第1章 课时作业(七) 含量词命题的否定-【金版新学案】2024-2025学年新教材高一数学必修第一册同步课堂高效讲义教师用书word（湘教版2019）

课时作业(七)　含量词命题的否定 (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) [基础过关] 1．命题“∃x∈R，1＜y≤2”的否定形式是(　　) A．∀x∈R，1＜y≤2 B．∃x∈R，1＜y≤2 C．∃x∈R，y≤1或y＞2 D．∀x∈R，y≤1或y＞2 D　[量词“∃”改为“∀”，结论“1＜y≤2”的反面是“y≤1或y＞2”，故选D．] 2．(2021·甘肃省会宁县第一中学高一期中)命题“对任意x∈R，都有|x|≥0”的否定为(　　 ) A．任意x∈R，都有|x|<0 B．存在x0∉R，使得|x0|<0 C．存在x0∈R，使得|x0|≥0 D．存在x0∈R，使得|x0|<0 D　[题设命题为全称命题， ∴其否定为存在x0∈R，使|x0|<0．故选D．] 3．(2021·云南富源县高一期末)下列命题的否定为假命题的是(　　) A．∃x∈Z，1＜4x＜3 B．∃x∈Z，5x＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∃x∈R，x2＋3x＋2＝0 D　[命题的否定为假命题等价于该命题是真命题，由1＜4x＜3得＜x＜，这样的整数x不存在，故A为假命题，其否定为真命题；5x＋1＝0，x＝－∉Z，故B为假命题，其否定为真命题；x2－1＝0，x＝±1，故C为假命题，其否定为真命题；存在实数x＝－1或x＝－2，有x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)＝0，故D为真命题，从而D的否定是假命题．] 4．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是(　　) A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆 B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆 C．所有四边形的四个顶点共圆 D．所有四边形的四个顶点都不共圆 A　[根据全称命题的否定是特称命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形，它的四个顶点不共圆”，故选A．] 5．已知p：∀x∈R，2x2＋2x＋>0，q：∃a∈R，函数y＝x2－x＋a的图象与x轴有交点，则下列判断正确的是(　　) A．p是真命题 B．q是假命题 C．p的否定是假命题 D．q的否定是假命题 D　[在命题p中，当x＝－时，2x2＋2x＋＝0，故p为假命题，p的否定为真命题；在命题q中，当a＝0时，函数y＝x2－x的图象与x轴有交点，故q为真命题，q的否定是假命题．故选D．] 6．(2021·甘肃省张掖市第一学期期末)命题“∀α>β，sin α<sin β”的否定为 ． 解析：　由定义知命题的否定为“∃α>β，sin α≥sin β”． 答案：　∃α>β，sin α≥sin β 7．某中学开展小组合作学习模式，某班某组小王同学给组内小李同学出题如下：“若命题∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的取值范围．小李略加思索，反手给了小王一道题：若命题“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求实数m的取值范围．你认为，两位同学题中实数m的取值范围是否一致？ (填“是”或“否”) 解析：　∵命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”． 而命题“∃x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“∀x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题． ∴两位同学题中m范围是一致的． 答案：　是 8．(2021·河北邯郸高一期末)∀x∈{x|1≤x≤2}，∃t∈{t|1≤t≤2}，使得x＋2＞t＋m成立，则实数m的取值范围是 ． 解析：　由∀x∈{x|1≤x≤2}，x＋2＞t＋m成立得x＋2的最小值大于t＋m，因此3＞t＋m． 又由∃t∈{t|1≤t≤2}，使得t＋m＜3成立，得t的最小值小于3－m，即3－m＞1，解得m＜2． 因此实数m的取值范围是{m|m＜2}． 答案：　{m|m＜2} 9．写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)p：每一个素数都是奇数； (2)p：在平面内，与同一条直线垂直的两条直线平行； (3)p：有些实数的绝对值是正数； (4)p：某些平行四边形是菱形． 解析：　(1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此¬p：存在一个素数不是奇数，是真命题． (2)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“在平面内，任意两条与同一条直线垂直的直线平行”，因此¬p：在平面内，存在两条与同一条直线垂直的直线不平行，是假命题． (3)由于存在量词“有些”的否定为“所有”，因此¬p：所有实数的绝对值都不是正数，是假命题． (4)由于存在量词“某些”的否定为“每一个”，因此¬p：每一个平行四边形都不是菱形，是假命题． 10．(2021·广东潮州高一期末)设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0．若p，q都为真命题，求实数m的取值范围． 解析：　若命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4； 若命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题，则命题¬q：∃x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19＝0为假命题，即方程x2－2(m－5)x＋m2＋19＝0无实数根． 因此，Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)＜0，解得m＞． 又p，q都为真命题，所以实数m的取值范围是{m|m≤4}∩＝． [能力提升] 11．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是(　　) A．{a|a<1} B．{a|a≥1} C．{a|a>1} D．{a|a≤1} B　[∵p为假命题，∴p的否定为真命题，即：∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a， ∴1－a≤0，则a≥1． ∴a的取值范围是a≥1，故选B．] 12．已知命题p：∀x∈{x|0<x<1}，x＋m－1＜0，命题q：∀x∈{x|x＞0}，mx2＋4x－1≠0．若p真、q假，求实数m的取值范围． 解析：　若命题p是真命题，则x＋m－1＜0对0＜x＜1恒成立，即m－1＜－x对0＜x＜1恒成立． 当0＜x＜1时，－1＜－x＜0，所以m－1≤－1，即m≤0． 若命题q是假命题，则¬q：∃x∈{x|x＞0}，使得mx2＋4x－1＝0为真命题． 即关于x的方程mx2＋4x－1＝0有正实数根． 当m＝0时，4x－1＝0有正实数根； 当m≠0时，依题意得Δ＝16＋4m≥0，即m≥－4，设两实数根为x1，x2， ①当方程有两个正实数根时，x1＋x2＝－＞0，且x1x2＝－＞0，解得m＜0，此时－4≤m＜0； ②当方程有一正一负两个实数根时，x1x2＝－＜0，解得m＞0，此时m＞0； 当命题q是假命题时，m≥－4． 因为p真、q假，所以实数m的取值范围是{m|－4≤m≤0}． 学科网（北京）股份有限公司 $$