第2章 一元二次函数、方程和不等式 章末综合提升-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（湘教版2019）

第2章 一元二次函数、方程和不等式 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 章末综合提升 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 思维导图 体系构建 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 核心素养 能力培优 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 单元综合评价(二) 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 谢谢观看！ 第2章　一元二次函数、方程和不等式 思 维 导 图 核 心 素 养 单 元 综 合 评 价 数 学 必修 第一册 素养一　逻辑推理 逻辑推理主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，逻辑推理在本章中主要体现在：(1)利用不等式的性质推得结论；(2)利用基本不等式推出有关结论． 题型一　不等式的性质及应用 (1)如果a<b<0，那么下列各式一定成立的是(　　) A．a－b>0 B．ac2<bc2 C．a2>b2 D．eq \f(1,a)<eq \f(1,b) (2)若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是(　　) A．eq \f(1,a)<b B．a2>b2 C．eq \f(a,c2＋1)>eq \f(b,c2＋1) D．a|c|>b|c| 解析：　(1)因为a<b<0，所以a－b<0，a＋b<0，eq \f(1,a)>eq \f(1,b)，所以(a－b)(a＋b)＝a2－b2>0，即a2>b2，故C项正确，A，D两项不正确．当c＝0时，ac2＝bc2，故B项不一定正确．故选C． (2)取a＝1，b＝－1，排除选项A；取a＝0，b＝－1，排除选项B；取c＝0，排除选项D；显然，eq \f(1,c2＋1)>0，对不等式a>b的两边同时乘eq \f(1,c2＋1)成立．故选C． 答案：　(1)C　(2)C 题型二　不等式的证明 已知a，b都是正数，且a＋b＝1，求证： eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9． 证明：　∵a>0，b>0，且a＋b＝1， ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(a＋b,b))) ＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(b,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(a,b)))＝5＋2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b))) ≥5＋4eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝9． 当且仅当eq \f(b,a)＝eq \f(a,b)，即a＝b＝eq \f(1,2)时取“＝”． ∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,a))) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,b)))≥9． 素养二　数学运算 数学运算是解决数学问题的基本手段．数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础．本章中数学运算主要体现在解不等式、求最值等． 题型三　解不等式 解下列关于x的不等式． (1)x(3－x)≤x(x＋2)－1； (2)x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))x＋1≤0(a>0)． 解析：　(1)原不等式可化为2x2－x－1≥0， 所以(2x＋1)(x－1)≥0， 故原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(1,2)或x≥1))))． (2)x2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))x＋1≤0⇔eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))(x－a)≤0． ①当0<a<1时，a<eq \f(1,a)，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤x≤\f(1,a)))))； ②当a＝1时，a＝eq \f(1,a)＝1，不等式的解集为{1}； ③当a>1时，a>eq \f(1,a)，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)≤x≤a))))． 综上，当0<a<1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(a≤x≤\f(1,a)))))； 当a＝1时，不等式的解集为{1}； 当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)≤x≤a))))． 题型四　利用基本不等式求最值 (1)若x∈{x|x>1}，则y＝3x＋eq \f(1,x－1)的最小值是________________． (2)已知x>0，y>0，且x＋3y＝1，则eq \f(x＋y,xy)的最小值是________________． 因此y＝3x＋eq \f(1,x－1)＝3(x－1)＋eq \f(1,x－1)＋3 ≥2eq \r(3（x－1）·\f(1,x－1))＋3＝3＋2eq \r(3)，当且仅当3(x－1)＝eq \f(1,x－1)，即x＝eq \f(\r(3),3)＋1时取等号，因此y＝3x＋eq \f(1,x－1)的最小值是3＋2eq \r(3)． (2)x>0，y>0，且x＋3y＝1，eq \f(x＋y,xy)＝eq \f(（x＋y）（x＋3y）,xy)＝eq \f(x2＋3y2＋4xy,xy)＝eq \f(x2＋3y2,xy)＋4≥eq \f(2\r(x2·3y2),xy)＋4＝2eq \r(3)＋4．当且仅当x＝eq \r(3)y，x＋3y＝1，即y＝eq \f(1,3＋\r(3))＝eq \f(3－\r(3),6)，x＝eq \f(\r(3),3＋\r(3))＝eq \f(\r(3)－1,2)时取等号．故eq \f(x＋y,xy)的最小值是2eq \r(3)＋4． 答案：　(1)3＋2eq \r(3)　(2)2eq \r(3)＋4 素养三　数学建模 数学模型搭建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．本章中数学建模主要体现在利用基本不等式及一元二次不等式解决实际问题． 题型五　构建一元二次不等式模型解决实际问题 某厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得的利润是50(5x－eq \f(3,x)＋1)元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于1 500元，则x的取值范围为________________． 解析：　根据题意，有2×50eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x－\f(3,x)＋1))≥1 500， 即5x2－14x－3≥0， 解得x≥3或x≤－eq \f(1,5)， 又1≤x≤10， 所以3≤x≤10． 答案：　{x|3≤x≤10} 题型六　构建基本不等式模型解决实际问题 (2020·广东广州荔枝湾高二期末)为满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1，该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD的面积为1 000 m2，绿化带的宽分别为2 m和5 m(如图所示)．当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时，核心喷泉区的边BC的长度为(　　) A．20 m B．50 m C．10eq \r(10) m D．100 m B　[设BC＝x m，则CD＝eq \f(1 000,x) m， 所以S矩形A1B1C1D1＝(x＋10)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1 000,x)＋4)) ＝1 040＋4x＋eq \f(10 000,x)≥1 040＋2eq \r(4x·\f(10 000,x))＝1 440， 当且仅当4x＝eq \f(10 000,x)，即x＝50时，等号成立， 所以当BC＝50 m时，整个项目占地面积最小．故选B．] $$