第二章：一元二次函数、方程和不等式知识归纳与题型突破（13类题型清单）-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（湘教版2019必修第一册）

第二章：一元二次函数、方程和不等式 知识点1 等式与不等式 1、不等式关系与不等式 （1）不等式的概念：用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）常见文字语言与符号语言的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 3、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 4、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点2 基本不等式 1、基本不等式 （1）定理：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）推论：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 上述定理与推论中的不等式通常称为基本不等式． 2、最值定理 （1）最值定理：已知都是正数， ①若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． ②若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． （2）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 3、基本不等式的变式与拓展 （1）基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 （2）基本不等式的拓展 ①三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． ②元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 知识点3 一元二次不等式 1、三个“二次”的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 3、含参一元二次不等式的讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 4、一元高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“击过偶不过”； （5）写解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 题型一 用不等式（组）表示不等式关系 【例1】某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（    ） A．且 B．或 C．且 D．或 【答案】A 【解析】由速度v的最大值为120km/h，故， 由车间距d不得小于10m，故， 即有且.故选：A. 【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意汽车所用时间加上摩托车所用时间小于1小时，即，故选：D． 【变式1-2】（23-24高一上·山东曲阜·月考）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【答案】B 【解析】对于A，某人收入x不高于2000元可表示为，A错误； 对于B，变量y不超过a可表示为，B正确； 对于C，变量x至少为a可表示为，C错误； 对于D，小明身高，小华身高，小明比小华矮表示为，D错误.故选：B. 【变式1-3】（23-24高三上·湖南衡阳·月考）（多选）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为每个矩形模板需要5张A薄板，每个菱形模板需要3张A薄板， 每个圆模板需要10张A薄板，且共有55张A薄板， 所以， 因为每个矩形模板需要12张B薄板，每个菱形模板需要6张B薄板， 每个圆模板需要13张B薄板，且共有125张B薄板， 所以.故选：BC. 题型二 实数的大小比较 【例2】（23-24高一上·河南南阳·月考）已知，比较P、Q大小，P Q. 【答案】 【解析】由，所以. 【变式2-1】（23-24高一上·广西梧州·月考）已知x，y满足，则m，n满足的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 当且仅当时取得等号，所以.故选：D 【变式2-2】（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】C 【解析】已知.则， 所以， ，因此，.故选:C. 【变式2-3】（23-24高一上·陕西榆林·月考）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， . （2）， ，， 则，. 题型三 利用不等式性质判断命题 【例3】（23-24高一上·重庆·月考）已知，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则， 对于A，取，则，故A错误； 对于B，，则，故B正确； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，当时，，故D错误.故选：B. 【变式3-1】（23-24高一上·贵州黔南·月考）（多选）若，，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，因为，所以， 即，故A正确； 对于B，因为，所以，即，故B错误； 对于C，因为，，所以，，故C正确； 对于D，因为，所以，即，故D错误.故选：AC. 【变式3-2】（23-24高一下·海南·月考）（多选）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由 对于A中，由，所以，所以A正确； 对于B中，当时，可得，所以B不正确； 对于C中，由， 因为的符号不确定，无法比较大小，所以C不正确； 对于D中，由A知，且， 根据不等式的性质，可得，所以D正确.故选：AD. 【变式3-3】（23-24高一上·云南昆明·月考）（多选）下列命题叙述正确的是（    ） A．，且，当时， B．，且，当时， C．，且，当时， D．，且，当时， 【答案】AD 【解析】对于A，∵，且，，∴， ∴，即，故A正确； 对于B，∵，且，，∴， ∴，即，故B错误； 对于C，∵，且，，取， ∴，此时，故C错误； 对于D，当时，取，，满足，故D正确.