角形内角和求解，即可解题． 【详解】解：在中，，，， ， ， ， ， ， ， ． 17. 已知，，则的值是___________． 【答案】120 【解析】 【分析】利用完全平方公式的变形进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故答案为：120． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，正确得到是解题的关键． 18. 在平面直角坐标系中，点，，，点D在第二象限，且． （1）点D的坐标为________； （2）点P在坐标轴上，且是等腰三角形，则P点的个数为________． 【答案】 ①. ②. 个 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，坐标与图形，以及等腰三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质，即可得到点D的坐标； （2）根据等腰三角形的判定与性质，分情况①，②，③，讨论求解，即可解题； 【详解】解：（1）根据题意作图如下： ，点D在第二象限， ，， 点D的坐标为； 故答案为：． （2）根据是等腰三角形，点P在坐标轴上， ①， 以为圆心，长为半径，画弧与坐标轴有2个交点， ②， 以为圆心，长为半径，画弧与坐标轴有3个交点， ③， 作的中垂线，与坐标轴有1个交点， 综上所述，则P点的个数为个， 故答案为：个． 三、解答题（第19、20题各9分，第21、23、24、25题各6分，第22、26题各7分，共56分） 19. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先计算积的乘方，再根据单项式乘单项式运算法则计算，即可解题； （2）根据多项式乘多项式运算法则计算，即可解题； （3）利用平方差公式，以及整式的混合运算法则计算求解，即可解题． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，积的乘方，单项式乘单项式，多项式乘多项式，平方差公式．正确按“先乘方，再乘法，最后算加减”的顺序及相关法则计算是解题的关键． 20. 因式分解 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟悉运算规则以及乘法公式是解题的关键． （1）运用提公因式法因式分解即可； （2）首先提公因数，然后运用完全平方公式进行因式分解即可； （3）首先提公因式，然后运用平方差公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 ． 21. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算的化简求值，完全平方公式，单项式除单项式，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键．先根据整式的混合运算顺序和运算法则化简原式，然后将x与y的值代入化简后的式子中计算，即可解题． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 22. 根据题意，完成作图及推理： 已知：在中，，的平分线交于点D，，． （1）作出的平分线（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）求的面积． 解：（2）过D作于点E（不要求尺规作图） ， ______于点C， 平分， ______（______）， ， ______， ， ______． 【答案】（1） 解：所作的平分线如图所示： （2），，角平分线的性质，， 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，角平分线的性质，解题的关键在于掌握角平分线的尺规作图步骤作图． （1）根据尺规作图作角平分线的步骤作图即可； （2）结合题干步骤，利用角平分线的性质作得到即可求出面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过D作于点E， ， 于点C， 平分， （角平分线的性质）， ， ， ， ． 23. 已知：如图，，，．求证：． 【答案】 证明：， ， ， 在与中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形性质和判定，根据题意证明，利用全等三角形性质即可证明． 【详解】略 24. 如图，中，，，平分交于点E，交于点F，求证：是等腰三角形． 【答案】 证明：∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】根据角平分线的定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出，，根据余角性质得出，根据对顶角相等得出，求出，根据等角对等边得出，即可证明结论． 【详解】略 【点睛】此题考查了直角三角形的性质、角平分线的定义，余角性质，等腰三角形的判定．难度适中，注意掌握数形结合思想的应用． 25. 阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别分解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： x2－4y2－2x＋4y ＝(x2－4y2)－(2x－4y) ＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y) ＝(x－2y)(x＋2y－2)． 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： （1）分解因式：x2－2xy＋y2－4： （2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由． 【答案】(1) ； (2)∵ ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴△ABC为等腰三角形． 故答案为等腰三角形． 【解析】 【分析】(1)前三项符合完全平方公式，再和最后一项应用平方差公式分解因式即可． (2)前两项、后两项均可提取公因式，前、后两部分分别因式分解后又出现新的公因式，据此把a2-ab-ac+bc分解因式，进而判断出△ABC的形状即可． 【详解】解：(1)原式， 故答案为． (2)略 【点睛】此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． 26. 已知：如图，在中，，点D为上的一点，，点E为延长线上一点且，连接并延长交于点F，连结． （1）求证：； （2）作A点关于的对称点M，分别连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示之间的数量关系并证明． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； （2）①依题意补全图形即可； ②，理由如下： ∵，又， ∴，即， ∵点A、点M关于对称， ∴，，， ∴， 在上截取点N，使， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴和是腰长相等的两个等腰直角三角形， ∴， ∴， 【解析】 【分析】（1）证明，即可证明； （2）①依题意补全图形即可； ②证明，在上截取点N，使，证明，得出和是腰长相等的两个等腰直角三角形，推出，据此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 四、附加题（共10分） 27. 在学习整式乘法一章时，小明发现：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为；再如：（是整数），所以M也是“智慧数” （1）请你再写一个小于的（5除外）“智慧数”________，并判断是否为“智慧数”________（填“是”或者“否”）； （2）已知（x，y是整数），k是常数，要使S为“智慧数”，试求出符合条件的一个k值． 【答案】（1）；是 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解的应用，完全平方公式的运用，阅读理解题目表述的意思是本题的关键． （1）利用“智慧数”的定义可得； （2）利用配方法，将S配成智慧数，可求k的值． 【小问1详解】 ， 是“智慧数”． 小于的（5除外）“智慧数”为；（答案不唯一）， 是“智慧数”． 【小问2详解】 ， 是“智慧数”， ， ． 当时，S为“智慧数”． 28. 对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的“直角距离”为．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“直角距离”，记作． （1）已知、，则_______，_______； （2）已知、，若，则t的取值范围是_______； （3）已知，若坐标平面内的点P满足，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_______． 【答案】（1）3，1 （2）或； （3） 正方形即所有满足条件的点P所构成的图形；该图形的面积是2， ， 【解析】 【分析】（1）根据“直角距离”的公式代入即可求出的值；利用待定系数法求出的表达式，根据题意表示出，最后根据一次函数的增减性即可求解； （2）首先根据“直角距离”的公式表示出点O和的“直角距离”，然后根据，可判断出，进而可求出t的取值范围； （3）首先设出点P的坐标为，根据题意代入表示出，可得出关于x和y的方程，分情况讨论画出所有满足条件的点P所构成的图形，最后求解面积即可． 【小问1详解】 解：、， ， 设的表达式为， 将、，代入得 ， 解得：， ， 设线段上一点的坐标为，且， ， ， ， ， 即， ， ∴随x的增大而减小， ∵， ∴当时，有最小值， 最小值， ∴． 故答案为：3，1； 【小问2详解】 ∵设经过点和点的表达式为， 代入得：， 解得：， ∴． ∴点O和 “直角距离”，， ∵， ∴， ∴或； 故答案为：或； 【小问3详解】 设点P的坐标为， ∵， ∴代入得，得∶ ，即， 当时，，即， 当时，； 当时，； 当时，，即， 当时，； 当时，； ， ， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系和新定义问题，绝对值的意义，一次函数，分类讨论方法等知识点，解题的关键是正确分析“直角距离”的公式，并列出方程求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十四中2024—2025学年度第一学期期中检测 初二数学测试卷 注意事项 1.本试卷共6页，共28道小题，满分100＋10分．考试时间100分钟． 2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号． 3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5.答题不得使用任何涂改工具． 一、选择题（每小题2分，共20分）第1－10题均有四个选项，符合题意的选项只有一个 1. 下面由冬季奥运会比赛项目图标组成的四个图形中，可以看作轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是完全平方式，则的值为（ ） A. 6 B. C. 3 D. 6. 从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）．通过计算两个图形阴影部分的面积，从左至右验证成立的公式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，．若的周长为22，，则的周长为（ ） A. 14 B. 18 C. 20 D. 26 8. 下列尺规作图，能确定是的中线的是（ ） A. B. C. D. 9. 在中，，延长至D，使，连接，则的长度的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 10. 设，是实数，定义一种新的运算：，则下列结论：①，则且；②；③；④，正确的有（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（第11—18题每题3分，共24分） 11. 计算：______． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为______． 13. 若一个等腰三角形的两边长分别是和，则这个三角形的周长是_____． 14. 如图，点B、A、D、E在同一直线上，，，要使，则只需添加一个适当的条件是______（只填一个即可） 15. 如图，在中，和的平分线交于O点，过点O作的平行线交于M点，交于N点，则的周长为____． 16. 如图，在中，，，，，则的度数是________． 17. 已知，，则的值是___________． 18. 在平面直角坐标系中，点，，，点D在第二象限，且． （1）点D的坐标为________； （2）点P在坐标轴上，且是等腰三角形，则P点的个数为________． 三、解答题（第19、20题各9分，第21、23、24、25题各6分，第22、26题各7分，共56分） 19. 计算 （1） （2） （3） 20. 因式分解 （1） （2） （3） 21. 先化简，再求值：，其中，． 22. 根据题意，完成作图及推理： 已知：在中，，的平分线交于点D，，． （1）作出的平分线（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）求的面积． 解：（2）过D作于点E（不要求尺规作图） ， ______于点C， 平分， ______（______）， ， ______， ， ______． 23. 已知：如图，，，．求证：． 24. 如图，中，，，平分交于点E，交于点F，求证：是等腰三角形． 25. 阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解．如x2－4y2－2x＋4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前、后两部分分别分解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式．具体过程如下： x2－4y2－2x＋4y ＝(x2－4y2)－(2x－4y) ＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y) ＝(x－2y)(x＋2y－2)． 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法． 利用分组分解法解决下面的问题： （1）分解因式：x2－2xy＋y2－4： （2）已知△ABC的三边长a、b、c满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状并说明理由． 26. 已知：如图，在中，，点D为上的一点，，点E为延长线上一点且，连接并延长交于点F，连结． （1）求证：； （2）作A点关于的对称点M，分别连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示之间的数量关系并证明． 四、附加题（共10分） 27. 在学习整式乘法一章时，小明发现：若一个整数能表示成（是整数）的形式，则称这个数为“智慧数”．例如：5是“智慧数”，因为；再如：（是整数），所以M也是“智慧数” （1）请你再写一个小于的（5除外）“智慧数”________，并判断是否为“智慧数”________（填“是”或者“否”）； （2）已知（x，y是整数），k是常数，要使S为“智慧数”，试求出符合条件的一个k值． 28. 对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的“直角距离”为．对于平面直角坐标系内的任意两个图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的“直角距离”有最小值，那么称这个最小值为图形M、N间的“直角距离”，记作． （1）已知、，则_______，_______； （2）已知、，若，则t的取值范围是_______； （3）已知，若坐标平面内的点P满足，则在图中画出所有满足条件的点P所构成的图形，该图形的面积是_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $