专题26.4 反比例函数几何模型（9大模型11类题型）（模型梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题26.4 反比例函数几何模型（9大模型11类题型）（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型梳理与题型目录】 反比例函数存在面积不变形的特征,所以可以和很多基础图形组成相关模型,而这些模型恰好是反比例函数压轴题的解答关键,现总结如下: 【模型1】矩形面积模型 基本图形： 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 【模型2】三角形面积模型 基本图形： 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 【模型3】直角三角形与平行四边形面积模型 基本图形： 基本图形 变式1 变式2 变式3 【模型4】三角形面积等于梯形面积模型 基本图形： 基本图形 变式图形 【模型5】双曲线对称模型 双曲线为中心对称图形，坐标轴的交为其对称中心 【模型6】双曲线组合面积模型 若A、B两点分别在双曲线和上，而且AB//x轴，则 基本图形： 变式1 变式2 【模型7】垂直形成平行线段模型 基本图形： 基本图形： 变式图形 证明思路：基本图形中连接AN、BM，利用面积相等同底等高可得AB//MN,变式图形中，利用三角形全等可证AC=BD. 【模型8】矩形中的平行线段模型 如上图,反比例函数的图象与矩形OABC边分别交于P、Q两点，则有以下两个结论： （1）PQ∥AC； （2）AP:PB=CQ: QB 【模型9】双曲线组合平行模型 如上图：有任意两个反比例函数图象,过原点任意作两条指向第一象限的射线,与前两图象分别交于A、C以及B、D点，则AB//CD. 题型目录 【题型1】矩形面积模型.....................................................4; 【题型2】三角形面积模型...................................................5； 【题型3】直角三角形与平行四边形面积模型...................................6； 【题型4】三角形面积等于梯形面积模型.......................................7； 【题型5】双曲线对称模型...................................................8； 【题型6】双曲线组合面积模型...............................................9； 【题型7】垂直形成平行线段模型............................................10； 【题型8】矩形中的平行线段模型............................................11； 【模型9】双曲线结合平行模型..............................................12; 【模型10】直通中考.......................................................13; 【模型11】拓展延伸.......................................................13. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】矩形面积模型 【例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，以线段为斜边在第一象限内作等腰直角三角形．若反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ．    【变式1】（22-23九年级上·江苏南京·开学考试）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点作轴于点，点C、D在x轴上，且，若四边形的面积为3，则k的值为（　　） A． B． C． D．不能确定 【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，平行四边形的顶点A、在轴的正半轴上，顶点在第一象限内，顶点在轴的正半轴上，对角线和相交于点且，函数的图象经过点．若平行四边形的面积为8，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图， 在矩形和正方形中， 点在轴正半轴上，点、均在轴正半轴上，点在边上，，， 若反比例函数 的图像过，两点， 则的值为（     ） A．9 B．12 C．18 D．24 【题型2】三角形面积模型 【例2】（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为1，则k的值为 ． 【变式1】（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，已知点A为反比例函数图像上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，C为y轴上一点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式2】（2024·广西南宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、交于点E，若，四边形的面积为3，则k的值为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【变式3】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型3】直角三角形与平行四边形面积模型 【例3】（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，直线经过原点，与反比例函数交于两点，轴，轴，若的面积为2，则的值为 ． 【变式1】（21-22九年级上·北京·开学考试）如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    【题型4】三角形面积等于梯形面积模型 【例4】（2024·江苏泰州·三模）如图，点A，B，在反比例函数的图象上，连接，，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，图中两块阴影部分面积分别为、；若，则 ． 【变式1】（22-23八年级下·江苏·期末）如图，直线，分别与双曲线在第一象限内交于点A，B，若，则（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且，两点的横坐标分别是2和4，则的面积是（    ）    A．3 B．2 C． D．4 【变式3】（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（    ） A．2 B． C． D．1 【题型5】双曲线对称模型 【例5】（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，点是反比例函数的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是 ． 【变式1】（2024·陕西·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【变式2】（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，直线经过原点，点在轴上，交轴于点，，若反比例函数经过，两点，则的值为 ． 【题型6】双曲线组合面积模型 【例6】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，函数，的图像与平行于x轴的直线分别相交于A，B两点，且点A在点B的右侧，点C在x轴上，的面积为2，则 ． 【变式2】（2024九年级下·辽宁·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知函数 点 M 在y 轴的正半轴上，点N在x轴上，过点 M作y 轴的垂线分别交函数，的图象于A，B两点，连接，，则的面积为 ． 【题型7】垂直形成平行线段模型 【例7】（2024·新疆·一模）已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线相交于点C，D，且点D的坐标为．如图，当点A落在x轴负半轴时，过点C作x轴的垂线垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接．当时，则点C的坐标为 ． 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点，在函数(，)图象上，轴，轴，连接，．    （1）若，的面积为9，则的值为 ． （2）在（1）的条件下，若四边形的面积为14，则经过点的反比例函数解析式为 ． 【变式2】（22-23九年级下·山东威海·阶段练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点E，F．若，则k的值为 ． 【题型8】矩形形成平行线段模型 【例8】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交于点D、E，连接并延长交x轴于点F，连接．下列结论：①；②；③若，则；④若点E为的中点，且，则；其中正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）    【变式1】（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，双曲线图象上有A，B两点，过A点作轴于点C，过B点作轴于点D，交于点E，若的面积为2，的面积为3，则k的值为 ． 【变式2】（21-22九年级上·山东济南·期中）如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图像与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、．下列结论： ①； ②； ③四边形与面积相等； ④若，，则点的坐标为． 其中正确结论的有 ．    【题型9】三角形形成平行线段模型 【例9】（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在函数的图象上，顶点B在x轴正半轴上，边，分别交的数，的图象于点M，N．连接，若轴，则的面积为 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型9】直通中考 【例10】（2023·浙江宁波·中考真题）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为 ，a的值为 ．    【题型11】拓展延伸 【例1】（2023·浙江宁波·二模）如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，反比例函数过的中点，交于点为上的一点，，过点的双曲线交于点，交于点，连结，则的值为 ，的面积为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题26.4 反比例函数几何模型（9大模型11类题型）（模型梳理与题型分类讲解） 第一部分【模型梳理与题型目录】 反比例函数存在面积不变形的特征,所以可以和很多基础图形组成相关模型,而这些模型恰好是反比例函数压轴题的解答关键,现总结如下: 【模型1】矩形面积模型 基本图形： 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 【模型2】三角形面积模型 基本图形： 变式1 变式2 变式3 变式4 变式5 【模型3】直角三角形与平行四边形面积模型 基本图形： 基本图形 变式1 变式2 变式3 【模型4】三角形面积等于梯形面积模型 基本图形： 基本图形 变式图形 【模型5】双曲线对称模型 双曲线为中心对称图形，坐标轴的交为其对称中心 【模型6】双曲线组合面积模型 若A、B两点分别在双曲线和上，而且AB//x轴，则 基本图形： 变式1 变式2 【模型7】垂直形成平行线段模型 基本图形： 基本图形： 变式图形 证明思路：基本图形中连接AN、BM，利用面积相等同底等高可得AB//MN,变式图形中，利用三角形全等可证AC=BD. 【模型8】矩形中的平行线段模型 如上图,反比例函数的图象与矩形OABC边分别交于P、Q两点，则有以下两个结论： （1）PQ∥AC； （2）AP:PB=CQ: QB 【模型9】双曲线组合平行模型 如上图：有任意两个反比例函数图象,过原点任意作两条指向第一象限的射线,与前两图象分别交于A、C以及B、D点，则AB//CD. 题型目录 【题型1】矩形面积模型.....................................................4; 【题型2】三角形面积模型...................................................8； 【题型3】直角三角形与平行四边形面积模型..................................12； 【题型4】三角形面积等于梯形面积模型......................................14； 【题型5】双曲线对称模型..................................................18； 【题型6】双曲线组合面积模型..............................................21； 【题型7】垂直形成平行线段模型............................................24； 【题型8】矩形中的平行线段模型............................................20； 【模型9】双曲线结合平行模型..............................................35; 【模型10】直通中考.......................................................37; 【模型11】拓展延伸.......................................................38. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】矩形面积模型 【例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，，以线段为斜边在第一象限内作等腰直角三角形．若反比例函数的图象经过点C，则k的值为 ．    【答案】4 【分析】过点C作轴于点E,作轴于点F，根据等腰直角三角形的性质可证出，从而得出，勾股定理可得出的长度，再根据三角形的面积结合反比例函数系数的几何意义，即可求出值． 解：如图，过点C作轴于点E,作轴于点F，   轴，轴， ∴四边形是矩形， 为等腰直角三角形， , 在和中 , ∵点，， , 为等腰直角三角形， , , 反比例函数（x＞0）的图象经过点C，． 【变式1】（22-23九年级上·江苏南京·开学考试）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点作轴于点，点C、D在x轴上，且，若四边形的面积为3，则k的值为（　　） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，设点的坐标为，根据平行四边形的判定和性质定理即可得到结论． 解：设点的坐标为， 轴，轴， ∴， ∵， 四边形为平行四边形， 平行四边形的面积， ． 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·吉林长春·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，平行四边形的顶点A、在轴的正半轴上，顶点在第一象限内，顶点在轴的正半轴上，对角线和相交于点且，函数的图象经过点．若平行四边形的面积为8，则的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数综合．熟练掌握平行四边形性质，矩形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，是解决本题的关键． 过E作轴于点F，根据平行四边形性质得到，根据，得到，结合，推出四边形和都是矩形，得到，根据，即得． 解：过点E作轴于点F， ∵平行四边形中，，且， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形和都是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【变式3】（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）如图， 在矩形和正方形中， 点在轴正半轴上，点、均在轴正半轴上，点在边上，，， 若反比例函数 的图像过，两点， 则的值为（     ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的性质、反比例函数的应用等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．设，结合题意确定点的坐标，进而确定的值，即可获得答案． 解：根据题题意，四边形为矩形，四边形为正方形，且，， ∴，，，， 设， 则，， ∴，， ∵反比例函数 的图像过，两点， ∴， 解得， ∴． 故选：C． 【题型2】三角形面积模型 【例2】（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，点A在反比例函数的图象上，点C在x轴的正半轴上，交y轴于点B，若点B是的中点，的面积为1，则k的值为 ． 【答案】 【分析】过点作轴于，则，即可求得，得出的面积的面积，再根据反比例函数的的几何意义得结果．本题主要考查了反比例函数的的几何意义的应用，全等三角形的判定和性质，关键是求得的面积． 解：过点作轴于， ， ∵点B是的中点， ∴ 在和中， ， ， ， ， ， 根据反比例函数的几何意义得， ， ， ． 故答案为：． 【变式1】（23-24八年级下·四川内江·期中）如图，已知点A为反比例函数图像上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，C为y轴上一点，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，连接，由已知条件可得，进而可得出，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得出，即可得出答案． 解：连接，如图： ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴，故选：A． 【变式2】（2024·广西南宁·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数的图象上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、交于点E，若，四边形的面积为3，则k的值为（　　） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，先根据反比例函数几何意义求出，再根据得到，最后根据求得，从而得到k的值． 解：∵点在反比例函数图象上，轴，轴， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式3】（23-24九年级上·四川广安·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，在反比例图像上任意一点，从这一点分别向、轴作垂线，所围成的四边形的面积等于．根据比例函数的几何意义可得，根据可得，根据的面积为10列方程即可得答案．正确得出是解题关键． 解：如图，连接， ∵反比例函数图像在第一象限， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴，即， 解得：． 故选：C． 【题型3】直角三角形与平行四边形面积模型 【例3】（23-24九年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，直线经过原点，与反比例函数交于两点，轴，轴，若的面积为2，则的值为 ． 【答案】1 【分析】此题考查了直线与反比例函数交点问题，相似三角形的性质和判定，利用k的几何意义是解题的关键． 设与x轴交于点M，证明出，然后得到，然后求出，然后利用k的几何意义求解即可． 解：设与x轴交于点M ∵直线经过原点，与反比例函数交于两点，轴，轴， ∴， ∴ ∵的面积为2 ∴ ∴ ∵反比例函数图象在一，三象限 ∴． 故答案为：1． 【变式1】（21-22九年级上·北京·开学考试）如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义和三角形的面积公式 根据函数的解析式得到各线段的长度，将四边形分为四个小三角形即可求出面积 解：根据反比例函数的对称性可知，， ∴的面积都等于， ∴四边形的面积为， 故选：D. 【变式2】（2024·山西晋城·三模）如图，在平面直角坐标系中，的边BC与y轴交于点D，且D是BC边的中点，反比例函数与的图象分别经过B，C两点，则的面积为 ．    【答案】 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质、平行四边形的性质．证明，推出，由反比例函数的性质求得，，再求得，据此求解即可． 解：过点B和C分别作轴的垂线，垂足分别为E和F，连接，    ∴，，， ∵D是边的中点，即， ∴， ∴， ∵点B在反比例函数的图象， ∴， 同理， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 【题型4】三角形面积等于梯形面积模型 【例4】（2024·江苏泰州·三模）如图，点A，B，在反比例函数的图象上，连接，，分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N，图中两块阴影部分面积分别为、；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，熟知在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积为是解答此题的关键．利用的几何意义求出、的面积，然后求出的面积，利用相似三角形的性质得到即可求解． 解：设交于点C， ∵分别过点A，B作x轴的垂线，垂足分别为M，N， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【变式1】（22-23八年级下·江苏·期末）如图，直线，分别与双曲线在第一象限内交于点A，B，若，则（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】过A作轴于E，过B作轴于F，求出，根据，交于两点，求出A的坐标是，同理求出B的坐标是，根据梯形的面积公式，求解即可． 解：过A作轴于E，过B作轴于F，    ∵直线，分别与双曲线在第一象限内交于点A，B， 令，， 则A的坐标是， 同理B的坐标是， ∵， ∴， 即， 解得：，故选：C． 【变式2】（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且，两点的横坐标分别是2和4，则的面积是（    ）    A．3 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】如图所示，分别过点A、B作轴，轴，垂足分别为C，D，根据反比例函数比例系数的几何意义得到，进而证明，求出A、B的坐标，得到，再根据梯形面积公式进行求解即可． 解：如图所示，分别过点A、B作轴，轴，垂足分别为C，D， ∵，是反比例函数在第一象限内的图象上的两点， ∴， ∵， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴，故选A．    【点拨】本题主要考查了反比例函数与几何综合，证明是解题的关键． 【变式3】（2024·内蒙古赤峰·二模）如图，反比例函数经过A、B两点，分别过A、B作x轴的垂线、，垂足分别为C、D，连接，连接交于点E，若的面积为3，则四边形的面积是（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，由的几何意义得，即，即可求解；理解的几何意义“过反比例函数上任意一点作轴（轴）的垂线，则此点、垂足、坐标原点所构成的三角形面积为．”是解题的关键． 解：由题意得 ， ， ， ； 故选：C． 【题型5】双曲线对称模型 【例5】（22-23七年级下·陕西西安·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点，且正方形的一组对边与轴平行，点是反比例函数的图象与正方形的一个交点，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象和正方形的中心对称性、反比例函数比例系数的几何意义和正方形的面积，由反比例函数比例系数的几何意义求出点，再利用反比例函数图象的中心对称性求出阴影部分的面积，解题的关键是通过比例系数的几何意义求出点的坐标从而求出点的坐标． 解：如图， ∵点在反比例函数图象上， ∴， 解得：，或（舍去）， ∴， ∵正方形的中心为原点， ∴， ∴， ∵反比例函数图象具有中心对称性， ∴， 故答案为：． 【变式1】（2024·陕西·模拟预测）已知P、Q两点分别在反比例函数和的图象上，若点与点关于y轴对称，则m的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，列出方程是解题的关键． 设，根据点与点关于y轴对称，求出，分别代入各自所在函数解析式，通过方程即可求解． 解：设， 点与点关于y轴对称， 点， P、Q两点分别在反比例函数和的图象上， 解得：， 故答案为∶1． 【变式2】（21-22九年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，，直线经过原点，点在轴上，交轴于点，，若反比例函数经过，两点，则的值为 ． 【答案】 【分析】过点作轴于点，可得，根据对应边成比例可知，进而可得A的坐标，代入即可得k 解： 解：过点作轴于点， ，， ， ， 、关于原点对称， ， 为直角三角形， ， ， ， ， 把A的坐标代入可得． 故答案为：． 【点拨】本题考查反比例函数图象上点的坐标的特征，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，由两角对应相等得到三角形相似是解题关键． 【题型6】双曲线组合面积模型 【例6】（2024·江苏苏州·中考真题）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．过A作轴于C，过B作轴于D，证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 解：过A作轴于C，过B作轴于D， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（负值舍去）， 故选：A． 【变式1】（22-23九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，函数，的图像与平行于x轴的直线分别相交于A，B两点，且点A在点B的右侧，点C在x轴上，的面积为2，则 ． 【答案】4 【分析】连接、，设直线与y轴的交点为D，根据反比例函数图像上的点的性质可得 ，，则可得，再根据与同底等高，面积相等，即可求出的值． 本题主要考查了反比例函数图像的性质：从反比例函数图像上任意一点向坐标轴作垂线，与坐标原点所构成的直角三角形的面积等于．熟练掌握以上知识是解题的关键． 解：连接、，设直线与y轴的交点为D， ∵A，B两点分别 在函数，的图像上， ∴， ， ． 轴， ， ， ． 故答案为：4． 【变式2】（2024九年级下·辽宁·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，已知函数 点 M 在y 轴的正半轴上，点N在x轴上，过点 M作y 轴的垂线分别交函数，的图象于A，B两点，连接，，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点G和点H，易得四边形为矩形，则，进而得出，最后根据，即可解答． 解：过点A和点B作x轴的垂线，垂足分别为点G和点H， ∵轴， ∴轴， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∵ ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【题型7】垂直形成平行线段模型 【例7】（2024·新疆·一模）已知在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，与双曲线相交于点C，D，且点D的坐标为．如图，当点A落在x轴负半轴时，过点C作x轴的垂线垂足为E，过点D作y轴的垂线，垂足为F，连接．当时，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】先证明的面积和的面积相等； 证明四边形与四边形都是平行四边形，故可得出，，再由全等三角形的判定定理得出，故，设，，， 可得，再证明，可算出，，进一步可得答案． 解：如图，连接，，， ∵于相交于点C，D，且点D的坐标为． ∴，即反比例为， 设，则， ∵， 而， ∴； ∵两三角形同底， ∴两三角形的高相同， ∴， ∵，， ∴四边形与四边形都是平行四边形， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 设，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴直线的解析式为， 联立反比例函数解析式和一次函数解析式可得  ， 解得：， ， ∴． 故答案为： 【点拨】本题考查了反比例函数的综合运用，涉及待定系数法求函数解析式，同底等高的三角形的面积、相似三角形的性质，题目综合性较强． 【变式1】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，点，分别在函数图象的两支上（在第一象限），连接交轴于点．点，在函数(，)图象上，轴，轴，连接，．    （1）若，的面积为9，则的值为 ． （2）在（1）的条件下，若四边形的面积为14，则经过点的反比例函数解析式为 ． 【答案】 12 【分析】（1）设，可求，可求，从而可求，，由，即可求解； （2）可求，由，即可求解． 解：（1）解：设， 轴， ， 解得：， ， ， ， ， ， 解得：， ， 解得：， ， 轴， ， ， 的面积为9， ， ， 解得：； 故答案：． （2）解：四边形的面积为14， ， 由（1）得： ， ， ， 解得：， ； 故答案：． 【点拨】本题考查了反比例函数的图象与性质，设辅助未知数列出方程是解题的关键． 【变式2】（22-23九年级下·山东威海·阶段练习）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点E，F．若，则k的值为 ． 【答案】/ 【分析】作轴，轴，垂足分别为，，与交于点，首先求出的坐标，再证明为等腰直角三角形，进而得出，再证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，得出，然后设点的坐标为，则点的坐标为，再根据，得出，解出即可得出点的坐标，再把点的坐标代入，计算即可得出答案． 解：如图，作轴，轴，垂足分别为，，与交于点， ∵直线与x轴，y轴分别交于点A，B， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，，   ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 又∵点、在直线上， ∴设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点、在反比例函数上， 又∵， ∴， 解得：， ∵，， ∴点的坐标为， ∴， ∴k的值为．故答案为： 【点拨】本题考查了坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数与反比例函数的交点问题、解一元一次方程，解本题的关键在充分利用数形结合思想解答，并正确作出辅助线． 【题型8】矩形形成平行线段模型 【例8】（23-24八年级下·四川宜宾·期末）如图，矩形顶点A、C分别在x、y轴上，双曲线分别交于点D、E，连接并延长交x轴于点F，连接．下列结论：①；②；③若，则；④若点E为的中点，且，则；其中正确的有 ．（填写所有正确结论的序号）    【答案】①②④ 【分析】设，则，，，，待定系数法可得直线的解析式为；直线的解析式为；可得，可判断①的正误；如图，连接，则，证明四边形是平行四边形，则，可判断②的正误；当时，，即，则，，，，，可得，可判断③的正误；当点E为的中点时，证明，则，，，同理③，，则，，可判断④的正误． 解：设，则，， ∵点D、E在双曲线上， ∴，， 待定系数法可得直线的解析式为； 同理可得，直线的解析式为； ∴，①正确，故符合要求； 如图，连接，    ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，②正确，故符合要求； 当时，，即， ∴，，， ∴，， ∴，③错误，故不符合要求； 当点E为的中点时， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 同理③，， ∴， ∴，④正确，故符合要求；故答案为：①②④． 【点拨】本题考查了反比例函数与几何综合，一次函数解析式，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义等知识．熟练掌握反比例函数与几何综合，一次函数解析式，平行四边形的判定与性质，全等三角形判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【变式1】（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，双曲线图象上有A，B两点，过A点作轴于点C，过B点作轴于点D，交于点E，若的面积为2，的面积为3，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，矩形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．设，可得点，从而得到，再由四边形是矩形，，，从而得到，然后根据反比例函数比系数的几何意义，可得，再由，列出方程，即可求解． 解：设，由函数图象得：， 轴，轴，交于点E， 点， ， ， 四边形是矩形， 的面积为3， ，， ， 双曲线图象上有A，B两点， ， 的面积为2，的面积为3，， ，整理得：， ， ， ，故答案为：． 【变式2】（21-22九年级上·山东济南·期中）如图，在直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点、分别在轴、轴上，反比例函数的图像与正方形的两边、分别交于点、，轴，垂足为，连接、、．下列结论： ①； ②； ③四边形与面积相等； ④若，，则点的坐标为． 其中正确结论的有 ．    【答案】①③④ 【分析】设正方形的边长为，表示出，，，，的坐标，利用得到三角形与三角形全等，结论①正确；利用勾股定理表示出与，即可对于结论②做出判断；利用反比例函数的性质得到三角形与三角形全等，根据三角形面积三角形面积四边形面积三角形面积，等量代换得到四边形与面积相等，结论③正确；过作垂直于，如图所示，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形对应边相等得到，求出的值，确定出坐标，即可对于结论④做出判断． 解：设正方形的边长为， 得到，，，，，， 在和中， ， ，结论①正确； 根据勾股定理，，， 和不一定相等，结论②错误； ， ，结论③正确； 过点作于点，如图所示，   ， ，， ，， ，， ， ， ，即， 由得，， 整理得：， 解得：（舍去负值）， 点的坐标为，结论④正确， 则结论正确的为①③④， 故答案为：①③④ 【点拨】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及反比例函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 【题型9】三角形形成平行线段模型 【例9】（22-23九年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在函数的图象上，顶点B在x轴正半轴上，边，分别交的数，的图象于点M，N．连接，若轴，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】设M点的坐标为，N点的坐标为，表示出，根据相似，求出，，进而求出的面积． 解：∵轴， ∴，点M，N的纵坐标相同， 设M点的坐标为，N点的坐标为， ∴， 如图，过点M作轴，点A作轴， ∴， 根据反比例函数与三角形的面积关系可得：，， ∴， ∵相似三角形中面积比等于相似比的平方， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∵M点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 故答案为：6． 【点拨】本题考查反比例函数与三角形面积的关系，解题的关键是根据题意作出相应的辅助线，并通过设坐标法进行求解． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 【题型9】直通中考 【例10】（2023·浙江宁波·中考真题）如图，点A，B分别在函数图象的两支上（A在第一象限），连接AB交x轴于点C．点D，E在函数图象上，轴，轴，连接．若，的面积为9，四边形的面积为14，则的值为 ，a的值为 ．    【答案】 12 9 【分析】如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴，可得，的面积是5，设，，则，，，利用面积可得，，由，，可得，可得③，再利用方程思想解题即可． 解：如图，延长，交于点，与轴交于点，而轴，轴， ∴， ∵的面积为9，四边形的面积为14， ∴的面积是5，    设，， ∴，， ∴，，，， ∴，， 整理得：，， ∵，， ∴， ∴， ∴，则③， 把③代入②得：， ∴，即④， 把③代入①得：⑤， 把④代入⑤得：； 故答案为：12；9 【点拨】本题考查的是反比例函数的几何应用，平行线分线段成比例的应用，坐标与图形面积，熟练的利用方程思想解题是关键． 【题型11】拓展延伸 【例1】（2023·浙江宁波·二模）如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，反比例函数过的中点，交于点为上的一点，，过点的双曲线交于点，交于点，连结，则的值为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】设，则，，将代入，可得，将代入，可得，计算求解即可；如图，过作轴于，过作轴于，交于，则四边形是矩形，由题意知，，，，证明，，则有，，将各量代入求解用表示的，，，的值，然后根据，，求出，的值，根据，计算求解即可． 解：设，则，， 将代入得，得， 将代入得，解得， ∴值为， 如图，过作轴于，过作轴于，交于，则四边形是矩形， 由题意知，，，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，， ∴，， ∴ ∴的面积为； 故答案为：， ． 【点拨】本题考查了反比例函数解析式，反比例与几何综合，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$