故选：AD. 题型四 利用不等式性质求取值范围 【例4】（23-24高一上·湖北咸宁·期末）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，则，又，所以.故选：C 【变式4-1】（23-24高一上·河北·月考）（多选）已知，则以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】对于A：,故A错误. 对于B：,故B正确. 对于C：,故C错误. 对于D;,故D正确.故选：BD. 【变式4-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）实数，满足，．则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设，所以，解得， 即， 因为，所以， 又，所以， 所以，即的取值范围是. 【变式4-3】（23-24高一上·河南·月考）已知，满足，试求的取值范围. 【答案】. 【解析】设， 比较，的系数，得，解得， ， 又，， ， 故的取值范围是. 题型五 利用基本不等式求最值 【例5】（23-24高一上·湖南邵阳·月考）若，且，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立， 【变式5-1】（23-24高一下·安徽芜湖·月考）若，则的最小值是 . 【答案】/ 【解析】因为，则， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 【变式5-2】（23-24高一上·湖南永州·月考）（多选）若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 【答案】AD 【解析】对于A，由m，，得，又， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 所以mn最大值为，选项A正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项B错误； 对于C，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，又m，， 所以，选项C错误； 对于D，由m，，，得， 则，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，选项D正确．故选：AD． 【变式5-3】（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 【答案】(1)，此时 (2)的最大值是，此时 (3)的最小值是3，此时 【解析】（1）由基本不等式有， 所以，等号成立当且仅当满足题意； （2）由基本不等式推论有，等号成立当且仅当， 所以的最大值是； （3）一方面，另一方面，所以， 从而，等号成立当且仅当， 所以的最小值是3. 题型六 基本不等式恒成立问题 【例6】（23-24高一上·天津河东·月考）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】. 【解析】，所以， ，当且仅当即时等号成立， 又不等式对任意恒成立， 所以，即. 【变式6-1】（24-25高一上·山东济宁·月考）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解析】由于，则得到 （当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8.故选：D． 【变式6-2】（23-24高一上·四川眉山·月考）设正实数，满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C．8 D．16 【答案】D 【解析】变形为， 令， 则转化为 ，即， 其中， 当且仅当，即时取等号，可知.故选：D 【变式6-3】（23-24高一上·河南·月考）（多选）若不等式对任意正实数恒成立，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】由题意易知，， 令，分式上下同除以，得恒成立， 则， 令，则，， 所以，得， 当且仅当，即，时，等号成立，故选：CD 题型七 利用基本不等式证明不等式 【例7】（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）（1）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立； （2）若，，证明：． 【答案】证明见解析 ． 【解析】（1）因为， 所以由基本不等式，得，，， 当且仅当，，时成立， 把上述三个式子的两边分别相加，得， 即，当且仅当时等号成立． （2）证明：，，又，， ，则有：， 又，． 【变式7-1】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）已知，为正数，证明下列不等式成立： (1) (2)（其中） 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）因为，为正数， 所以，当且仅当时取等号，所以. （2）因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号，所以. 【变式7-2】（23-24高一上·安徽淮南·月考）（1）已知，且，求证，． （2）若，求证：； 【答案】证明过程见解析 【解析】（1）证明：， 因为，且，所以，， 所以， 故； （2）证明：因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 【变式7-3】（23-24高一上·河南新乡·月考）选用恰当的证明方法，证明下列不等式. (1)已知均为正数，且，求证：； (2)已知，求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1）证明：因为，所以， 又因为，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以． （2）证明： ， 因为，所以，所以， 所以，即． 题型八 基本不等式的实际应用 【例8】（23-24高一上·湖南益阳·月考）由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 【答案】B 【解析】任取其中两次加油，假设第一次的油价为元/升，第二次的油价为元/升． 第一种方案的均价：，当且仅当时取等号； 第二种方案的均价：,因，则， 故，当且仅当时取等号. 