第2章 2.2 从函数观点看一元二次方程-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

2．2　从函数观点看一元二次方程 [课标解读]　1．从实例中得出零点的概念．2．理解一元二次方程与二次函数的关系． 知识点一　一元二次方程与二次函数的关系 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象之间的关系如下表所示： 判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1<x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实根 知识点二　二次函数的零点 一般地，我们把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫作二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． [点拨]　函数的零点不是点，而是一个实数，是函数的图象与x轴的交点的横坐标；也是函数值为零时自变量x的值，也是函数相应的方程的实数根． 1．函数y＝x2＋4x－5的零点为(　　) A．－5和1 B．(－5，0)和(1，0) C．－5 D．1 A　[由x2＋4x－5＝0得x1＝－5或x2＝1．] 2．函数y＝x2＋2ax－a2－1(a∈R)的零点的个数为 ． 解析：　由x2＋2ax－a2－1＝0得Δ＝4a2－4(－a2－1)＝8a2＋4>0．所以函数零点的个数为2． 答案：　2 3．若函数y＝x2＋2x－1的零点在区间(n，n＋1)(n∈Z)上，则n的取值集合为 ． 解析：　由x2＋2x－1＝0解得x1＝－1－，x2＝－1＋，因为－1－∈(－3，－2)，－1＋∈(0，1)，所以n的取值集合为{－3，0}． 答案：　{－3，0} 探究点一　求函数的零点 求下列函数的零点． (1)y＝3x2－2x－1； (2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)； (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． 解析：　(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－． (2)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1． 当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0，得(ax－a－1)(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1． 又－(－1)＝， ①当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1． ②当a≠－且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和． 综上，当a＝0或a＝－时，函数有唯一的零点为－1． 当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和． (3)因为函数的图象与x轴交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3． 求函数零点的一般方法 (1)求函数的零点就是解相应的方程，相应方程的实数根就是函数的零点． (2)函数的图象与x轴交点的横坐标就是函数的零点． (3)求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤： ①若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零； ②若二次项系数不是零，讨论对应方程的根的判别式的符号，判定方程是否有实数根．若可以因式分解，则一定存在零点； ③若二次项系数不是零，且相应方程有实数根，讨论相应方程的实数根是否相等．　　 即时练1．求下列函数的零点． (1)y＝2x2－3x－2； (2)y＝ax2－x－1； (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． 解析：　(1)由2x2－3x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－，所以函数y＝2x2－3x－2的零点为2和－． (2)(ⅰ)当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1． (ⅱ)当a≠0时，由ax2－x－1＝0得Δ＝1＋4a， 当Δ<0，即a<－时，相应方程无实数根，函数无零点； 当Δ＝0，即a＝－时，x1＝x2＝－2，函数有唯一的零点－2． 当Δ>0时，即a>－且a≠0，x1＝，x2＝，函数有两个零点， (3)因为函数的图象与x轴交点的横坐标为－3，1，所以该函数的零点为－3，1． 探究点二　函数的零点个数的论证与探究 若a>2，求证：(1)函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有两个零点． (2)求函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件． 解析：　(1)证明：∵a>2，∴a－2>0， 对于一元二次方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0， Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)>0， ∴方程有两个不相等的实数根， 即函数有两个零点． (2)必要性：因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0，当a＝2时，y＝－4，函数无零点． 当a≠2时，因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点，所以方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有实数根．所以Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)·(a＋2)≥0， 即或，解得a≥2或a≤－2， 又a≠2，所以a>2或a≤－2， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点， 则a>2或a≤－2． 充分性：当a>2或a≤－2时，对于方程(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0， Δ＝4(a－2)2＋16(a－2)＝4(a－2)(a＋2)≥0， 所以函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点． 综上，a>2或a≤－2．故函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4有零点的充要条件是a>2或a≤－2． 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数的论证 对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac． (1)Δ>0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个零点． (2)Δ＝0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有一个零点． (3)Δ<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点．　　 即时练2．求证：函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点． 解析：　当a＝0时，y＝－x，该函数有零点0； 当a≠0时，对于一元二次方程ax2－x－a＝0，Δ＝1＋4a2>0，函数y＝ax2－x－a有两个零点． 综上，函数y＝ax2－x－a(a∈R)有零点． 探究点三　二次函数的零点分布探究 (1)判断二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上是否存在零点． (2)若二次函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4(a≠2)的两个零点均为正数，求实数a的取值范围． 