所以无论油价如何变化，第二种都更划算．故选:B． 【变式8-1】（24-25高一上·山东济宁·月考）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 ． 【答案】12 【解析】依题意， 所以 当且仅当，时等号成立． 【变式8-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）南海九江中学为了宣传校园文化，由同学设计一幅九中文化矩形宣传画，要求画面面积为，画面的上、下各留空白，左、右各留空白.如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？    【答案】画面高80cm，宽50cm 【解析】设画面高为，宽为，由题意可得，，，， 则所需纸张面积 ， 当且仅当且，即，时取等号， 所以画面高80cm，宽50cm时，所需纸张面积最小为5760cm. 【变式8-3】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为100平方米.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米2100元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米105元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米40元. (1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； (2)求矩形ABCD周长的最小值及相应的x值. 【答案】(1) (2)当米时，矩形ABCD周长的最小值为. 【解析】（1）由题意可得，且，则. . （2）设AD长为x米，则，， 所以矩形ABCD周长为 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当米时，矩形ABCD周长的最小值为. 题型九 解一元二次不等式 【例9】（23-24高一上·新疆喀什·月考）求下列不等式的解集： (1) (2)； (3)； 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）解可得，， 所以不等式的解集为. （2）解可得，或， 所以不等式的解集为. （3）将不等式转化为. 解可得，或， 所以不等式的解集为， 所以不等式的解集为. 【变式9-1】（23-24高一上·山西朔州·月考）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，则，原不等式等价于不等式的解集， 又由，则方程的两根分别为， 当时，，故原不等式的解集为.故选：B 【变式9-2】（23-24高一上·陕西汉中·期中）若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以的解集为.故选：D. 【变式9-3】（23-24高一上·云南曲靖·月考）解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1)；(2)答案见解析 【解析】（1）因为，即， 注意到，所以不等式的解集为. （2）因为，即， 令，解得或， 若，即，所以不等式的解集为； 若，即，所以不等式的解集为； 若，即，所以不等式的解集为； 综上所述：若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为； 若，不等式的解集为. 题型十 解分式不等式及高次不等式 【例10】（23-24高一上·湖南张家界·月考）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】因为，解得或， 所以不等式的解集为或.故选：B 【变式10-1】（23-24高一上·江苏苏州·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，即即， ∴，得， ∴不等式的解集为.故选：A. 【变式10-2】（23-24高一上·山东·期中）关于的不等式的解集为 . 【答案】或 【解析】由，即，即， 若，则，解之得， 若，则，解之得， 故答案为：或． 【变式10-3】（23-24高一上·云南曲靖州·月考）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】因为， 所以，即， 由高次不等式的性质可知： 不等式解集为： 题型十一 根据一元二次不等式的解集求参数 【例11】（23-24高一上·江西新余·期中）不等式的解集是，则的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题设是的两个根，则， 所以，即， 故不等式解集为.故选：B 【变式11-1】（23-24高一上·山西朔州·月考）（多选）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由于不等式的解集为， 所以和是方程的两个实数根， 故且，解得，，故选：AC 【变式11-2】（23-24高一上·湖南邵阳·知识竞赛）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由恰有2个整数解，即恰有2个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2， 则，即，解得； ②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，， 则，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或.故选：B. 【变式11-3】（23-24高一上·重庆北碚·月考）（多选）已知关于的不等式 的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 【答案】AB 【解析】因为不等式 的解集为， 所以是的两个根，且 ，得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，由得，因为， 所以，解得， 可得不等式的解集为，故C错误； 对于D，由得， 因为，所以，解得，或， 所以不等式 的解集为 ，或，故D错误.故选：AB. 题型十二 一元二次不等式恒成立问题 【例12】（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【解析】结合题意知．即解得，所以实数k的取值范围是. 【变式12-1】（23-24高一上·山西太原·月考），．若此命题是假命题，则实数a的取值集合是 ． 【答案】 【解析】由题意得，为真命题， 当时，恒成立，满足要求， 当时，，解得， 综上，实数a的取值集合为. 【变式12-2】（23-24高一上·广东广州·月考）若时，关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，得， 因为，所以，则恒成立， 令， 则，因为， 所以，当且仅当即时取等号，所以. 【变式12-3】（23-24高一上·河南·月考）当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是 ． 【答案】 【解析】当时，，显然恒成立． 当时，二次函数的图像开口向上，对称轴为直线， 当时，恒成立，则，解得． 当时，二次函数的图像开口向下，对称轴为直线， 当时，恒成立，则，显然成立，所以， 故的取值集合是． 题型十三 一元二次不等式的实际应用 【例13】（23-24高一上·四川泸州·月考）（多选）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（    ） A．18 B．15 C．16 D．20 【答案】ABC 【解析】设这批台灯的售价为x（元）， 则为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入， 所以，化简得：， 解得：.故选：ABC. 【变式13-1】（23-24高一上·陕西西安·月考）有纯农药液一桶，倒出4升后用水加满，然后又倒出2升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积最大为 升. 【答案】/ 【解析】设桶的容积为x升，那么第一次倒出4升纯农药液后，桶内还有升纯农药液， 用水补满后，桶内纯农药液的浓度为，第二次又倒出2升药液， 则倒出的纯农药液为升，此时桶内有纯农药液升. 依题意，得， 由于，则原不等式化简为，解得， 又，所以，所以桶的容积最大为升. 【变式13-2】（23-24高一上·浙江湖州·月考）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式：，其中取.已知一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置停留 秒时间. 【答案】/0.4 【解析】由题意，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式， 因为，所以， 令，得，即，解得，， 所以停留的时间为. 【变式13-3】（23-24高一上·湖南益阳·月考）已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s（单位：m）与速度v单位：km/h）的平方及汽车总质量成正比设某辆卡车不装货物以59 km/h的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了20 m．如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面20 m处有障碍物，这时为了能在离障碍物5 m以外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1 s） 【答案】 【解析】设卡车从踩刹车到停住所滑行的距离为， 卡车速度为，卡车总质量为，比例系数为，则， 当时，， ① 当这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，设能在离障碍物以外处停车的速度为， 则满足，即 ② 由①②得③， 由，及③得，最大限制时速应是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章：一元二次函数、方程和不等式 知识点1 等式与不等式 1、不等式关系与不等式 （1）不等式的概念：用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式． （2）常见文字语言与符号语言的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 2、实数大小比较的依据 实数可以用数轴上的点表示，数轴上的每个点都表示一个实数，且右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大，所以实数可以比较大小，如下表所示： 文字语言 符号语言 如果，那么是正数； 如果，那么等于零； 如果，那么是负数． 反之亦然 ； ； 3、等式的性质 性质 文字表述 性质内容 注意 1 对称性 可逆 2 传递性 同向 3 可加、减性 可逆 4 可乘性 同向 5 可除性 同向 4、不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 同向 3 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 6 正数同向可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向 7 正数乘方性 a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2) 同正 知识点2 基本不等式 1、基本不等式 （1）定理：对于任意的实数，有，当且仅当时，等号成立． （2）推论：如果，，那么，当且仅当时，等号成立． 【说明】叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数． 上述定理与推论中的不等式通常称为基本不等式． 2、最值定理 （1）最值定理：已知都是正数， ①若x＋y＝s(和s为定值)，则当x=y时，积xy有最大值，且这个值为． ②若xy＝p(积p为定值)，则当x=y时，和x＋y有最小值，且这个值为2． 最值定理简记为：积定和最小，和定积最大． （2）在用基本不等式求函数的最值时，要满足三个条件：一正二定三取等． ①一正：各项均为正数； ②二定：含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③三相等：含变数的各项均相等，取得最值． 3、基本不等式的变式与拓展 （1）基本不等式链 或． 当且仅当时等号成立． 其中，为的调和平均值，为的平方平均值 （2）基本不等式的拓展 ①三元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． ②元基本不等式：（均为正实数），当且仅当时等号成立． 知识点3 一元二次不等式 1、三个“二次”的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 2、解一元二次不等式的一般步骤 （1）判号：检查二次项的系数是否为正值，若是负值，则利用不等式的性质将二次项系数化为正值； （2）求根：计算判别式，求出相应方程的实数根； ①时，求出两根，且（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②时，求根； ③时，方程无解． （3）标根：将所求得的实数根标在数轴上（注意两实数根的大小顺序，尤其是当实数根中含有字母时）， 并画出开口向上的抛物线示意图； （4）写解集：根据示意图以及一元二次不等式解集的几何意义，写出解集． 口诀：大于零取（根）两边，小于零取（根）中间 3、含参一元二次不等式的讨论依据 （1）对二次项系数进行大于0，小于0，等于0分类讨论； （2）当二次项系数不等于0时，再对判别式进行大于0，小于0，等于0的分类讨论； （3）当判别式大于0时，再对两根的大小进行讨论，最后确定出解集． 4、一元高次不等式的解法 如果将分式不等式转化为整式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下： （1）标准化：通过移项、通分等方法将不等式左侧化为未知数的正式，右侧化为0的形式； （2）分解因式：将标准化的不等式左侧化为若干个因式（一次因式或高次因式不可约因式）的乘积，如的形式，其中各因式中未知数的系数为正； （3）求根：求如的根，并在数轴上表示出来（按照从小到大的顺序标注）； （4）穿线：从数轴右上方穿线，经过数轴上表示各根的点，穿线时要遵循“奇穿偶回”的原则（即经过偶次根时应从数轴的一侧仍回到这一侧，经过奇数次根时应从数轴的一侧穿过到达数轴的另一侧），简称“击过偶不过”； （5）写解集：若不等式“>0”，则找“线”在数轴上方的区间；若不等式“<0”，则找“线”在数轴下方的区间． 题型一 用不等式（组）表示不等式关系 【例1】某高速公路要求行驶的车辆的速度v的最大值为120km/h，同一车道上的车间距d不得小于10m，用不等式表示为（    ） A．且 B．或 C．且 D．或 【变式1-1】（23-24高一上·贵州遵义·月考）持续的高温干燥天气导致某地突发山火，现需将物资运往灭火前线．从物资集散地到灭火前线-共，其中靠近灭火前线的山路崎岖，需摩托车运送，其他路段可用汽车运送．已知在可用汽车运送的路段，运送的平均速度为，设需摩托车运送的路段平均速度为，为使物资能在1小时内到达灭火前线，则x应该满足的不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高一上·山东曲阜·月考）下列说法正确的是（    ） A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x<2 000” B．某变量y不超过a可表示为“y≤a” C．某变量x至少为a可表示为“x>a” D．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x>y” 【变式1-3】（23-24高三上·湖南衡阳·月考）（多选）某工艺厂用A、B两种型号不锈钢薄板制作矩形、菱形、圆3种图形模板，每个图形模板需要A、B不锈钢薄板及该厂2种薄板张数见下表 矩形 菱形 圆 总数 A 5 3 10 55 B 12 6 13 125 该厂签购制作矩形、菱形、圆3种模板分别为x，y，z（）块.上述问题中不等关系表示正确为（    ） A． B． C． D． 题型二 实数的大小比较 【例2】（23-24高一上·河南南阳·月考）已知，比较P、Q大小，P Q. 【变式2-1】（23-24高一上·广西梧州·月考）已知x，y满足，则m，n满足的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高一上·浙江湖州·月考）已知且，，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【变式2-3】（23-24高一上·陕西榆林·月考）比较下列各题中两个代数式值的大小. (1)与； (2)与. 题型三 利用不等式性质判断命题 【例3】（23-24高一上·重庆·月考）已知，下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高一上·贵州黔南·月考）（多选）若，，则下列不等式成立的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一下·海南·月考）（多选）已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24高一上·云南昆明·月考）（多选）下列命题叙述正确的是（    ） A．，且，当时， B．，且，当时， C．，且，当时， D．，且，当时， 题型四 利用不等式性质求取值范围 【例4】（23-24高一上·湖北咸宁·期末）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高一上·河北·月考）（多选）已知，则以下命题正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高一上·陕西西安·月考）实数，满足，．则的取值范围是 ． 【变式4-3】（23-24高一上·河南·月考）已知，满足，试求的取值范围. 题型五 利用基本不等式求最值 【例5】（23-24高一上·湖南邵阳·月考）若，且，则的最小值为 ． 【变式5-1】（23-24高一下·安徽芜湖·月考）若，则的最小值是 . 【变式5-2】（23-24高一上·湖南永州·月考）（多选）若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ） A．mn的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．最小值为 【变式5-3】（23-24高一上·江苏无锡·月考）已知正实数满足． (1)求的最小值及此时的值； (2)求的最大值及此时的值； (3)求的最小值及此时的值． 题型六 基本不等式恒成立问题 【例6】（23-24高一上·天津河东·月考）已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为 ． 【变式6-1】（24-25高一上·山东济宁·月考）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式6-2】（23-24高一上·四川眉山·月考）设正实数，满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（    ） A． B． C．8 D．16 【变式6-3】（23-24高一上·河南·月考）（多选）若不等式对任意正实数恒成立，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 题型七 利用基本不等式证明不等式 【例7】（23-24高一上·新疆阿克苏·月考）（1）对任意三个正实数，，，求证：，当且仅当时等号成立； （2）若，，证明：． 【变式7-1】（23-24高一上·江苏宿迁·月考）已知，为正数，证明下列不等式成立： (1) (2)（其中） 【变式7-2】（23-24高一上·安徽淮南·月考）（1）已知，且，求证，． （2）若，求证：； 【变式7-3】（23-24高一上·河南新乡·月考）选用恰当的证明方法，证明下列不等式. (1)已知均为正数，且，求证：； (2)已知，求证：. 题型八 基本不等式的实际应用 【例8】（23-24高一上·湖南益阳·月考）由于燃油的价格有升也有降，现在有两种加油方案．第一种方案：每次加30升的燃油；第二种方案：每次加200元的燃油．下列说法正确的是（    ） A．采用第一种方案划算 B．采用第二种方案划算 C．两种方案一样 D．采用哪种方案无法确定 【变式8-1】（24-25高一上·山东济宁·月考）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为 ． 【变式8-2】（23-24高一上·广东佛山·月考）南海九江中学为了宣传校园文化，由同学设计一幅九中文化矩形宣传画，要求画面面积为，画面的上、下各留空白，左、右各留空白.如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？    【变式8-3】（23-24高一上·江苏连云港·月考）某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为100平方米.计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米2100元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米105元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米40元. (1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； (2)求矩形ABCD周长的最小值及相应的x值. 题型九 解一元二次不等式 【例9】（23-24高一上·新疆喀什·月考）求下列不等式的解集： (1) (2)； (3)； 【变式9-1】（23-24高一上·山西朔州·月考）关于x的一元二次不等式，当时，该不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（23-24高一上·陕西汉中·期中）若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（23-24高一上·云南曲靖·月考）解下列不等式 (1) (2) 题型十 解分式不等式及高次不等式 【例10】（23-24高一上·湖南张家界·月考）不等式的解集为（    ） A．或 B．或 C． D． 【变式10-1】（23-24高一上·江苏苏州·月考）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（23-24高一上·山东·期中）关于的不等式的解集为 . 【变式10-3】（23-24高一上·云南曲靖州·月考）不等式的解集为 ． 题型十一 根据一元二次不等式的解集求参数 【例11】（23-24高一上·江西新余·期中）不等式的解集是，则的解集是（    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24高一上·山西朔州·月考）（多选）已知不等式的解集为，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24高一上·湖南邵阳·知识竞赛）关于x的不等式恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（23-24高一上·重庆北碚·月考）（多选）已知关于的不等式 的解集为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式 的解集为 题型十二 一元二次不等式恒成立问题 【例12】（24-25高一上·上海·期中）关于x的一元二次不等式在实数范围内恒成立，则实数k的取值范围是 ． 【变式12-1】（23-24高一上·山西太原·月考），．若此命题是假命题，则实数a的取值集合是 ． 【变式12-2】（23-24高一上·广东广州·月考）若时，关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围是 ． 【变式12-3】（23-24高一上·河南·月考）当时，关于x的不等式恒成立，则m的取值集合是 ． 题型十三 一元二次不等式的实际应用 【例13】（23-24高一上·四川泸州·月考）（多选）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400）的销售收入，则这批台灯的售价x（元）的取值可以是（    ） A．18 B．15 C．16 D．20 【变式13-1】（23-24高一上·陕西西安·月考）有纯农药液一桶，倒出4升后用水加满，然后又倒出2升后再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的，则桶的容积最大为 升. 【变式13-2】（23-24高一上·浙江湖州·月考）若不计空气阻力，竖直上抛的物体距离抛出点的高度与时间满足关系式：，其中取.已知一名同学以初速度竖直上抛一排球，排球能够在抛出点以上的位置停留 秒时间. 【变式13-3】（23-24高一上·湖南益阳·月考）已知汽车从踩刹车到停住所滑行的距离s（单位：m）与速度v单位：km/h）的平方及汽车总质量成正比设某辆卡车不装货物以59 km/h的速度行驶时，从踩刹车到停住滑行了20 m．如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面20 m处有障碍物，这时为了能在离障碍物5 m以外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过1 s） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$