解析：　(1)由－x2－2x＋1＝0得x1＝－1＋，x2＝－1－，因为－3<－1－<－2， 所以二次函数y＝－x2－2x＋1在(－3，－2)上存在零点． (2)因为函数y＝(a－2)x2－2(a－2)x－4的两个零点均为正数，所以(a－2)x2－2(a－2)x－4＝0有两个不相等的正实数根，显然a≠2． 由一元二次方程的根与系数的关系得 即 所以a<－2． 即实数a的取值范围为(－∞，－2)． 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点的分布探究 结合一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式Δ＝b2－4ac和根与系数的关系处理． ①⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个正零点．　　 ②⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个负零点． ③x1x2<0⇔函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)有两个异号零点． 即时练3．已知函数y＝x2－x－a2＋a(a∈R)． (1)若该函数有两个正的零点，求a的取值范围； (2)若该函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1，求a的取值范围． 解析：　由x2－x－a2＋a＝0得x1＝a，x2＝1－a， (1)因为该函数有两个正的零点，所以解得0<a<或<a<1． 所以a的取值范围为0<a<或<a<1． (2)因为函数有两个零点，一个大于1，另外一个小于1， 所以或，解得a>1或a<0． 所以a的取值范围是a>1或a<0． 1．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b．其中正确的结论是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．②④ B．①④ C．②③ D．①③ B　[因为二次函数的图象与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确，故选B．] 2．函数y＝x2－(a＋1)x＋a的零点的个数是(　　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 C　[由x2－(a＋1)x＋a＝0得x1＝a，x2＝1，当a＝1时函数的零点为1个；当a≠1时，函数的零点有2个，所以该函数的零点的个数是1或2．] 3．已知p：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根，q：ac<－1，则p是q的 条件． 解析：　因为关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有两个异号实数根⇔x1x2＝<0⇔ac<0，所以p是q的必要不充分条件． 答案：　必要不充分 4．已知函数y＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0成立，求实数m的取值范围． 解析：　作出二次函数y＝x2＋mx－1的草图，对于任意x∈[m，m＋1]，都有y<0， 则有当x＝m时，y<0，且当x＝m＋1时，y<0． 即解得－<m<0． 所以实数m的取值范围为． 课时作业(十一)　从函数观点看一元二次方程 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．函数y＝4x2－4x＋1的零点为(　　) A． B． C．－ D． D　[解方程4x2－4x＋1＝0，得x＝，所以是函数y＝4x2－4x＋1的零点．故选D．] 2． 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，若b2<4ac，则函数零点的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．不能确定 A　[因为b2<4ac，所以Δ＝b2－4ac<0，所以函数有0个零点．故选A．] 3．关于x的函数y＝ x2－2ax－8a2 (a>0)的两个零点为x1，x2，且x2－x1＝15，则a＝(　　) A． B． C． D． A　[由条件知x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的两根，则x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2．由(x2－x1)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(2a)2－4×(－8a2)＝36a2＝152，解得a＝．故选A．] 4．已知函数y＝x2－6x＋5－m的两个零点都大于2，则实数m的取值范围是(　　) A．[－4，－3) B．(－4，－3] C． D．(－∞，－4)∪(－3，＋∞) C　[x2－6x＋5－m＝0的两根都大于2，则二次函数y＝x2－6x＋5－m的图象与x轴的两个交点都在x＝2的右侧，根据图象(图略)得：方程的判别式Δ>0，当x＝2时函数值y>0，函数对称轴x＝3>2．即解得－4<m<－3，所以选C．] 5．下列二次函数在区间(－1，0)上存在零点的是(　　) A．y＝(x＋1)(x－3) B．y＝x2－2x C．y＝2x2＋2x＋1 D．y＝x2－2x－1 D　[因为方程(x＋1)(x－3)＝0的两个实数根分别为x1＝－1，x2＝3，方程x2－2x＝0的两个实数根分别为x1＝0，x2＝2，方程2x2＋2x＋1＝0没有实数根，故A，B，C选项均不正确；方程x2－2x－1＝0的实数根为x1，2＝1±，其中－1<1－<0，D选项正确．故选D．] 6．若函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，则＋＝ ． 解析：　因为函数y＝x2－ax＋a的两个零点分别为m，n，所以m，n是方程x2－ax＋a＝0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系得所以＋＝＝1． 答案：　1 7．若函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，则实数a的取值集合为 ． 解析：　当a＝0时，由y＝0得x＝－2符合题意，当a≠0时，由y＝0得x1＝－2，x2＝－，因为函数y＝(ax＋1)(x＋2)的唯一零点为－2，所以－＝－2即a＝，所以实数a的取值集合为． 答案：　 8．函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为 ． 解析：　因为函数y＝x2＋3x＋m的两个零点都是负数，所以解得0<m<． 答案：　 9．求下列函数的零点． (1) y＝x－2－3； (2) y＝x2－(3a－1)x＋(2a2－2)． 解析：　(1)由x－2－3＝0得 (＋1)(－3)＝0， 又≥0，所以＝3，即x＝9， 所以函数y＝x－2－3的零点为9． (2)由x2－(3a－1)x＋(2a2－2) ＝0得 [x－(a＋1)][x－2(a－1)]＝0， ①当a＋1＝2(a－1)，即a＝3时，函数有唯一零点4； ②当a＋1≠2(a－1)，即a≠3时，函数有两个零点a＋1和2(a－1)． 10．求证：函数y＝x2－ax－a－2(a∈R)一定有两个零点． 证明：　对于一元二次方程x2－ax－a－2＝0，Δ＝a2＋4a＋8＝(a＋2)2＋4>0， 所以函数y＝x2－ax－a－2有两个零点． [能力提升] 11．已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围是 ． 解析：　由题意知(a2－4)x2＋(a＋2)x－1<0恒成立，即函数y＝(a2－4)x2＋(a＋2)x－1的图象恒在x轴的下方，当a＝－2时，函数y＝－1，符合题意；当a＝2时，函数y＝4x－1的图象与图象恒在x轴的下方矛盾，舍去；当a≠±2时，函数y＝(a2－4)x2＋(a＋2)x－1的图象是抛物线，开口向下，且顶点在x轴下方，即解得－2<a<，综上，实数a的取值范围是 ． 答案：　 12．若函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n，且m<－1，n>，求实数a的取值范围． 解析：　函数y＝x2－2ax＋a2－1的两个零点分别为m，n， 又x2－2ax＋a2－1＝0的两个实数根为a－1，a＋1， 所以解得－<a<0， 即实数a的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $$